Sterrekunde

Hoe bereken u die tussenafstand en die ligafstand? Volgens die onderstaande formules?

Hoe bereken u die tussenafstand en die ligafstand? Volgens die onderstaande formules?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Volgens Wikipedia, Afstandsmaatreëls (kosmologie),

Komafstand: $$ { displaystyle d_ {C} (z) = d_ {H} int _ {0} ^ {z} { frac {dz '} {E (z')}}} $$

Ligafstand: $$ { displaystyle d_ {T} (z) = d_ {H} int _ {0} ^ {z} { frac {dz '} {(1 + z') E (z ')}}} $ $

Wat is met die 'Hubble-afstand' ($ d_H $) voor die integrasiesimbool? Vermenigvuldig u dit met die resultaat van integrasie?

Hoe neem u die afgeleide van $ z $, $ z '$, as $ z $ is 'n konstante? $ z $ is die (huidige) rooi verskuiwing vir daardie spesifieke voorwerp, nie waar nie?

Ek is deurmekaar…

Van 'Afstandsmaatreëls (kosmologie)' op Wikipedia:

Is daar êrens 'n voorbeeld op die web van hierdie twee dinge, berekening en afstand, wat bereken word? Dit kan help ...


Ja, u vermenigvuldig die integrale met die Hubble-afstand. Dit is soos 'n kosmologiese basisafstand.

U kan gewoonlik nie die integrale volgens algebra bereken nie; u moet 'n numeriese metode gebruik, soos die reël van Simpson. Die lastige deel is die keuse van 'n stel $ Omega $ (eenheidlose) digtheidsparameters om by hierdie vergelyking in te skakel:

$$ E (z) = sqrt { Omega_r (1 + z) ^ 4 + Omega_m (1 + z) ^ 3 + Omega_k (1 + z) ^ 2 + Omega_ Lambda} $$

Let daarop dat $ Omega_m = Omega_b + Omega_c $, waar b baroniese materie is en c koue donker materie is. Die bestralingsdigtheidsterm $ Omega_r $ is eintlik die relativistiese deeltedigtheid, aangesien dit die fotondigtheid en die (warm) neutrindigtheid bevat. Maar die waarde daarvan is redelik klein in vergelyking met die ander terme, en dit is dus net belangrik met 'n baie groot rooi verskuiwing $ z $.

Ook,

$$ Omega_r + Omega_m + Omega_k + Omega_ Lambda = Omega_ {Total} = Omega $$

Was mooi seker dat $ Omega_ {Totaal} = 1 $, en daarom bereken die Wikipedia-bladsy oor afstandsmetings die krommingsterm $ Omega_k $ gebruik

$$ Omega_k = 1 - Omega_r - Omega_m - Omega_ Lambda $$

Om werklike waardes daarvoor te verkry $ Omega $ digtheidsparameters, het u twee hoofopsies, die WMAP-data en die data uit die Planck-samewerking. Elkeen van hierdie bronne verskaf resultate verkry uit verskeie datastelle, geïnterpreteer volgens verskillende kosmologiese modelle.

Hier is die relevante skakel vir WMAP. Klik op die "View Matrix" -skakel bo-aan die bladsy, wat u na 'n bladsy met ongeveer 50 stelle parameters bring.

Daar is meer onlangse data van die Planck-samewerking, maar daar is verskillende meningsverskille met die WMAP-data. Hulle is veral nie eens oor die waarde van die Hubble-afstand nie. U sal ook geen waarde vir stralingsdigtheid vind nie $ Omega_r $ in die Planck-data, maar die antwoorde hier verduidelik hoe dit uit ander tabelwaardes bereken kan word. Die eenvoudigste manier is om te gebruik

$$ Omega_r = Omega_m / (z_ {eq} +1) $$


Stopafstand = reaksie afstand + remafstand

Die reaksie-afstand is die afstand wat u aflê vanaf die punt om 'n gevaar op te spoor totdat u begin rem of swaai.

Die reaksie-afstand word beïnvloed deur

  • Die motor se spoed (proporsionele toename):
    • 2 x hoër spoed = 2 x langer reaksie-afstand.
    • 5 x hoër spoed = 5 x langer reaksie-afstand.
    • Gewoonlik 0,5–2 sekondes.
    • 45-54-jariges het die beste reaksietyd in die verkeer.
    • 18–24-jariges en ouer as 60 het dieselfde reaksietyd in die verkeer. Jong mense het skerper sintuie, maar ouer mense het meer ervaring.

    Die reaksie-afstand kan verminder word met

    Die reaksie-afstand kan verhoog word met

    Maklike metode: Bereken die reaksie-afstand

    Formule: Verwyder die laaste syfer in die snelheid, vermenigvuldig met die reaksietyd en dan met 3.

    Voorbeeld van berekening met 'n snelheid van 50 km / h en 'n reaksietyd van 1 sekonde:

    50 km / u & rArr 5
    5 * 1 * 3 = 15 meter reaksie afstand

    Meer akkurate metode: Bereken die reaksie-afstand

    Formule: d = (s * r) / 3.6

    d = reaksie-afstand in meter (moet bereken word).
    s = snelheid in km / h.
    r = reaksietyd in sekondes.
    3.6 = vaste syfer vir die omskakeling van km / h na m / s.

    Voorbeeld van berekening met 'n snelheid van 50 km / h en 'n reaksietyd van 1 sekonde:

    (50 * 1) / 3,6 = 13,9 meter reaksie afstand


    Hoe bereken u die tussenafstand en die ligafstand? Volgens die onderstaande formules? - Sterrekunde

    Wat beteken klankvlak?

    Klankdrukvlak en klankintensiteitsvlak

    Om die sakrekenaar te gebruik, voer eenvoudig 'n waarde in.
    Die sakrekenaar werk in beide rigtings van die teken.
              

    Drempel van gehoor = Verwysingsklankdruk bl0 = 20 & muPa = 2 & middot 10 & minus5 Pa & ekwivalent 0 dB & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160Pa = N / m 2

    Drempel van gehoor = Verwysing na klankintensiteit Ek0 = 1 pW / m 2 = 10 & minus12 W / m 2 & ekwivalent 0 dB

     

    Druk, snelheid en intensiteit van die klankveld naby en
    ver van 'n sferiese verkoeler van die nulorde af
     

    Vir 'n sferiese golf:
    Die klankdrukvlak (SPL) daal met die verdubbeling van die afstand met (& minus) 6 dB.
    Die klankdruk val 1/2 keer (50%) van die klankdruk van die aanvanklike waarde.
    Dit daal met die verhouding 1/ r van die afstand.


    Lab 12: Kosmos

    Krediet / toestemming: vir teks, en kopieer David Jeffery. Vir figure ens., Soos gespesifiseer met die figuur ens. / Slegs vir lees en gebruik deur die instrukteurs en studente van die UNLV-astronomielaboratoriumkursus.

    Dit is 'n laboratorium sonder waarnemings.

      : Laat weg sedert in aanbou: Laat weg sedert in aanbou: Laat weg sedert in aanbou: Laat weg sedert in aanbou (slegs RMI): As u dit doen NIE het 'n drukker of doen NIE As u papier wil mors, moet u die Verslagvorm met die hand in gedrukte vorm vir u eie gebruik. : Slegs toegang tot laboratoriuminstrukteurs. : Slegs toegang tot laboratoriuminstrukteurs.
  • Voorbereiding: slegs toegang tot laboratoriuminstrukteurs. : Slegs toegang tot laboratoriuminstrukteurs. : Slegs toegang tot laboratoriuminstrukteurs.
    1. Lees self hierdie laboratoriumoefening: Lab 12: Cosmos.

    Sommige take kan voor die laboratoriumperiode voltooi word. Dit sal nuttig wees om sommige van hulle voor die laboratoriumperiode te doen.

    U kan egter vooraf 'n eksemplaar druk, veral as u vooraf dele wil doen. U moet dalk in hierdie geval vergoed vir opdaterings.

    Die laboratoriumoefening self is NIE ooit in die laboratorium gedruk. Dit kan bosse doodmaak en die Lab-oefening is ontwerp om 'n aktiewe webdokument te wees.

    Algemene opmerkings oor die voorbereiding van vasvrae word gegee by.

    Vir DavidJ se laboratoriumafdelings doen die vasvravoorbereiding al die items wat hier gelys word en toets dit self met die voorbereidingsvasvra.

    Maar om die leeswerk aan te vul en / of aan te vul, moet u ten minste die inleiding van 'n voorbeeld van die artikels lees wat aan die volgende sleutelwoorde ens. Gekoppel is, sodat u sommige sleutelwoorde ens. Kan definieer en / of verstaan ​​op die vlak van ons klas.

    U is 'n langer en 'n lys sleutelwoorde NIE nodig om na te kyk --- maar dit sal nuttig wees om dit te doen --- is:

      . . . . . Hierdie taak verg moontlik 'n demonstrasie deur die instrukteur. . Hierdie taak benodig moontlik 'n mikro-lesing deur die instrukteur.
    1. Taak 7: Kosmologiese rooiverskuiwing is die primêre maatstaf vir kosmiese afstand. .
    2. Taak 9: Die diffuse ekstragalaktiese agtergrondbestraling (DEBRA). . . (Laat weg sedert onderbou.). (Laat weg sedert onderbou.). (Laat weg sedert onderbou.). (Weggelaat sedert onderbou.) (Slegs RMI).
    1. Lees die onderstaande 2 figure (plaaslike skakel / algemene skakel: vesto_slipher.html (plaaslike skakel / algemene skakel: edwin_hubble.html)). Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp
    2. Waar het Slipher gewerk? & nbsp & nbsp & nbsp ______________________________ & nbsp & nbsp & nbsp belangrike ontdekking is:
      1. dat die meeste sterrestelsels blueshifts het. & nbsp & nbsp & nbsp ____
      2. dat die meeste sterrestelsels rooi verskuiwings het. & nbsp & nbsp & nbsp ____ & nbsp & nbsp & nbsp
      3. dat sterrestelsels sterrestelsels was. & nbsp & nbsp & nbsp ____. & nbsp & nbsp & nbsp ____
      1. 1900. & nbsp & nbsp & nbsp ____
      2. 1924. & nbsp & nbsp & nbsp ____ & nbsp & nbsp & nbsp
      3. 1929. & nbsp & nbsp & nbsp ____
      4. 1936. & nbsp & nbsp & nbsp ____
      5. 1953. & nbsp & nbsp & nbsp ____

        Lees die onderstaande figuur (plaaslike skakel / algemene skakel: cosmological_redshift.html). Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

        Lees die onderstaande figuur (plaaslike skakel / algemene skakel: hubble_diagram.html). Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

      is _____________. & nbsp & nbsp & nbsp

      Wat is die lengte van die Hubble in Giga-ligjare (Gly)? WENK: Wat is die vakuumligspoed in eenhede van Gly / Gyr?

      Behoorlike afstand is 'n afstand wat KAN WEES gemeet op een oomblik in tyd met 'n liniaal vir 'n voorwerp (waarvoor die afstand 'n lengte is) in rus in die traagheidsraamwerk van daardie een oomblik in tyd.

      Let daarop dat ons die lengte van die voorwerpe op 'n oomblik kan meet by relativistiese snelhede (dws snelhede v waarvoor v / c is NIE verwaarloosbaar in die formules van spesiale relatiwiteit), maar daardie lengtes word beïnvloed deur FitzGerald-inkrimping en is korter as regte lengtes (dit wil sê afstande).

      Let ook daarop dat daar eintlik verskillende maniere is waarop ons regte afstande kan meet sonder om 'n liniaal te gebruik NIE noodwendig op een oomblik in die tyd.

      Die hartseer feit is dat ons KAN NIE meet die regte afstande direk tot kosmologiese afgeleë sterrekundige voorwerpe. Daardie regte afstande is NIE direkte waarneembare.

      'N Direkte waarneming in beginsel vir kosmologiese afgeleë astronomiese voorwerpe is die helderheidsafstand.

      Sê ons het 'n astronomiese voorwerp (byvoorbeeld 'n supernova) met 'n bekende helderheid L. Ons meet die vloed F op aarde. As die waarneembare heelal staties was (wat dit is NIE) en uitwissing deur interstellêre stof is weglaatbaar (wat NIE altyd die geval), dan deur die behoud van energie

      waar r_L die afstand tot die astronomiese voorwerp is en 4 & pir ** 2 die oppervlakte is van 'n sfeer met 'n radius r. Oplossing vir r_L gee

      Gegewe ons voorwaardes is r_L 'n behoorlike afstand, al het ons NIE het dit 'n oomblik in kosmiese tyd met 'n liniaal gemeet --- ons het 'n ekwivalente meting gedoen.

      Nou is die waarneembare heelal NIE staties. Ons leef in 'n groeiende heelal. Die astronomiese voorwerp is NIE tans waar dit was toe die lig daaruit begin en die groei van die ruimte die lig herverskuif het terwyl dit voortplant.

      So is r_L NIE 'n behoorlike afstand vir kosmologiese afgeleë sterrekundige voorwerpe, alhoewel dit asimptoties as kosmologiese rooiverskuiwing z op nul word. Die ooreenkoms, aangesien kosmologiese rooi verskuiwing z na nul gaan, word 1ste orde ooreenkoms genoem in klein kosmologiese rooiverskuiwing z.

      Ons noem afstande bereken volgens die laaste formule (d.w.z. r_L's) helderheidsafstande. Vir stelsels wat as staties behandel kan word (en met 'n weglaatbare uitwissing), is die regte afstand en die helderheidsafstand dieselfde, en 'n mens sê net afstand.

      Vir kosmologiese afgeleë voorwerpe is die regte afstand en helderheidsafstand NIE dieselfde ding.

      Maar die helderheidsafstand is steeds 'n direkte waarneembare en dit kan voorspel word vanuit die uitbreidende heelal-modelle.

      Dus kan helderheidsafstande gemeet word aan kosmologies afgeleë voorwerpe en gebruik word om die parameters van uitbreidende heelal-modelle vas te stel. Dit is in werklikheid 'n belangrike manier waarop sommige van die parameters van die huidige & Lambda-CDM-model bepaal word.

      Gelukkig stem die regte afstande en helderheidsafstande ooreen met die eerste orde in klein kosmologiese rooi verskuiwing z. Dit is die feit dat ons Hubble se wet kan toets en die Hubble-konstante kan bepaal met behulp van kosmologiese nie-afgeleë astronomiese voorwerpe.

        Lees die onderafdeling Behoorlike afstand en helderheidsafstand hierbo. Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

      1. daardie KAN WEES gemeet op een oomblik met 'n liniaal vir 'n voorwerp (waarvoor die afstand 'n lengte is) in rus in die traagheidsraamwerk van daardie oomblik. & nbsp & nbsp & nbsp ___ & nbsp & nbsp & nbsp
      2. bepaal met behulp van die formule rL = sqrt [L / (4 & pi * F)] in alle gevalle as uitsterwing weglaatbaar is. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      3. dit is die lengte van 'n voorwerp wat FitzGerald-sametrekking ondergaan in die traagheidsraamwerk. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      4. is NIE 'n onbehoorlike afstand. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      5. is NIE 'n onbehoorlike breuk. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      1. 'n afstand wat KAN WEES gemeet op een oomblik met 'n liniaal vir 'n voorwerp (waarvoor die afstand 'n lengte is) in rus in die traagheidsraamwerk van daardie oomblik. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      2. 'n hoeveelheid met lengte-eenhede wat met die formule r bepaal wordL = sqrt [L / (4 & pi * F)] in alle gevalle as uitsterwing weglaatbaar is. & nbsp & nbsp & nbsp ___ & nbsp & nbsp & nbsp
      3. 'n afstand wat die lengte is van 'n voorwerp wat FitzGerald-sametrekking ondergaan in die verwysingsraamwerk. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      4. 'n afstand wat is NIE 'n onbehoorlike afstand. & nbsp & nbsp & nbsp ___
      5. 'n afstand wat is NIE 'n onbehoorlike breuk. & nbsp & nbsp & nbsp ___

        Lees die onderstaande applet-figuur (plaaslike skakel / algemene skakel: naap_supernovae.html). Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

        . & nbsp & nbsp & nbsp ___. & nbsp & nbsp & nbsp ___. & nbsp & nbsp & nbsp ___. & nbsp & nbsp & nbsp ___ & nbsp & nbsp & nbsp. & nbsp & nbsp & nbsp ___

      Het u regtig, regtig alles gedruk, beweeg, gevul of sê u net dat u met die volgende subtaak moet werk? & nbsp & nbsp & nbsp Antwoord:

      As 'n ligte kurwe vir 'n normale SN Ia is, kan 'n goeie pasvorm gedoen word, anders doen u net die beste wat u kan.

      Voltooi die onderstaande tabel: Supernova-helderheidsafstande soos u pas.

      Die waarneembare heelal volgens die uitbreidende heelal-teorie skaal op met kosmiese skaalfaktor a = a (t), waar t kosmiese tyd sedert die oerknal is. Hierdie opskaling word in die onderstaande figuur geïllustreer (plaaslike skakel / algemene skakel: cosmos_raisin_bread.html).

        Lees die onderstaande figuur (plaaslike skakel / algemene skakel: cosmos_raisin_bread.html). Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

      waar Q 'n algemene kosmiese hoeveelheid is, is p 'n algemene krag wat breuk- en / of negatief kan wees, en & prop beteken "eweredig aan". Gewoonlik skryf 'n mens kosmiese hoeveelhede as funksie van die huidige waarde en die huidige skaalfaktor a_0 dus

      & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Q = Q_0 * (a / a_0) ** p,

      waar onderskrif 0 beteken TYDIGE WAARDE en word 'sub 0' of 'niks' genoem. Dus word Q_0 as 'Q sub 0' of 'Q niks' uitgespreek. As a (t) gelyk is aan a_0 by t_0, Q = Q_0.

      Kyk na die onderstaande figuur (plaaslike skakel / algemene skakel: power_law.html) vir voorbeelde van stel kragwette.

      As p = -1, wat is die skaal, die proporsionaliteit en die formule vir Q?

      Wat is die proporsionaliteit tussen n en a (t) en wat is die formule vir n in terme van n_0, a_0 en a (t)? & nbsp & nbsp & nbsp Antwoord: __________ en __________ & nbsp & nbsp & nbsp

      Die energie van 'n foton & epsilon is eweredig aan een oor golflengte: d.w.z. & epsilon & prop 1 / & lambda. Nou groei 'n foton golflengte met die uitbreiding van die heelal namate die foton voortplant en skaal met 'n (t).

      Sê & lambda_0 en & epsilon_0 is onderskeidelik die huidige gemiddelde golflengte en gemiddelde energie van die fotone.

      Wat is & lambda as 'n funksie van & lambda_0, a, en a_0? & nbsp & nbsp & nbsp Antwoord: _____________ Wat is & epsilon as 'n funksie van & epsilon_0, a en a_0? & nbsp & nbsp & nbsp Antwoord: _____________ & nbsp & nbsp & nbsp

      Die hoofkomponent van elektromagnetiese bestraling (EMR) in die waarneembare heelal is in wese 'n nie-interaktiewe bestralingsveld vir swartliggaam wat die kosmiese agtergrondstraling (CBR) genoem word, wat 'n relikwie is van die vroeë warm fase van die waarneembare heelal naby die tyd van die Bang singulariteit. Op die oomblik is kosmiese agtergrondstraling (CBR) die kosmiese mikrogolfagtergrond (CMB).

      Die temperatuur T van die kosmiese agtergrondstraling (CBR) is die kosmiese temperatuur. Gegewe die aanhef en die laaste subtaak, wat is T as 'n funksie van T_0, a en a_0 en hoe wissel T met die kosmiese tyd?

      Maar die primêre kosmologiese afstandsmaat is kosmologiese rooiverskuiwing z, aangesien dit direk waarneembaar is vir alle z en dit baie maklik is om met hoë akkuraatheid te meet.

      Behoorlike afstand, wegtrekafstand en terugkyktyd, wat slegs direk waarneembaar is tot 1ste orde in klein z. Die helderheidsafstand is direk waarneembaar vir algemene z, maar slegs as ons die helderheid van die bron ken en dikwels nie.

      In professionele werk gebruik sterrekundiges dus gewoonlik kosmologiese rooiverskuiwing z as 'n gevolmagtigde vir al die ander.

      Ons sê dat hierdie sterrestelsel, ensovoorts, 'n mate van betekenis op 'n afstand van ons in tyd en ruimte is.

      Vir 'n gegewe uitbreidende heelal-model kan z gebruik word om al die ander kosmologiese afstandsmate te bereken.

      Die nie-z kosmologiese afstandsmaat kan daaruit bereken word as 'n funksie van z, maar slegs numeries.

      Let op "Luminosity" is luminosity distance "LOS comoving" is die regte afstand en tans is dit gelyk aan die comoving-afstand volgens die definisie van comoving-afstand.

      Daar is eenvoudige verwantskappe tussen z en a (t) wat geld vir alle uitbreidende heelal-modelle:

      & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a0/ a = z + 1, & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp z = a0/ a - 1, & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a / a0 = 1 / (1 + z)

      Dit is dus maklik om a / a_0 vanaf z te kry.

      Maar ons doen dit NIE kry 'n (t) direk: d.w.s. "a" as 'n funksie van kosmiese tyd. As ons dit wel doen, sou ons baie meer oor die waarneembare heelal weet. Dit is jammer dat sterrestelsels dit doen NIE het groot klokvlakke waarop ons kosmiese tyd kon lees.

      Dit is, om 'n (t) te kry, moet ons 'n spesifieke model aanneem.

      Vir die & Lambda-CDM-model het 'n mens die benaderde formules.

      & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a / a0 & kong 1 / [1 + H0t0ln (t0/ t)] & nbsp & nbsp in die algemeen,

      & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a / a0 & kong 1 - H0tL & nbsp & nbsp vir tL/ t0 > 1,

        Lees die onderafdeling Kosmologiese rooiverskuiwing. Is die primêre kosmologiese afstandsmeter hierbo? Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

      1. 'n direkte waarneembare en relatief maklik om te meet vanaf spektroskopie & nbsp & nbsp & nbsp ________________ & nbsp & nbsp & nbsp
      2. 'n direkte waarneembare en relatief maklik om te meet vanaf fotometrie. & nbsp & nbsp & nbsp ________________
      3. indirekte waarneembaar en relatief maklik om te meet vanaf fotometrie. & nbsp & nbsp & nbsp ________________
      4. indirekte waarneembaar en relatief maklik om te meet vanaf spektroskopie & nbsp & nbsp & nbsp ________________
      5. 'n indirekte waarneembare en relatief moeilik meetbare van fotometrie. & nbsp & nbsp & nbsp ________________

        Lees die onderstaande figuur (plaaslike skakel / algemene skakel: cmb.html). Het u dit gelees? & nbsp & nbsp & nbsp Y / N & nbsp & nbsp & nbsp

      Dit bestaan ​​uit die kosmiese agtergrondstraling (CBR) plus al die straling wat uitgestraal word deur sterre, newels, aktiewe sterrestelselkerne (AGN's) en ander bronne wat sedert herkombinasie vrygestel word. NIE geabsorbeer en NIE identifiseerbaar as afkomstig van spesifieke bronne.


      Dun-lensvergelyking: Cartesiese konvensie

      As die Cartesiese tekenkonvensie gebruik word, word die Gaussiese vorm van die lensvergelyking

      want in daardie konvensie is die positiewe rigting vir 'n hoeveelheid altyd in die rigting waarin lig beweeg. Die voorwerpafstand o is dan 'n negatiewe getal. Om van die lens na die voorwerp te beweeg, moet u in die teenoorgestelde rigting van ligte reis beweeg. Die dun lensvergelyking word ook soms in die Newtonse vorm uitgedruk. Die afleiding van die Gaussiese vorm gaan van driehoeksmetrie. Vir 'n dun lens is die lensvermoë P die som van die oppervlakmagte. Vir dikker lense kan die vergelyking van Gullstrand gebruik word om die ekwivalente krag te verkry.


      Hoe bereken u die tussenafstand en die ligafstand? Volgens die onderstaande formules? - Sterrekunde

      1) Afstand = snelheid * Tyd

      Dit ultra sakrekenaar is spesiaal deurdat u tussen 'n groot verskeidenheid eenhede kan kies (12 per kategorie). In teenstelling met ander sakrekenaars, is u NIE beperk tot die invoer van afstand in voete, tyd in minute, ens nie, wat die sakrekenaar baie veelsydig maak. Kom ons kyk na 'n paar voorbeelde.

      1) U kan die 100 yard-streep binne 12 sekondes hardloop. Wat is u snelheid in myl per uur?
      Die belangrikste stap in die gebruik van hierdie sakrekenaar is:
      EERSTE KEUSE WAAROP U OPlos
      In hierdie geval is ons besig om VELOCITY op te los, so klik op die knoppie.
      Voer 12 in die "tyd" -kassie in en kies sekondes in die kieslys.
      Voer 100 in die 'afstand'-blokkie in en kies meter in die kieslys.
      Klik op die BEREKEN knoppie en dit sal gelyk wees aan 17.045 myl per uur. PLUS jy kry die antwoord in 11 ander verskillende eenhede !!

      2) 'n Gletser beweeg teen ongeveer 0,0009513 mm per sekonde. Hoe lank neem dit 'n gletser om 1 myl te beweeg?

      EERSTE KLIK WAT JY OPLOS - TYD
      Voer 0.0009513 in die snelheidsblokkie in en kies millimeter per sekonde in die spyskaart.
      Tik 1 in die afstandvak en kies myle vanaf die spyskaart.
      Klik op BEREKEN en u antwoord is 53,6 jaar (asook 11 ander eenhede).

      3) U kyk na die Indianapolis 500 Auto Race en 'n motor het pas 50 sekondes geneem om 'n baan van 180 km per uur te voltooi. Hoe lank is die renbaan?
      EERSTE KLIK WAAROP U OPLOS - AFSTAND
      Voer 180 in die snelheidsblokkie in en kies myl per uur in die spyskaart.
      Voer 50 in die tydkassie in en kies sekondes in die kieslys.
      Klik op BEREKEN en u antwoord is ongeveer 15,200 voet (15,200 voet, ens.)

      Ek hoop dat hierdie sakrekenaar u kan help met die wiskundeprobleme.

      Getalle word in wetenskaplike notasie vertoon, met die hoeveelheid beduidende syfers wat u in die blokkie hierbo spesifiseer. Vir makliker leesbaarheid is getalle tussen .001 en 1.000 nie wetenskaplik nie, maar steeds dieselfde presisie.
      Internet Explorer en die meeste ander blaaiers sal die antwoorde behoorlik vertoon, maar daar is 'n paar blaaiers wat sal verskyn geen uitset hoegenaamd. Indien wel, voer 'n nul in die blokkie hierbo in. Dit elimineer alle opmaak, maar dit is beter as om geen uitset te sien nie.


      V: Hoe het wiskundiges trigonometriese funksies en getalle soos pi voor sakrekenaars bereken?

      Natuurkundige: Weet nie. Maar as u ooit op 'n woestyn-eiland vasgeval het, is daar 'n paar truuks wat u kan gebruik. Die naam van die spel is & # 8220Taylor polynome & # 8220.

      Al die ander trigonometriese funksies is net kombinasies van sinus en cosinus, so dit is regtig alles wat u nodig het. Natuurlik kan u 'n oneindige aantal terme optel, dus as u net na die x L-term gaan, is die fout tussen die som wat u het en die werklike waarde van sinus of cosinus nie meer nie. Nou kan x redelik groot wees, maar u kan die feit gebruik dat sinus en cosinus elke herhaal, sowel as die feit dat, om die & # 8220x & # 8221 te verlaag. As u dus die x L-term opsom, sal u fout nie groter wees as. Die & # 82201 / L! & # 8221 maak hierdie fout redelik klein. Opsomming tot die x 10-termyn sal in die ergste geval binne drie dele in 100 000 akkuraat wees.

      Opsomming van die opbrengste van x 5 termyn:

      Wat akkuraat is tot ten minste die eerste 4 desimale plekke.

      Daar is nie 'n helse klomp belangrike wiskundige konstantes daar nie. Die belangrikste is & # 8220e & # 8221 en & # 8220 & # 8220.

      met 'n fout van nie meer as. Dit is nog 'n voorbeeld van 'n Taylor-polinoom. Om slegs e te bereken, stel net x = 1 in.

      met 'n fout van nie meer as. Een manier om hierdie vergelyking af te lei, is om die Taylor-reeks vir Arctan te neem en 1 () in te prop. Dit is maklik om te onthou, maar stadig om te konvergeer (2 000 terme om 3 desimale plekke te kry), so hier is 'n beter een:

      met 'n fout van nie meer as.

      Die meeste mense is onder die indruk dat & # 8220daar is geen patroon in pi & # 8220 nie, en die feit dat ons 'n vergelyking kan neerskryf om pi te vind, kan 'n bietjie vreemd lyk. Wat gewoonlik met & # 8220no patroon in pi & # 8221 bedoel word, is dat daar geen patroon lyk in die desimale voorstelling van pi nie (3.14159 & # 8230).

      Die Taylor-reeks en die benaderings van pi en e hierbo lyk miskien omslagtig, maar in die meeste wetenskappe vind u dat dit skaars is dat iemand verder gaan as die tweede kwartaal in 'n Taylor-polinoom (sin (x) = x, cos ( x) = 1-.5x 2). Boonop, meestal weens ons verlammende luiaardheid en mooiheid, sê die meeste fisici dit graag. As u dus probeer om dinge presies reg te kry, is u dalk 'n ingenieur.

      11 Antwoorde op V: Hoe het wiskundiges trigonometriese funksies en getalle soos pi voor sakrekenaars bereken?

      Hoe meer syfers hoe beter. Net 'n paar dae gelede was ek 'n bietjie ontsteld toe ek nie my vriend se verjaardagstring in die eerste 200 miljoen desimale plekke van pi kon vind nie. (Alhoewel dit in die eerste vier biljoen binêre syfers na hex omgeskakel en gesoek is, het ek die werk gedoen. Hoe ek 'n drankie nodig het, natuurlik alkoholis!)

      Vriendelike herinnering: daar kom 'n Pi-dag (sien, u het minstens 2 desimale plekke nodig), maar belangriker, dit is die begin van die lente-vakansie.

      Wat ek regtig wil weet, is hoe die Grieke (of iemand daarvoor) wiskunde en meetkunde sonder Arabiese syfers gedoen het?

      Natuurkundige sê:

      Dit was duidelik dat die Chinese was. Kry u ou beskawings reg.

      Arabiese syfers word oorskat. Maak nie saak hoe u die getalle skryf, rangskik, uitspreek of selfs 'n ander basis gebruik nie, dit is alles goed, solank dit logies gelyk is!

      & # 8220Bovendien, meestal as gevolg van ons verlammende luiaard en mooiheid, is die meeste natuurkundiges bly om te sê dat = e = 3. As u daarna streef om dinge presies reg te kry, kan u eintlik 'n ingenieur wees. & # 8221

      sin (x) = x is amper oke, maar hierdie lyn het my ERNSTIGE GROOT bekruipings gegee.

      Vraag: Hoe bereken sakrekenaars en rekenaars spesiale funksiewaardes. Ek weet van baie moontlikhede, maar watter metode word in die praktyk gebruik en in watter mate akkuraatheid (normale gebruik nie hoë presisie of spesiale metodes nie)?

      Die fisikus sê:

      Ek vermoed die presiese tegniek wissel van stelsel tot stelsel, maar ek kon nie met sekerheid sê hoe een van hulle werk nie. Oor die algemeen kan u die akkuraatheid belaglik hoog kry met net 'n bietjie ekstra verwerktyd.
      Het ons rekenaaringenieurs wat dit kan doen?

      Geliefd pi = e = 3. As u daarna streef om dinge presies reg te kry, is u dalk 'n ingenieur. Ek wil 'n ingenieur word en dit het my laat giggel.

      Een truuk wat ek gebruik het (en is verbaas dat ander mense dit nie doen nie) is om Euler se vergelyking spesifiek te gebruik, dit beteken dat die verhoging van die hoek vertaal word na 'n komplekse vermenigvuldiging.

      Dit wil sê, e ^ (i * (x + y)) = e ^ (i * x) * e ^ (i * y) = (cos (x) + i * sin (x)) * (cos (y) + i * sin (y)).

      Begin met 'n bekende (voldoende presiese) waarde vir cos (x) en sin (x), sê vir 5 grade, u kan maklik 10, 15, 20 ensovoorts bereken. Wat nog beter aan hierdie metode is, is dat u die fout ook maklik kan bereken.

      & # 8220Vraag: Hoe bereken sakrekenaars en rekenaars spesiale funksiewaardes. Ek weet van baie moontlikhede, maar watter metode word in die praktyk gebruik en tot watter mate akkuraatheid (normaal gebruik nie hoë presisie of spesiale metodes nie)? & # 8221

      dit hang af van watter spesiale funksie u & # 8217; re praat oor, sommige het spesiale implementerings terwyl ander kan dieselfde algemene iteratiewe patroon volg. dikwels is die wiskundige oneindige reeksbenadering baie makliker om te beskryf as 'n rekenaarprogram.

      neem sinus byvoorbeeld: sin (x) = x & # 8211 x ^ 3/3! + x ^ 5/5! & # 8230
      daarop dat deur die teller en noemer van die laaste kwartaal te behou, u baie min bewerkings nodig het om die volgende kwartaal af te lei, en die toevoeging hier is onbeduidend.
      elke term het twee verdelings in die fabriek (volgende onewe en ewe getalle) op die vorige term nodig en 'n enkele vermenigvuldigingsbewerking (deur x ^ 2 wat aanvanklik vooraf bereken kan word), en wissel dan optel en aftrek bewerkings.

      Ek dink 'n beter (vinniger-konvergerende) algoritme word in die praktyk gebruik, maar die idee bly dieselfde & # 8211 solank daar 'n eenvoudige verband is tussen opeenvolgende terme in 'n samelopende oneindige reeks, kan 'n rekenaar die algoritme maklik in 'n ruimte-doeltreffende gebruik neem. wyse.

      vir eienaardigheid sal sommige ou programme wat absolute topsnelheid in hierdie gebied benodig, ietwat verneuk met trig- en log-tabelle eerder as om die hele funksie te bereken, sou bekende waardes heeltemal gebruik word of met addisionele kortpaaie (soos dubbelhoekformules met bekende waardes vir basis hoeke).

      deesdae, alhoewel die fundamentele wiskundige funksies soos trig, logs, eksponente en so meer hierdie beginsel sou volg, sou hulle nou op 'n FPU woon en 'n chipset wat spesifiek handel oor die floating point-formaat. daartoe help dit om die getalle van drywende punte te verstaan ​​en hoe presies 'n masjien desimale kan uitdruk, aangesien daar addisionele optimalisasies is. lank en kort daarvan is floating point is 'n gedigitaliseerde eksponent-vorm van 'n getal (sommige stukkies voorbehou vir eksponent, sommige stukkies voorbehou vir mantissa).

      wat akkuraatheid betref, sou ek nie meer as 15 desimale syfers op 'n gewone sakrekenaar verwag nie. anders hang dit sterk af van wat die digitale nommerformaat is. rekenaars hanteer verkieslik swaai-puntgetalle (digitale weergawe van 15 = 1,5 x 10 ^ 1 15 = [+.5, +1]), maar kan ook valuta-formate hanteer (vaste-punt-presisie).

      drywingspunt gee gewoonlik meer stukkies aan die mantissa, dus u kan gewoonlik 7 desimale akkuraatheid verwag vir 4 byte drywers en byna 16 desimale akkuraatheid vir 8 byte (64 bis) dryf. daar is 'n uitbreiding vir 10 byte (80 bit), maar ek het dit persoonlik nog nooit ernstig gesien nie (lang dubbel). vir daaglikse berekeninge is dit voldoende vir enigiets ingewikkelder; 'n programmeerder kan gebruik maak van eksotiese skemas om die getalle te kodeer (arbitrêre presisiegetallebiblioteke is algemeen, arbitrêre desimale presisie is moeiliker om te implementeer).

      Laat 'n antwoord Kanseleer antwoord

      Stuur u vrae oor wiskunde, fisika of enigiets anders waaraan u kan dink:

      Daar's 'n boek! Dit is 'n versameling van meer as vyftig van my gunsteling artikels, hersien en opgedateer. Dit is interessant. Dis goed. U moet dit koop. Klik op die foto vir 'n skakel na die Amazon-bladsy, of hierdie skakel vir die e-boek.


      Algemene relatiwiteit en kosmologie vir die HP-41

      Hierdie program is onder kopiereg en kopie 2005 deur Jean-Marc Baillard en word hier met toestemming gebruik.

      Hierdie program word aangebied sonder enige voorstelling of waarborg. Jean-Marc Baillard en The Museum of HP Calculators aanvaar dus geen verantwoordelikheid nie en is nie aanspreeklik nie, gevolglik of andersins, van enige aard wat voortspruit uit die gebruik van hierdie programmateriaal of enige deel daarvan nie.

      1 & deg) Die klassieke toetse

      a) Vooraf van Periastron
      b) Ligte afbuiging
      c) Gravitasie-rooi-skuif

      2 & deg) Gravitasie-straling op sirkelbane

      a) Friedmann-heelalle: Kosmologiese konstante = 0

      a-1) Einstein-de Sitter-model q0 = 1/2 (q = vertragingsparameter)
      a-2) Sferiese modelle q0 > 1/2
      a-3) Hiperboliese modelle 0 & lt q0 & lt 1/2

      b-1) Milne-model q0 = 0
      b-2) de Sitter-model q0 = -1
      b-3) -1 & lt q0 & lt 0
      b-4) q0 > 0
      b-5) q0 & lt -1

      c) Eddington-Lemaitre-heelalle (kritieke parameters)

      e-1) Numeriese integrasie (program # 1)
      e-2) Numeriese integrasie (program # 2)
      e-3) Elliptiese integrale (slegs oerknaluniverses)

      f) Nie-verdwynende druk (nuut)

      f-1) Suiwer straling (nuut)
      f-2) Straling + stof: numeriese integrasie (nuut)
      f-3) Straling + stof: elliptiese integrale (nuut)

      Astronomiese gegewens:

      Gravitasie-konstante = G = 6.67259 10 -11 m 3 kg -1 s -2
      Heliosentriese gravitasiekonstant = 1.3271244 10 20 m 3 s -2
      Geosentriese gravitasiekonstant = 3.986004356 10 14 m 3 s -2
      Massa van die son = M = 1.98892 10 30 kg
      Massa van die aarde = m = 5.97370 10 24 kg
      Sonradius = 696265 km
      Aardekwatoriale radius = 6378137 m
      Ligspoed = c = 299792458 m / s
      Astronomiese eenheid = 1AU = 149597870.6 km
      1 Ligjaar = 9.4607304726 10 15 m
      1 Megaparsec = 1 Mpc = 3.085677581 10 22 m
      Stefan se konstante = a = 7.565656 10 -16 J.m 3 .K -1
      Die temperatuur van die kosmiese agtergrond = T = 2.736 K
      Hubble Constant = H0

      -In die volgende programme het ek 1 / H gekies0 = 13.7 10 9 jaar wat ooreenstem met H0 = 71.37169499 km / s / Mpc = 2.312999111 10 -18 tweede
      -Hierdie desimale is slegs gegee om vergelykings te vergemaklik: Hubble Constant is baie onakkuraat bekend!
      -Die gemiddelde digtheid van materie is in die orde van (rho)mat

      3 10 -28 kg / m 3, miskien 10 of 100 keer meer!
      (moontlike donker materie, nie-baroniese of eksotiese materie.)

      -Sommige van hierdie programme maak gebruik van sintetiese registers M, N, O, P, Q wat natuurlik vervang kan word met enige ongebruikte dataregisters.
      -Integrale word aangedui en sekte

      a) Relativistiese vooruitgang van Periastron

      Ons neem aan dat 'n hemelliggaam met massa M 'n sferies-simmetriese gravitasieveld skep.
      -In hierdie geval het die maatstaf die volgende uitdrukking:

      ds 2 = (1-2GM / (c 2 .r)) c 2. dt 2 - dr 2 / (1-2GM / (c 2 .r)) - r 2 (d (theta) 2 + sin 2 (theta ) d (phi) 2) Schwarzschild-metriek

      (r, theta, phi = sferiese koördinate)

      - Met dien verstande dat die swaartekragveld nie te sterk is nie, is die baan van 'n planeet 'n stadig draaiende ellips.
      -Die 3 volgende kort roetines gebruik die formules:

      Vooruitgang van periastron = 6.PI.GM/(a.c 2 (1-e 2)) radiale per omwenteling
      Derde wet van Kepler: a 3 / T2 = GM / (4.PI 2)

      waar M = massa van die stelsel, T = wentelperiode, a = halfas, e = eksentrisiteit.

      01 LBL "MTE"
      02 X ^ 2
      03 TEKEN
      04 LASTX
      05 -
      06 .198956
      07 X & lt> Y
      08 /
      09 RDN
      10 ST / T
      11 /
      12 X ^ 2
      13 3
      14 1 / X
      15 Y ^ X
      16 R ^
      17 *
      18 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Z M /
      Y T M
      X e adv (p)

      waar M = massa (uitgedruk in sonmassas)
      T = Orbitale rewolusie (in dae)
      e = eksentrisiteit
      en adv (p) = die opmars van periastron in grade per jaar

      Voorbeeld1: Die binêre Pulsar PSR J0737-3039 het die volgende eienskappe:

      m1 = 1.25 Sonmassa m2 = 1.34 Sonmassa waarvandaan M = m1 + m2 = 2.59
      T = 2.45 uur
      e = 0.09

      2.59 TEKEN ^
      2.45 SKRYF ^ 24 /
      0.09 XEQ "MTE" >>>> adv (p) = 16.97 grade / jaar

      Voorbeeld2: Vir Mercurius is M = Massa van die son = 1
      T = 87.969 dae
      e = 0.2056

      1 TEKEN ^
      87.969 TREK ^
      0.2056 R / S >>>> 0.00011939 deg / jaar. Vermenigvuldig hierdie waarde met 36 E4, lewer dit: 42.98 boogsekondes / eeu

      -Die vordering van perihelium vir Mercurius is die eerste klassieke toets van algemene relatiwiteit.
      Natuurlik moet Newtonse versteurings veroorsaak deur ander planete tot hierdie relativistiese effek gevoeg word.
      Hierdie roetine veronderstel dat die regstelling klein is.
      -As M in kg en T in sekondes uitgedruk word, vervang lyn 06 deur 2.124235 E-13
      -Gelyke programme kan geskryf word as ons a, T, e in plaas van M, T, e ken:

      01 LBL "ATE"
      02 X ^ 2
      03 TEKEN
      04 LASTX
      05 -
      06 519.464
      07 X & lt> Y
      08 /
      09 ST * Z
      10 CLX
      11 3
      12 Y ^ X
      13 /
      14 *
      15 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Z a a
      Y T a
      X e adv (p)

      waar a = Semi-as (in astronomiese eenhede) As a in meter en T in sekondes uitgedruk word,
      T = Orbitale rewolusie (in dae) vervang lyn 06 deur 1.497084 E-5
      e = eksentrisiteit

      01 LBL "MAE"
      02 X ^ 2
      03 TEKEN
      04 LASTX
      05 -
      06 93808
      07 *
      08 VRL Y
      09 X ^ 2
      10 *
      11 ST / T
      12 RDN
      13 /
      14 SQRT
      15 *
      16 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Z M /
      Y a /
      X e adv (p)

      waar M = massa (uitgedruk in sonmassas) As M uitgedruk word in kilogram en a in meter
      T = Orbitale rewolusie (in dae) vervang lyn 06 deur 3.039848 E22
      e = eksentrisiteit

      -As 'n foton op 'n afstand d van 'n hemelliggaam met massa M gaan,
      sy trajek word afgewyk deur 'n hoek LD = 4.GM/(c 2 d) radiale.
      -Die (baie) kort volgende roetine bereken LD in sekondes boog.

      01 LBL "LD"
      02 /
      03 1.7498
      04 *
      05 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Y M /
      X d LD (")

      waar M uitgedruk word in sonmassas
      en d -------------------- radiusse.

      Voorbeeld: met M = 1 vir die son en d = 1 lewer dit natuurlik 1 op.75"

      Hierdie effek van ligafbuiging is die eerste keer opgemerk tydens die sonsverduistering van 1919.
      -As M in kg uitgedruk word en d in meter uitgedruk word, vervang lyn 03 deur 6.1255 E-22
      Hierdie program is slegs geldig vir klein afwykings.
      As ons sferiese simmetrie aanneem, is die presiese differensiaalvergelyking:

      d 2 u / d (phi) 2 + u = 3. GM / c 2 u 2 waar u = 1 / r en (r, phi) = poolkoördinate.

      -Een "snaakse" oplossing is r = konstant = 3.GM/c 2 = 1.5 * Schwarzschild-radius
      -Daarom kan 'n foton 'n sirkelvormige baan hê!

      c) Gravitasie-rooi verskuiwing

      -Ons veronderstel dat die bron en die waarnemer staties is in 'n sferies-simmetriese gravitasieveld wat geskep word deur 'n hemelliggaam met massa M.
      -In hierdie geval is z = d (lambda) / lambda = ((1-2GM / c 2 / rO) / (1-2GM / c 2 / rS)) 1/2 - 1 (r = afstand vanaf die oorsprong)

      01 LBL "GRZ"
      02 4.2416 E-6
      03 R ^
      04 *
      05 CHS
      06 TREK ^
      07 R ^
      08 /
      09 X & lt> Z
      10 /
      11 RCL X
      12 VRL Z
      13 -
      14 X & lt> Z
      15 1
      16 ST + Z
      17 +
      18 ST * Y
      19 X & lt> Y
      20 SQRT
      21 +
      22 /
      23 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Z M a
      Y rS a
      X rO adv (p)

      waar M = massa van die swaartekragliggaam (in sonmassa)
      rS = afstand bron-gravitasie liggaam (in sonstraal)
      rO = afstandwaarnemer-gravitasie liggaam ----------------

      2 TEKEN ^
      3 TEKEN ^
      4 XEQ "GRZ" >>>> z = 3.5347 10 -7

      -As M in kg en r uitgedruk wordS , rO is in meter, vervang lyn 02 deur 14849 E-31
      -Wanneer M = massa van die aarde, rO = radius van die aarde en rO-rS = 22.496 m lewer dit z

      2.46 10 -15
      Hierdie baie klein effek is in 1960 deur Pound & amp Rebka gemeet en bevestig

      -As beide GM / (c 2 r) klein is (GM / (c 2 r) & lt & lt 1), kan ons 'n baie korter roetine gebruik:

      01 LBL "GRZ2"
      02 1 / X
      03 CHS
      04 X & lt> Y
      05 1 / X
      06 +
      07 *
      08 2.1208 E-6 of 74243 E-32 as M uitgedruk word in kg en r in meter
      09 *
      10 EINDE

      2 & deg) Gravitasie-straling op sirkelbane

      Ons aanvaar nou dat 2 hemelliggame op sirkelbane om hul gemeenskaplike swaartepunt beweeg.
      As gevolg van gravitasie-bestraling verloor die stelsel 'n klein energie, en hul bane is eintlik spirale.
      -Die afstand r tussen hierdie 2 massas (m1 & amp m2 ) neem stadig af volgens die differensiaalvergelyking:

      -As r = r0 op 'n oomblik t = 0 bereken die volgende program op watter tyd T ons r = r het1 (r1 & lt r0 )

      01 LBL "SPI"
      02 X ^ 2
      03 X ^ 2
      04 X & lt> Y
      05 X ^ 2
      06 X ^ 2
      07 -
      08 ABS
      09 RDN
      10 ST * Z
      11 +
      12 *
      13 /
      14 32114 E13
      15 *
      16 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T m1 m1
      Z m2 m1
      Y r0 m1
      X r1 T

      waar mi word uitgedruk in sonmassas en rj word uitgedruk in Astronomiese eenhede
      Die resultaat T word in jare uitgedruk

      Voorbeeld: Kom ons neem weer die binêre pulsar PSR J0737-3039 m1 = 1.25, m2 = 1.34 (ons verwaarloos die klein eksentrisiteit)
      -Tans is r ongeveer 0.00586 AU
      -Bepaal hoeveel keer ons r = 0 het.001 AU

      1.25 TEKEN ^
      1.34 TEKEN ^
      0.00586 INSKRYF ^
      0.001 XEQ "SPI" >>>> 87 miljoen jaar

      -Die samesmeltingstyd word geskat op 85 miljoen jaar (dit is die kortste wat tans bekend is).
      -As mi is in kg en rj in meter is, vervang lyn 14 deur 1.592026 E71

      -Einstein se vergelykings Sij - (1/2) gij (S + 2. Lamda) = (8.PI.G / c 4) Tij word nou toegepas op a homogene en isotropiese heelal.
      (Sij is die kromtensor, S = SijS ij, Lambda is die kosmologiese konstante en Tij beskryf die inhoud van die heelal)

      -Dit "kosmologiese beginsel"lei tot die maatstaf van Robertson-Walker: ds 2 = c 2 dt 2 - R2 (t) / (1-kr 2/4) 2. (dr 2 + r 2 d (theta) 2 + r 2 sin 2 (theta) d (phi) 2)

      r, theta, phi is die bogenoemde sferiese koördinate
      R (t) is die skaalfaktor = die "radius" van die Heelal
      k = +1 vir sferiese heelalle
      k = 0 vir Euklidiese ---------
      k = -1 vir hiperbolies ---------

      -Gewoonlik, Tij = ((rho) .c 2 + p) uiuj - p gij (gij is die metrieke tensor rho = digtheid van materie en energie p = druk ui = dxi/ ds = 4-snelheid)
      en Einstein se vergelykings lewer:

      2 R (t) .d 2 R / dt 2 + (dR / dt) 2 + kc 2 = (- (8.PI.G / c 2). P + (Lambda) .c 2) .R 2 (t )
      (dR / dt) 2 + k.c 2 = ((8.PI.G / 3) (rho) + (Lambda / 3) .c 2) .R 2 (t)

      -As R (t) konstant is en p = 0, lei hierdie stelsel na Einstein se statiese model: k = +1, R = RE = c. (4.PI.G. (rho)) -1/2 Lambda = 4.PI.G. (rho) / c 2 = 1 / R 2

      Met rho = 5 10 -28 kg / m 3 lewer dit R = 4.63 10 26 m

      15 Gpc, Lambda = 4.665 10 -54 m -2
      Einstein se heelal is 'n 3-sfeer en sy volume is 2.PI 2 .R 3 = 1.959 10 81 m 3

      66700 GP 3
      Die massa daarvan is M = 9.796 10 53 kg

      -Om die vergelykings te vereenvoudig as R nie konstant is nie, neem ons nou aan p = 0 (verdwynende druk) en gebruik ons ​​die volgende parameters:

      H = (1 / R). DR / dt = Hubble konstante
      q = -R. (d 2 R / dt 2) / (dR / dt) 2 = vertragingsparameter
      (Omega)mat = 8.PI.G. (rho) / (3H 2) = digtheidsparameter
      (Omega)vak = (Lambda.c 2) / (3H 2) = L

      2.q + 2.L = 8.PI.G. (rho) / (3H 2)
      2.q + 3.L - 1 = k.c 2 / (H 2 R 2)

      waar y = R / R0 , die intekenaar 0 wat 'n huidige waarde beteken

      -Ken die kosmologiese rooi verskuiwing z van 'n sterrestelsel, en die waardes van die huidige parameters q0 , L0
      die volgende programme bereken verskeie "afstande", die resessiesnelheid en die ouderdom van die heelal.

      D = lig-reistydafstand (in ligjare) = lig-reistyd (in jare)
      D0 = beweegafstand (in ligjare)
      DL = helderheidsafstand (in ligjare)
      VR = resessiesnelheid (snelheid van die lig = 1)
      t0 = ouderdom van die heelal (in jare)

      F (x) = Sinh (x) as k = -1
      DL = R0 (z + 1) F (D0/ R0) waar F (x) = x as k = 0
      F (x) = Sin (x) as k = +1

      -Ons het ook k = teken (2q0+ 3L0-1) en R0 = (c / H0(2q.)0+ 3L0-1) -1/2 R0 kan willekeurig (positief) gekies word as k = 0

      - Sedert z + 1 = R0/ R = 1 / y, hierdie programme kan ook gebruik word om die grafiek van die funksie R (t) te teken
      z> 0 vir die verlede, -1 & lt z & lt 0 vir die toekoms.

      -Hier is 'n opsomming van die verskillende modelle:

      _______________________________________________ BAIE UNIVERSE___________________________________________________

      -Volgens die waardes van q en L kan die verskillende soorte heelal soos volg voorgestel word:

      V Hyp E Sph q C1
      * e | c
      * e Dom2 | c
      * e | c
      * Dom1e | c
      * e | c
      * e 1 | c
      * e | c Dom4
      * eA (01/2) A = Einstein-de Sitter-model
      * | e
      ------------------------ O | D3e ----------------------- ---------------- L
      | * e 1 2
      | * e
      | * e
      -1 | cB (1-1) B = de Sitter-model
      | * c
      | * c
      | * c
      -2 | * c
      | * Dom5 c
      | * C2
      W

      -Lyn (VW): q + L = 0 stel leë heelalle voor. Links van hierdie lyn is die digtheid van die materie negatief: q + L & lt 0
      -Lyn (BE): 2q + 3L -1 = 0 ---------- Euclidiese heelal. Links van hierdie lyn is heelalle hiperbolies. Regs is hulle bolvormig.

      -Domeine1 & amp2: VOAE & amp EAC1 daar is 'n oerknal en 'n groot geknars

      -Domeine3 & amp4: OAB & amp C1ABC2 daar is 'n oerknal en geen oerknal nie. R (t) het 'n punt van infleksie en R (t) is geneig tot oneindig soos neig tot oneindig
      Ons heelal blyk te wees binne driehoek OAB, naby die middelpunt van [OB]

      -Domein5: WBC2 daar is geen oerknal en geen oerknal nie. R (t) het 'n positiewe minimum (weieringmodelle)

      -Lyne) AcccC1) en) BcccC2) "kritiese" kosmologiese konstantes voorstel. Op hierdie lyne het ons: (3L + 2q-1) 3 = 27 L (q + L) 2
      -Die reguitlyn R = RE is 'n asimptoot van die kromme R = R (t) in beide gevalle:

      a) Friedmann-heelalle: Geen kosmologiese konstante, L0 = 0

      -Dit is 'n Euklidiese heelal: 2q0 + 3L0 - 1 = 0 vanwaar k = 0

      01 LBL "EdS"
      02 1
      03 +
      04 TREK ^
      05 INSKRYF ^
      06 SQRT
      07 1 / X
      08 CHS
      09 TREK ^
      10 R ^
      11 /
      12 1
      13 ST + Z
      14 +
      15 STO M
      16 RDN
      17 STO Z
      18 ST + Z
      19 ST * Y
      20 137 E8
      21 ST + X
      22 ST * M
      23 ST * Z
      24 *
      25 3
      26 ST / M
      27 ST / L
      28 CLX
      29 X & lt> M
      30 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y / D0
      X Z D
      L / t0

      7 XEQ "EdS" >>>> D = 8.730 10 9 ly
      RDN D0 = 17.713 10 9 ly
      RDN DL = 141.701 10 9 ly
      RDN VR = 1.2929
      LASTX t0 = 9.133 10 9 jaar

      -Die periode van hierdie heelal (tyd tussen 'n oerknal en 'n groot geknars) is T = (1 / H)0) (2.pi.q0(2q0-1) -3/2

      01 LBL "FRSPH"
      02 DEG
      03 1
      04 +
      05 STO M
      06 X & lt> Y
      07 TREK ^
      08 STO P (sinteties)
      09 ST + X
      10 LASTX
      11 -
      12 STO N
      13 X & lt> Y
      14 /
      15 TEKEN ^
      16 TEKEN ^
      17 TEKEN
      18 -
      19 ACOS
      20 CHS
      21 STO T
      22 X & lt> Z
      23 /
      24 PI
      25 R-D
      26 ST + T
      27 TEKEN
      28 -
      29 ACOS
      30 +
      31 STO O
      32 VRL Bl
      33 VRL N
      34 SQRT
      35 /
      36 D-R
      37 ST * Z
      38 *
      39 VRL M
      40 VRL Bl
      41 ST + X
      42 ST * Y
      43 -
      44 1
      45 ST- T
      46 +
      47 SQRT
      48 VRL M
      49 ST- Y
      50 /
      51 +
      52 X & lt> M
      53 VRL O
      54 SONDE
      55 *
      56 VRL N
      57 ST / M
      58 ST / Z
      59 SQRT
      60 ST / Y
      61 R-D
      62 ST / O
      63 X & lt> Z
      64 TEKEN
      65 X & lt> O
      66 STO Z
      67 137 E8
      68 ST * L
      69 ST * M
      70 ST * Y
      71 ST * Z
      72 X & lt> M
      73 CLA
      74 EINDE

      (121 grepe / GROOTTE 000)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      2 TEKEN ^
      3 XEQ "FRSPH" >>>> D = 5.871 10 9 ly
      RDN D0 = 9.482 10 9 ly
      RDN DL = 29.474 10 9 ly
      RDN VR = 0.6921
      LASTX t0 = 6.477 10 9 jaar

      Nota: Vir q0 = 0.50001 is die resultate nog ongeveer korrek (byna dié van Einstein-de Sitter-model)
      maar met q0 = 0.500001, D en t0 is verkeerd! (as gevolg van afrondingsfoute)

      01 LBL "FRHYP"
      02 1
      03 +
      04 STO M
      05 X & lt> Y
      06 TREK ^
      07 STO P (sinteties)
      08 ST + X
      09 TEKEN
      10 LASTX
      11 -
      12 STO N
      13 X & lt> Y
      14 /
      15 TEKEN ^
      16 TREK ^
      17 X ^ 2
      18 LASTX
      19 ST + X
      20 +
      21 SQRT
      22 +
      23 LN1 + X
      24 X & lt> Y
      25 VRL M
      26 /
      27 TEKEN ^
      28 X ^ 2
      29 LASTX
      30 ST + X
      31 +
      32 SQRT
      33 +
      34 LN1 + X
      35 -
      36 STO O
      37 VRL Bl
      38 VRL N
      39 SQRT
      40 /
      41 CHS
      42 ST * Z
      43 *
      44 VRL M
      45 VRL Bl
      46 ST + X
      47 ST * Y
      48 -
      49 1
      50 ST + T
      51 +
      52 SQRT
      53 VRL M
      54 ST- Y
      55 /
      56 -
      57 X & lt> M
      58 VRL O
      59 E ^ X
      60 TEKEN ^
      61 1 / X
      62 -
      63 *
      64 2
      65 /
      66 VRL N
      67 ST / M
      68 ST / Z
      69 SQRT
      70 ST / Y
      71 ST / O
      72 X & lt> Z
      73 TEKEN
      74 X & lt> O
      75 STO Z
      76 137 E8
      77 ST * L
      78 ST * M
      79 ST * Y
      80 ST * Z
      81 X & lt> M
      82 CLA
      83 EINDE

      (130 grepe / GROOTTE 000)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld: q0 = 0.4 z = 7

      0.4 TEKEN ^
      7 XEQ "FRHYP" >>>> D = 9.087 10 9 ly
      RDN D0 = 18.708 10 9 ly
      RDN DL = 159.140 10 9 ly
      RDN VR = 1.3655
      LASTX t0 = 9.534 10 9 jaar

      b) Leë heelalle: q0 + L0 = 0

      k = -1 (hiperboliese meetkunde)

      01 LBL "MLN"
      02 INSKRYF ^
      03 STO M
      04 1
      05 +
      06 ST / M
      07 LN
      08 X & lt> Y
      09 1
      10 LASTX
      11 +
      12 *
      13 2
      14 /
      15 X & lt> Y
      16 137 E8
      17 ST * M
      18 ST * Z
      19 *
      20 0
      21 X & lt> M
      22 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y / D0
      X Z D
      L / t0

      7 XEQ "MLN" >>>> D = 11.988 10 9 ly
      RDN D0 = 28.488 10 9 ly
      RDN DL = 431.550 10 9 ly
      RDN VR = 2.0794
      LASTX t0 = 13.700 10 9 jaar

      01 LBL "dST"
      02 TREK ^
      03 STO Z
      04 1
      05 +
      06 ST * Z
      07 LN
      08 STO M
      09 CLX
      10 137 E8
      11 ST * M
      12 ST * Z
      13 *
      14 DEG
      15 90
      16 TAN
      17 TEKEN
      18 CLX
      19 X & lt> M
      20 EINDE


      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y / D0
      X Z D
      L / t0

      7 XEQ "dST" >>>> D = 28.488 10 9 ly
      RDN D0 = 95.900 10 9 ly
      RDN DL = 767.200 10 9 ly
      RDN VR = 7.0000
      LASTX t0 = 9.9999 10 99 jaar = oneindigheid

      Onlangse waarnemings dui daarop dat q0 is in die orde van -1/2

      Formules: k = -1 (hiperboliese meetkunde)

      01 LBL "VAC"
      02 1
      03 +
      04 STO M
      05 X & lt> Y
      06 TREK ^
      07 CHS
      08 STO N
      09 LASTX
      10 -
      11 /
      12 STO O
      13 SQRT
      14 LASTX
      15 1
      16 STO V
      17 +
      18 SQRT
      19 ST + Q
      20 +
      21 TEKEN ^
      22 R ^
      23 ST * Y
      24 X ^ 2
      25 VRL O
      26 +
      27 SQRT
      28 STO P (sinteties)
      29 VRL O
      30 SQRT
      31 +
      32 /
      33 LN
      34 X & lt> M
      35 TEKEN ^
      36 X & lt> P
      37 +
      38 RCL V
      39 /
      40 LN
      41 STO O
      42 X & lt> L
      43 TEKEN ^
      44 1 / X
      45 -
      46 VRL Bl
      47 *
      48 2
      49 /
      50 X & lt> Y
      51 LN
      52 VRL N
      53 SQRT
      54 ST / M
      55 /
      56 1
      57 VRL N
      58 -
      59 SQRT
      60 ST / O
      61 ST / Z
      62 RDN
      63 TEKEN
      64 X & lt> O
      65 STO Z
      66 137 E8
      67 ST * L
      68 ST * M
      69 ST * Y
      70 ST * Z
      71 X & lt> M
      72 CLA
      73 EINDE

      (112 byte / GROOTTE 000)


      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld: q0 = -0.3 z = 7

      -0.3 TEKEN ^
      7 XEQ "VAC" >>>> D = 13.341 10 9 ly
      RDN D0 = 32.552 10 9 ly
      RDN DL = 469.215 10 9 ly
      RDN VR = 2.3761
      LASTX t0 = 15.386 10 9 jaar

      k = -1 (hiperboliese meetkunde)

      01 LBL "VAC2"
      02 DEG
      03 1
      04 +
      05 X & lt> Y
      06 INSKRYF ^
      07 STO N
      08 LASTX
      09 +
      10 /
      11 STO M
      12 CHS
      13 X & lt> Y
      14 X ^ 2
      15 +
      16 SQRT
      17 +
      18 1
      19 VRL M
      20 -
      21 SQRT
      22 1
      23 +
      24 /
      25 LN
      26 STO O
      27 X & lt> L
      28 TEKEN ^
      29 1 / X
      30 -
      31 *
      32 2
      33 /
      34 VRL M
      35 SQRT
      36 ST / Z
      37 ASIN
      38 TEKEN ^
      39 R ^
      40 1 / X
      41 ASIN
      42 -
      43 D-R
      44 STO M
      45 RDN
      46 D-R
      47 VRL N
      48 SQRT
      49 ST / M
      50 /
      51 1
      52 VRL N
      53 +
      54 SQRT
      55 ST / O
      56 ST / Z
      57 RDN
      58 TEKEN
      59 X & lt> O
      60 STO Z
      61 137 E8
      62 ST * L
      63 ST * M
      64 ST * Y
      65 ST * Z
      66 X & lt> M
      67 CLA
      68 EINDE

      (101 byte / GROOTTE 000)


      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld: q0 = 0.3 z = 7

      0.3 TEKEN ^
      7 XEQ "VAC2" >>>> D = 11.031 10 9 ly
      RDN D0 = 25.737 10 9 ly
      RDN DL = 403.673 10 9 ly
      RDN VR = 1.8786
      LASTX t0 = 12.534 10 9 jaar

      01 LBL "VAC3"
      02 DEG
      03 1
      04 +
      05 STO M
      06 X & lt> Y
      07 CHS
      08 TREK ^
      09 STO N
      10 LASTX
      11 -
      12 /
      13 STO O
      14 SQRT
      15 LASTX
      16 1
      17 -
      18 SQRT
      19 +
      20 TEKEN ^
      21 R ^
      22 ST * Y
      23 X ^ 2
      24 CHS
      25 VRL O
      26 +
      27 SQRT
      28 VRL O
      29 SQRT
      30 +
      31 /
      32 LN
      33 X & lt> M
      34 STO Z
      35 VRL O
      36 SQRT
      37 1 / X
      38 ST * Y
      39 ACOS
      40 X & lt> Y
      41 ACOS
      42 -
      43 STO O
      44 SONDE
      45 R ^
      46 *
      47 X & lt> Y
      48 LN
      49 VRL N
      50 SQRT
      51 ST / M
      52 /
      53 VRL N
      54 1
      55 -
      56 SQRT
      57 ST / Z
      58 R-D
      59 ST / O
      60 RDN
      61 TEKEN
      62 X & lt> O
      63 STO Z
      64 137 E8
      65 ST * L
      66 ST * M
      67 ST * Y
      68 ST * Z
      69 X & lt> M
      70 CLA
      71 EINDE

      (107 grepe / GROOTTE 000)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld: q0 = -1.1 z = 2

      -1.1 TEKEN ^
      2 XEQ "VAC3" >>>> D = 18.458 10 9 ly
      RDN D0 = 35.699 10 9 ly
      RDN DL = 95.381 10 9 ly
      RDN VR = 2.6057
      LASTX t0 = 24.408 10 9 jaar

      *** In hierdie modelle is daar geen oerknal nie: t0 = die tyd sedert die minimum van die skaalfaktor R (t)
      Die ouderdom van die heelal is eintlik oneindig.

      -In hierdie heelalle kan z nie 'n maksimum rooi verskuiwing oorskry nie: zmaksimum = (q0/ (q0+1)) 1/2 - 1
      -Met q0 = -1.1, zmaksimum = 2.3166

      -Eintlik is daar twee afstande vir 'n gegewe rooi verskuiwing (een gedurende die kontrakteringsfase en 'n ander een gedurende die uitbreidingsfase)
      Hierdie program gee slegs die afstand wat ooreenstem met die uitbreidingsfase.

      c) Eddington-Lemaitre-heelalle (kritieke parameters)

      -Al hierdie heelal is bolvormig (k = +1)

      Dataregisters: /
      Vlag: F10
      Subroetines: /

      01 LBL "LEM"
      02 DEG
      03 CF 10
      04 1
      05 +
      06 STO M
      07 X & lt> Y
      08 X> 0?
      09 SF 10
      10 STO N
      11 LASTX
      12 +
      13 STO Y
      14 4
      15 3
      16 /
      17 -
      18 *
      19 *
      20 *
      21 SQRT
      22 X & lt> Z
      23 6
      24 -
      25 *
      26 +
      27 6
      28 ST + Y
      29 / hier, X-register = L0 Voeg STO 00 na hierdie reël by as u hierdie nommer wil stoor.
      30 STO P (sinteties)
      31 VRL N
      32 X & lt> Y
      33 ST + Y
      34 /
      35 PI
      36 INT
      37 1 / X
      38 Y ^ X
      39 ST + X
      40 1 / X hier, X-register = a Voeg STO 01 na hierdie reël by as u hierdie waarde wil stoor.
      41 STO V
      42 VRL M
      43 +
      44 SQRT
      45 STO Y
      46 VRL V
      47 PI
      48 INT
      49 *
      50 SQRT
      51 STO O
      52 ST + Z
      53 -
      54 ST / Y
      55 CLX
      56 TEKEN
      57 VRL V
      58 +
      59 SQRT
      60 RCL X
      61 VRL O
      62 ST + Z
      63 -
      64 /
      65 ST / Y
      66 X> 0?
      67 LN
      68 STO O
      69 X & lt> Y
      70 LN
      71 FS? 10
      72 CHS
      73 PI
      74 INT
      75 SQRT
      76 ST / O
      77 /
      78 VRL M
      79 RCL V
      80 +
      81 SQRT
      82 RCL X
      83 VRL V
      84 SQRT
      85 ST- Z
      86 +
      87 /
      88 RCL V
      89 TEKEN ^
      90 TEKEN
      91 +
      92 SQRT
      93 VRL V
      94 SQRT
      95 +
      96 X ^ 2
      97 LN
      98 ST- O
      99 X & lt> L
      100 *
      101 LN
      102 FS? 10
      103 CHS
      104 +
      105 VRL N
      106 VRL Bl
      107 +
      108 VRL V
      109 ST + X
      110 ST / O
      111 ST / Z
      112 *
      113 SQRT
      114 ST / O
      115 ST / Z
      116 /
      117 VRL Bl
      118 3
      119 *
      120 VRL N
      121 ST + X
      122 +
      123 1
      124 -
      125 SQRT
      126 ST / M
      127 R ^
      128 *
      129 R-D
      130 SONDE
      131 ST * M
      132 CLX
      133 137 E8
      134 ST * M
      135 ST * O
      136 ST * Y
      137 ST * Z
      138 CLX
      139 90
      140 TAN
      141 FS? C 10
      142 X & lt> O
      143 TEKEN
      144 X & lt> M
      145 X & lt> Z
      146 X & lt> Y
      147 CLA
      148 EINDE

      (219 bytes / SIZE 000)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z / DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      met q0 > 1/2 (Eddington-modelle)
      of q0 & lt -1 (Lemaitre-modelle)

      -Sulke "kritieke" modelle bestaan ​​nie as q0 is tussen -1 en 1/2

      Voorbeeld1: q0 = -1.1 z = 2 vanwaar L0 = 1.107976565 (reël 29)

      -1.1 TEKEN ^
      2 XEQ "LEM" >>>> D = 17.355 10 9 ly
      RDN D0 = 32.783 10 9 ly
      RDN DL = 87.124 10 9 ly
      RDN VR = 2.3930
      LASTX t0 = 9.9999 10 99 jaar = oneindigheid

      -As q0 & lt -1, z moet kleiner as 2a - 1 wees (ymin = 1 / (2a)) hier a = 2.589454154 (reël 40)

      Voorbeeld2: q0 = 2.375 z = 2 vanwaar L0 = 1 (reël 29)

      2.375 TEKEN ^
      2 XEQ "LEM" >>>> D = 5.0238 10 9 ly
      RDN D0 = 7.4017 10 9 ly
      RDN DL = 15.599 10 9 ly
      RDN VR = 0.5403
      LASTX t0 = 5.7825 10 9 jaar

      -As q0 > 1/2, ymaksimum = 1 / (2a), hier is a = 1/3

      -Skryf van SIZE 000-programme is altyd 'n interessante uitdaging,
      maar daar kan verskillende grepe gestoor word as u standaardregisters gebruik.

      d) Euklidiese heelalle

      -Ons aanvaar nou k = 0 i-e 3.L0 + 2.q0 - 1 = 0

      q0 = 1/2 is Einstein-de Sitter-model
      q0 = -1 is die Sitter-model

      -Vir ander q0-waardes, die verwyderde afstand benodig elliptiese integrale
      maar die reistydafstand D en die ouderdom van die heelal kan uitgedruk word in terme van elementêre funksies:

      H0.D / c = (3-6q0) -1/2 Ln [(((z + 1) 3 + a) 1/2 - a 1/2) (((z + 1) 3 + a) 1/2 + a 1/2) -1 ( (1 + a) 1/2 + a 1/2) 2]

      01 LBL "EUCL"
      02 X & lt> Y
      03 BETREK ^
      04 ST + X
      05 1
      06 ST + Z
      07 ST + T
      08 -
      09 CHS
      10 STO M
      11 X & lt> Y
      12 ST + X
      13 /
      14 TEKEN ^
      15 R ^
      16 3
      17 Y ^ X
      18 +
      19 SQRT
      20 TEKEN ^
      21 R ^
      22 SQRT
      23 ST- Z
      24 +
      25 /
      26 1
      27 R ^
      28 ST + Y
      29 SQRT
      30 X & lt> Y
      31 SQRT
      32 +
      33 X ^ 2
      34 ST * Y
      35 LN
      36 X & lt> Y
      37 LN
      38 0
      39 X & lt> M
      40 3
      41 *
      42 SQRT
      43 137 E8
      44 X & lt> Y
      45 /
      46 ST * Z
      47 *
      48 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Y q0 t0
      X Z D

      Voorbeeld: q0 = -0.7 & amp z = 7 (waarvandaan L0 = 0.8 )

      -0.7 TEKEN ^
      7 XEQ "EUCL" >>>> D = 1.3840 10 10 ly
      X & lt> Y t0 = 1.4742 10 10 jaar

      H0.D / c = 2. (- 3 + 6q0) -1/2 [Arctan (((z + 1) 3 + a) 1/2 (-a) -1/2) - Arctan ((1 + a) 1/2 (-a) -1/2]

      01 LBL "EUCL2"
      02 DEG
      03 X & lt> Y
      04 TREK ^
      05 ST + X
      06 1
      07 ST + Z
      08 ST + T
      09 -
      10 STO M
      11 X & lt> Y
      12 ST + X
      13 /
      14 TEKEN ^
      15 R ^
      16 3
      17 Y ^ X
      18 -
      19 CHS
      20 1
      21 R ^
      22 ST- Y
      23 ST / Z
      24 /
      25 SQRT
      26 ATAN
      27 X & lt> Y
      28 SQRT
      29 ATAN
      30 X & lt> Y
      31 ST- Y
      32 D-R
      33 CHS
      34 ST + X
      35 PI
      36 +
      37 X & lt> Y
      38 ST + X
      39 D-R
      40 0
      41 X & lt> M
      42 3
      43 *
      44 SQRT
      45 137 E8
      46 X & lt> Y
      47 /
      48 ST * Z
      49 *
      50 EINDE

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      Y q0 t0
      X Z D

      Voorbeeld: q0 = 2 & amp z = 7 (waarvandaan L0 = -1 )

      2 TEKEN ^
      7 XEQ "EUCL" >>>> D = 6.8878 10 9 ly
      X & lt> Y t0 = 7.1733 10 9 jaar

      e) Meer algemene modelle

      e-1) Numeriese integrasie (program # 1)

      -Drie integrale is nodig om t te bereken0 , D en D0
      -Die volgende program gebruik die verandering van veranderlike y = u 2 en Gauss-Legendre 3-punt formule.

      Dataregisters: R00 tot R16 R00 tot en met R08 word gebruik deur "GL3"

      wanneer die program stop: R00 = k (+1 = bolvormig, 0 = Euklidies, -1 = hiperbolies)
      R01 = D, R02 = D0 , R03 = DL , R04 = VR , R05 = t0 , R06 = R0 (huidige skaalfaktor)

      Vlae: F00 stel vlag F00 in as u nie die ouderdom van die Heelal wil bereken nie0
      F10
      Subroetine: "GL3" Gauss-Legendre 3-punt formule (vgl. "Numeriese integrasie vir die HP-41")

      01 LBL "COSMO"
      02 DEG
      03 1
      04 STO 02
      05 +
      06 STO 09
      07 "S"
      08 ASTO 00
      09 SF 10
      10 FS? 00
      11 GTO 01
      12 CLX
      13 STO 01
      14 +
      15 STO 10
      16 X & lt> Y
      17 STO 11
      18 +
      19 X & lt0?
      20 LN kry u DATA FOUT as die digtheid van die materie negatief is i-e q0 + L0 & lt 0
      21 STO 12
      22 ST + X
      23 +
      24 1
      25 -
      26 STO 13
      27 3
      28 Y ^ X
      29 VRL 12
      30 ST + 12
      31 X ^ 2
      32 27
      33 *
      34 VRL 11
      35 *
      36 X> Y?
      37 GTO 00
      38 VRL 10
      39 1
      40 +
      41 X> 0?
      42 GTO 00
      43 90
      44 TAN as (3L + 2q-1) 3> = 27 L (q + L) 2 en q & lt = -1 geen oerknal en t is0 = oneindigheid (9.999999999 E99 vir die HP-41)
      45 STO 14
      46 GTO 01
      47 LBL 00
      48 XEQ 02
      49 STO 14
      50 LBL 01
      51 VRL 09
      52 SQRT
      53 1 / X
      54 STO 01
      55 XEQ 02
      56 STO 15
      57 CF 10
      58 XEQ 02
      59 STO 02
      60 STO 04
      61 VRL 13
      62 ABS
      63 SQRT
      64 X = 0?
      65 TEKEN
      66 1 / X
      67 STO 06
      68 /
      69 BETREK ^
      70 E ^ X-1
      71 LASTX
      72 CHS
      73 E ^ X-1
      74 -
      75 2
      76 /
      77 VRL Y
      78 R-D
      79 SONDE
      80 VRL 13
      81 X # 0?
      82 TEKEN ^
      83 X> 0?
      84 TEKEN ^
      85 GTO 04
      86 LBL 02 Reëls 86 tot 103 gebruik Gauss Legendre 3-punt formule
      87 E99 word die aantal n subintervalle (in register R03) tot twee opeenvolgende verdubbel afgerond waardes is gelyk
      88 STO 16 word die akkuraatheid dus deur die vertoonformaat beheer
      89 TEKEN
      90 STO 03 Eintlik vir ons heelal (q0 van die orde van -0.5 en L0 van die orde van 0.6 ),
      91 LBL 03 die resultate het minstens 6 beduidende syfers as n = 4 en reëls 87 tot 103 vervang kan word deur 4 STO 03 XEQ "GL3" RTN
      92 VRL 03
      93 ST + 03 Met ons heelal lewer n = 10 byna 10 beduidende syfers op!
      94 XEQ "GL3"
      95 BESIGTIG X
      96 RND
      97 LASTX
      98 X & lt> 16
      99 RND
      100 X # Y?
      101 GTO 03
      102 VRL 04
      103 RTN
      104 LBL "S"
      105 X ^ 2
      106 BETREK ^
      107 BETREK ^
      108 X ^ 2
      109 VRL 11
      110 *
      111 VRL 13
      112 -
      113 *
      114 VRL 12
      115 +
      116 SQRT
      117 1 / X
      118 ST + X
      119 FS? 10
      120 *
      121 RTN
      122 LBL 04
      123 R ^
      124 VRL 06
      125 *
      126 VRL 09
      127 *
      128 STO 03
      129 VRL 13
      130 X # 0?
      131 TEKEN
      132 STO 00
      133 VRL 14
      134 STO 05
      135 VRL 15
      136 STO 01
      137 137 E8
      138 ST * 01
      139 ST * 02
      140 ST * 03
      141 SF 25
      142 ST * 05
      143 ST * 06
      144 VRL 05
      145 TEKEN
      146 VRL 04
      147 VRL 03
      148 VRL 02
      149 VRL 01
      150 CLD
      151 CLA
      152 CF 25
      153 EINDE

      (212 grepe / GROOTTE 017)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z L0 DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld1: L0 = 0.7 q0 = -0.6 z = 7

      0.7 TEKEN ^
      -0.6 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO" >>>> D = 1.3283 10 10 ly = R01 (in 93s in FIX 4) Die opeenvolgende benaderings
      RDN D0 = 3.0246 10 10 ly = R02 van die 3 integrale (vir t0 D0 DL )
      RDN DL = 2.6210 10 11 ly = R03 word tydens die berekeninge vertoon.
      RDN VR = 2.2077 = R04
      LASTX t0 = 1.4168 10 10 jaar = R05

      -Ons het ook R06 = 4.3323 10 10 = stroomskaalfaktor = R (t0) = R0
      en R00 = k = -1, wat beteken dat die heelal hiperbolies is.

      -Registrasies R10 tot R14 sal geïnisialiseer word nadat hulle 'n keer 'COSMO' uitgevoer het.
      -Stel vlag F00 en plaas eenvoudig z in X-register om ander afstande te bereken
      met dieselfde kosmologiese parameters en dieselfde akkuraatheid.

      Hierdie program kan gebruik word om 'n grafiese voorstelling van R (t) te teken:
      (voeg FS? 04 RTN by na lyn 56 en stel vlae F00 en F04 in om H te bereken0. (t0 - slegs)

      byvoorbeeld: z = 7 beteken y = 1/8 (z = 1 / y - 1) en ligte reistyd = 1.3283 10 10 = t0 - t
      vanwaar t = 8.85 10 10 of H0.t = 0.0646 (as y = 1/8)

      -Meer direk, voeg LBL "IG" na lyn 86 LBL 02 by en laai hierdie kort roetine:

      01 LBL "Y-H0T" In hierdie program is die oorsprong van tyd (t = 0) die oerknal.
      02 X = 0? Dit sal natuurlik nie werk as daar nie 'n oerknal is nie!
      03 RTN In hierdie geval, vervang reëls 02 tot 08 deur
      04 SF 10
      05 SQRT SF 10 SQRT STO 02 1 STO 01
      06 STO 02
      07 CLX Die oorsprong van die tyd sal dus 'nou' wees
      08 STO 01
      09 "S"
      10 ASTO 00
      11 XEQ "IG"
      12 CLA
      13 EINDE

      -Initialiseer registers R11 tot R13 (dit word gedoen as u reeds "COSMO" uitgevoer het)
      en met ons voorbeeld: q0 = -0.6 L0 = 0.7 lewer dit op (in FIX 3)

      Vir y = 3 3 XEQ "Y-H0T" >>>> 2.267 en insgelyks:

      y 0 0.1 0.25 yEk 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.5 3 10
      H0.t 0 0.046 0.178 0.495 0.765 1.034 1.266 1.466 1.640 1.793 2.053 2.267 3.700

      Hier, yEk = (1 + q0/ L0) 1/3 = 0.522757959 I is 'n punt van infleksie: q> 0 vir y & lt yEk en q & lt 0 vir y> yEk

      Voorbeeld2: L0 = 2/3 q0 = -0.5 z = 7

      2 INKOM ^ 3 /
      -0.5 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO" >>>> D = 1.2123 10 10 ly = R01 (in 97 s in FIX 4)
      RDN D0 = 2.6605 10 10 ly = R02
      RDN DL = 2.1284 10 11 ly = R03
      RDN VR = 1.9420 = R04
      LASTX t0 = 1.2822 10 10 jaar = R05

      -Ons het ook R06 = 1.3700 10 10 = stroomskaalfaktor = R (t0) = R0
      en R00 = k = 0, ons het 'n Euklidiese heelal.

      Voorbeeld3: L0 = 0.6 q0 = -0.3 z = 7

      0.6 TEKEN ^
      -0.3 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO" >>>> D = 1.0689 10 10 ly = R01 (in 120 s in FIX 4)
      RDN D0 = 2.2467 10 10 ly = R02
      RDN DL = 1.6405 10 11 ly = R03
      RDN VR = 1.6399 = R04
      LASTX t0 = 1.1217 10 10 jaar = R05

      -Ons het ook R06 = 3.0634 10 10 = stroomskaalfaktor = R (t0) = R0
      en R00 = k = +1, die heelal is bolvormig.

      -As daar nie 'n oerknal is nie, is die minimum ymin = Rmin/ R0 kan gevind word deur die kubieke vergelyking op te los: L0.y 3 + (1-2q0-3L0 ) .y + (2q0+ 2.L0 ) = 0

      Byvoorbeeld, as q0 = -1.1 & amp L.0 = 1.102 die kubieke 1.102 y 3 - 0.106 y + 0.004 = 0 het 3 werklike wortels: 0.289201975 0.038320885 -0.327522859
      en ymin = 0.289201975 wat ooreenstem met zmaksimum = 1 / jmin - 1 = 2.457791053

      -As z naby aan z ismaksimum , "COSMO" sal wees baie stadig: dus in FIX 3

      1.102 TEKEN ^
      -1.1 TEKEN ^
      2.45 XEQ "COSMO" lewer D = 2.459 10 10 in 1h16mn vir slegs 2 integrale!
      D0 = 5.599 10 10
      DL = 1.410 10 11
      VR = 4.087 R0 = 4.208 10 10

      -Om soortgelyke redes is lang uitvoeringstyd te verwagte as u op soek is na die halfperiode van 'n ossillerende heelal (Domeine 1 & amp2)
      - "Plateau" -modelle (as die parameters L en q naby hul "kritieke" waardes is) is 'n derde moeilike geval.

      -In al hierdie drie gevalle is die integrand (of is dit byna) enkelvoudig en 'n goeie 41-emulator in turbo-modus sal nuttig wees!

      e-2) Numeriese integrasie (program # 2)

      -Die program hierbo gee in die meeste gevalle akkurate resultate, veral vir ons heelal.
      -As u egter ander modelle wil ondersoek, kan ander veranderlike veranderings beter wees. "COSMO2" gebruik die volgende:

      a) As y 'n positiewe minimum het (weieringmodelle), stel ons: y = ymin cosh 2 v
      b) As y 'n eindige maksimum het (ossillerende modelle), stel ons: y = ymaksimum sonde 2 v
      c) Vir "plato" -modelle stel ons y = b + e.sinh v waar b + i.e, b-i.e die ingewikkelde wortels van die radikand is (e> 0).

      -Hierdie laaste verandering van argument word met min entoesiasme voorgehou omdat numeriese integrasie moeilik bly vir plato-modelle.
      Dit werk egter baie beter as "COSMO", en selfs beter as u die integrator gebruik wat in die PPC ROM-gebruikershandleiding gelys word.

      Dataregisters: R00 tot R22

      R10: z + 1 R13: 2 (q0 + L0) R16: ymaksimum R19: eweredig aan D
      R11: q0 R14: -2q0 - 3L0 + 1 R17: eweredig aan t0 R20-R21-R22: temp
      R12: L0 R15: ymin R18: eweredig aan T

      wanneer die program stop: R00 = k (+1 = bolvormig, 0 = Euklidies, -1 = hiperbolies)
      R01 = D, R02 = D0 , R03 = DL , R04 = VR , R05 = t0 , R06 = R0 (huidige skaalfaktor)
      R07 = Rmin , R08 = Rmaksimum , R09 = T = Tydperk van 'n ossillerende heelal (andersins 0)

      -Hier, vir weerkaatsende heelalle, t0 word gereken vanaf die minimum van die skaalfaktor R (t) (die ouderdom van die heelal is oneindig)

      Vlae: F00 stel vlag F00 in as u nie die ouderdom van die Heelal wil (her-) bereken nie0en die tydperk T
      F01 word deur "P3" gebruik om komplekse wortels aan te dui
      F10

      Subroetines: "P3" kubieke vergelykings (vgl. "Polinome vir die HP-41")
      "GL3" Gauss-Legendre 3-punt formule (vgl. "Numeriese integrasie vir die HP-41")

      01 LBL "COSMO2"
      02 DEG
      03 CF 01
      04 SF 10
      05 1
      06 STO 02
      07 +
      08 STO 10
      09 CLX
      10 STO 01
      11 STO 18
      12 +
      13 STO 11
      14 X & lt> Y
      15 STO 12
      16 +
      17 ST + X
      18 X & lt0?
      19 LN
      20 STO 13
      21 1
      22 VRL Y
      23 -
      24 R ^
      25 -
      26 STO 14
      27 R ^
      28 X = 0?
      29 GTO 00
      30 CLX
      31 X & lt> Z
      32 XEQ "P3"
      33 GTO 01
      34 LBL 00
      35 RDN
      36 CHS
      37 X & lt = 0?
      38 CLST
      39 X # 0?
      40 /
      41 LBL 01
      42 STO 03
      43 RDN
      44 STO 21
      45 FS? 01
      46 CLX
      47 STO 04
      48 X & lt> Y
      49 STO 22
      50 FS? 01
      51 CLX
      52 STO 05
      53 1
      54 VRL 03
      55 X & ltY?
      56 GTO 00
      57 CLX
      58 VRL 04
      59 X & ltY?
      60 GTO 00
      61 CLX
      62 VRL 05
      63 X> Y?
      64 CLX
      65 LBL 00
      66 X & lt0?
      67 CLX
      68 STO 15
      69 CLX
      70 VRL 05
      71 X> Y?
      72 GTO 00
      73 CLX
      74 VRL 04
      75 X> Y?
      76 GTO 00
      77 CLX
      78 VRL 03
      79 X> Y?
      80 GTO 00
      81 90
      82 TAN
      83 LBL 00
      84 STO 16
      85 90
      86 TAN
      87 -
      88 VRL 15
      89 +
      90 X = 0?
      91 GTO 03
      92 LASTX
      93 X = 0?
      94 GTO 02
      95 "S1"
      96 ASTO 00
      97 SQRT
      98 1 / X
      99 VRL 15
      100 1 / X
      101 1
      102 -
      103 SQRT
      104 +
      105 LN
      106 STO 02
      107 VRL 03
      108 VRL 04
      109 X # Y?
      110 GTO 00
      111 90
      112 TAN
      113 GTO 01
      114 LBL 00
      115 FC? 00
      116 XEQ 05
      117 LBL 01
      118 FC? 00
      119 STO 17
      120 VRL 10
      121 VRL 15
      122 *
      123 1 / X
      124 SQRT
      125 LASTX
      126 1
      127 -
      128 SQRT
      129 +
      130 LN
      131 GTO 04 (teoreties 'n drie-byte GTO)
      132 LBL 02
      133 "S2"
      134 ASTO 00
      135 90
      136 STO 02
      137 VRL 03
      138 VRL 04
      139 X = Y?
      140 GTO 01
      141 FC? 00
      142 XEQ 05
      143 ST + X
      144 FC? 00
      145 STO 18
      146 LBL 01
      147 VRL 16
      148 SQRT
      149 1 / X
      150 ASIN
      151 STO 02
      152 FC? 00
      153 XEQ 05
      154 FC? 00
      155 STO 17
      156 VRL 10
      157 VRL 16
      158 *
      159 SQRT
      160 1 / X
      161 ASIN
      162 GTO 04
      163 LBL 03
      164 VRL 11
      165 1
      166 +
      167 FS? 01
      168 X> 0?
      169 GTO 03
      170 20
      171 1 / X
      172 VRL 22
      173 ABS
      174 STO 22
      175 X> Y?
      176 GTO 03
      177 "S3"
      178 ASTO 00
      179 VRL 21
      180 X & lt> Y
      181 /
      182 TEKEN ^
      183 X ^ 2
      184 1
      185 +
      186 SQRT
      187 +
      188 LN
      189 CHS
      190 STO 01
      191 1
      192 VRL 21
      193 -
      194 VRL 22
      195 /
      196 BETROKKE ^
      197 X ^ 2
      198 1
      199 +
      200 SQRT
      201 +
      202 LN
      203 STO 02
      204 FC? 00
      205 XEQ 05
      206 FC? 00
      207 STO 17
      208 VRL 10
      209 1 / X
      210 VRL 21
      211 -
      212 VRL 22
      213 /
      214 TEKEN ^
      215 X ^ 2
      216 1
      217 +
      218 SQRT
      219 +
      220 LN
      221 GTO 04
      222 LBL 03
      223 "S"
      224 ASTO 00
      225 VRL 11
      226 1
      227 +
      228 VRL 12
      229 X = Y?
      230 X # 0?
      231 GTO 00
      232 90
      233 TAN
      234 GTO 01
      235 LBL 00
      236 FC? 00
      237 XEQ 05
      238 LBL 01
      239 FC? 00
      240 STO 17
      241 VRL 10
      242 SQRT
      243 1 / X
      244 LBL 04
      245 STO 01
      246 XEQ 05
      247 STO 19
      248 CF 10
      249 XEQ 05
      250 STO 02
      251 STO 20
      252 VRL 14
      253 ABS
      254 SQRT
      255 X = 0?
      256 TEKEN
      257 1 / X
      258 STO 03
      259 STO 06
      260 STO 07
      261 STO 08
      262 /
      263 TEKEN ^
      264 E ^ X-1
      265 LASTX
      266 CHS
      267 E ^ X-1
      268 -
      269 2
      270 /
      271 VRL Y
      272 R-D
      273 SONDE
      274 VRL 14
      275 X # 0?
      276 TREK ^
      277 X & lt0?
      278 TREK ^
      279 GTO 07 (teoreties 'n drie-byte GTO)
      280 LBL 05
      281 E99
      282 STO 20
      283 TEKEN
      284 STO 03
      285 LBL 06
      286 VRL 03
      287 ST + 03
      288 XEQ "GL3"
      289 BESIGTIG X
      290 RND
      291 LASTX
      292 X & lt> 20
      293 RND
      294 X # Y?
      295 GTO 06
      296 VRL 04
      297 RTN
      298 LBL "S"
      299 X ^ 2
      300 BETREK ^
      301 TEKEN ^
      302 X ^ 2
      303 VRL 12
      304 *
      305 VRL 14
      306 +
      307 *
      308 VRL 13
      309 +
      310 SQRT 5 grepe kan gestoor word as u LBL 00 na lyn 336 byvoeg
      311 1 / X en as u reëls 310 tot 315 deur GTO 00 vervang
      312 ST + X
      313 FS? 10
      314 *
      315 RTN
      316 LBL "S1"
      317 E ^ X
      318 TEKEN ^
      319 1 / X
      320 +
      321 2
      322 /
      323 X ^ 2
      324 VRL 15
      325 *
      326 TEKEN ^
      327 STO Z
      328 VRL 15
      329 +
      330 *
      331 VRL 12
      332 *
      333 VRL 13
      334 VRL 15
      335 /
      336 -
      337 SQRT
      338 1 / X
      339 ST + X
      340 FS? 10
      341 *
      342 RTN
      343 LBL "S2"
      344 SONDE
      345 X ^ 2
      346 VRL 16
      347 *
      348 TEKEN ^
      349 STO Z
      350 VRL 16
      351 +
      352 *
      353 VRL 12
      354 CHS
      355 *
      356 VRL 13
      357 VRL 16
      358 /
      359 +
      360 SQRT
      361 1 / X
      362 ST + X
      363 D-R
      364 FS? 10
      365 *
      366 RTN
      367 LBL "S3"
      368 E ^ X
      369 TEKEN ^
      370 1 / X
      371 -
      372 2
      373 /
      374 VRL 22
      375 *
      376 VRL 21
      377 +
      378 STO Y
      379 LASTX
      380 ST + X
      381 +
      382 VRL 12
      383 *
      384 FS? 10
      385 GTO 00
      386 *
      387 SQRT
      388 1 / X
      389 RTN
      390 LBL 00
      391 /
      392 SQRT
      393 RTN
      394 LBL 07
      395 R ^
      396 VRL 10
      397 *
      398 ST * 03
      399 VRL 14
      400 X # 0?
      401 TEKEN
      402 CHS
      403 STO 00
      404 VRL 17
      405 STO 05
      406 VRL 19
      407 STO 01
      408 VRL 15
      409 ST * 07
      410 SF 24
      411 VRL 16
      412 ST * 08
      413 VRL 18
      414 STO 09
      415 9
      416 137 E8
      417 LBL 08
      418 ST * IND Y
      419 DSE Y
      420 GTO 08
      421 VRL 05
      422 TEKEN
      423 VRL 20
      424 STO 04
      425 VRL 03
      426 VRL 02
      427 VRL 01
      428 CLA
      429 CLD
      430 CF 24
      431 EINDE

      (602 bytes / GROOTTE 023)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z L0 DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld1: L0 = 1.102 q0 = -1.1 z = 2.45

      1.102 TEKEN ^
      -1.1 TEKEN ^
      2.45 XEQ "COSMO2" >>>> D = 2.4589 10 10 ly = R01 (in 110 s in FIX 3 in plaas van meer as 1 uur met "COSMO")
      RDN D0 = 5.5990 10 10 ly = R02
      RDN DL = 1.4101 10 11 ly = R03
      RDN VR = 4.0869 = R04
      LASTX t0 = 2.5501 10 10 jaar = R05

      -Ons het ook R00 = k = 1 (Sferiese heelal)
      R06 = 4.2079 10 10 = stroomskaalfaktor = R (t0) = R0
      R07 = 1.2169 10 10 = Rmin (weieringmodel)
      R08 = 9.9999 10 99 = Rmaksimum = oneindigheid
      R09 = 0 (nie-ossillerende heelal)

      Voorbeeld2: L0 = 0.2 q0 = 2 z = 7

      0.2 TEKEN ^
      2 TEKEN ^
      7 R / S >>>> D = 6.1763 10 9 ly = R01 (in 158 s in FIX 3)
      RDN D0 = 1.1392 10 10 ly = R02
      RDN DL = 5.7763 10 10 ly = R03
      RDN VR = 0.8315 = R04
      LASTX t0 = 6.3750 10 9 jaar = R05

      -Ons het ook R00 = k = +1 (Sferiese heelal)
      R06 = 7.2205 10 9 = stroomskaalfaktor = R (t0) = R0
      R07 = 0 = Rmin
      R08 = 9.8405 10 9 = Rmaksimum
      R09 = 3.5658 10 10 = T = tyd tussen 'n oerknal en 'n groot geknars.

      Voorbeeld3: L0 = 1.108 q0 = -1.1 z = 7

      1.108 BETREK ^
      -1.1 TEKEN ^
      7 R / S >>>> D = 6.7540 10 10 ly = R01 (in 11 minute 25 in FIX 3)
      RDN D0 = 2.8508 10 11 ly = R02
      RDN DL = 2.6910 10 11 ly = R03
      RDN VR = 20.8088 = R04
      LASTX t0 = 7.2650 10 10 jaar = R05

      en R00 = k = 1 (Sferiese heelal)
      R06 = 3.8905 10 10 = stroomskaalfaktor = R (t0) = R0
      R07 = 0 = Rmin
      R08 = 9.9999 10 99 = Rmaksimum = oneindigheid
      R09 = 0 (nie-ossillerende heelal)

      -Dit is 'n 'plato-model': dit bring 'n lang tyd in 'n kwasistiese toestand deur.
      - D en D0 word (relatief) vinnig bereken (mits z nie te groot is nie), maar t0 vereis baie meer iterasies.
      -Vir q0 = -1.1 die kritieke L0 ongeveer 1 is.107976565 (vgl. Lemaitre-modelle)

      e-3) Elliptiese integrale (slegs oerknaluniverses)

      - t0 , D en D0 kan bereken word deur Legendre elliptiese integrale (vgl. die laaste 2 verwysings hieronder)
      - "COSMO3" gebruik eerder Carlson elliptiese integrale: die formules is eenvoudiger.

      -As die kubieke 2 (q0+ L0 ) .u 3 + (1-2q0-3L0 ) .u 2 + L.0 = 0 het 3 werklike wortels a, b, c wat ons het:

      -As die kubieke 2 (q0+ L0 ) .u 3 + (1-2q0-3L0 ) .u 2 + L.0 = 0 het slegs 1 regte wortel a en 'n paar komplekse vervoegde wortels b + i.c, b - i.c wat ons het:

      -Hierdie program werk nie as daar geen oerknal is nie of as die heelal leeg is.

      Dataregisters: R00 tot R21

      R13: -a R16: z + 1 R19: eweredig aan t0
      R14: -b R17: q0 + L0 R20: ymaksimum
      R15: -c R18: 2q0 + 3L0 - 1 R21: eweredig aan T

      wanneer die program stop: R00 = k (+1 = bolvormig, 0 = Euklidies, -1 = hiperbolies)
      R01 = D, R02 = D0 , R03 = DL , R04 = VR , R05 = t0 , R06 = R0 (huidige skaalfaktor)
      R07 = Rmaksimum , R08 = T = Tydperk van 'n ossillerende heelal (andersins 0)

      Vlae: F00 stel vlag F00 in as u nie die ouderdom van die Heelal wil bereken nie0en die tydperk T
      F01 word deur "P3" gebruik om komplekse wortels aan te dui

      Subroetines: "P3" (vgl. "Polinome vir die HP-41")
      "RF" en amp "RJ" Carlson elliptiese integrale van die eerste en derde soort (vgl. "Jacobiaanse elliptiese funksies en elliptiese integrale vir die" HP-41 ")
      "RFZ" en amp "RJZ" ------------------------------------------- --- ingewikkelde argumente -------------------------------------------- -------

      01 LBL "COSMO3"
      02 1
      03 +
      04 STO 16
      05 FS? 00
      06 GTO 04 (teoreties 'n drie-byte GTO)
      07 CLX
      08 +
      09 + voeg X & lt0 by? LN na hierdie lyn as u 'DATA FOUT' wil kry vir 'n negatiewe digtheid van die materie
      10 STO 17
      11 ST + X
      12 STO Z
      13 +
      14 1
      15 -
      16 STO 18
      17 0
      18 STO 21
      19 R ^
      20 CHS
      21 XEQ "P3"
      22 STO 13
      23 RDN
      24 STO 14
      25 X & lt> Y
      26 STO 15
      27 X & lt> Y
      28 R ^
      29 1
      30 XEQ 02
      31 STO 19
      32 90 reëls 32 tot 69 kan verwyder word as u nie R wil bereken niemaksimum en T
      33 TAN
      34 STO 20
      35 TEKEN
      36 CHS
      37 FS? 01
      38 GTO 00
      39 VRL 15
      40 X> Y?
      41 GTO 01
      42 CLX
      43 VRL 14
      44 X> Y?
      45 GTO 01
      46 X & lt> Y
      47 LBL 00
      48 VRL 13
      49 X & ltY?
      50 CLX
      51 LBL 01
      52 CHS
      53 X & lt = 0?
      54 GTO 04
      55 1 / X
      56 STO 20
      57 VRL 15
      58 VRL 14
      59 X & lt0? reëls 59 tot 64 is slegs nuttig as die heelal 'n Eddington-model is (eindige Rmaksimum maar geen groot geknak nie)
      60 X # Y?
      61 FS? 30
      62 FS? 01
      63 FS? 30
      64 GTO 04
      65 VRL 13
      66 LASTX
      67 XEQ 02
      68 ST + X
      69 STO 21
      70 GTO 04
      71 LBL 02
      72 FC? 01
      73 ST + T
      74 ST + Z
      75 ST + Y
      76 RDN
      77 FS? 01
      78 XEQ "RJZ"
      79 FC? 01
      80 XEQ "RJ"
      81 RTN
      82 LBL 03
      83 FC? 01
      84 ST + T
      85 ST + Z
      86 +
      87 FS? 01
      88 XEQ "RFZ"
      89 FC? 01
      90 XEQ "RF"
      91 RTN
      92 LBL 04
      93 VRL 15
      94 VRL 14
      95 VRL 13
      96 VRL 16
      97 XEQ 02
      98 VRL 19
      99 X & lt> Y
      100 -
      101 STO 10
      102 VRL 15
      103 VRL 14
      104 VRL 13
      105 VRL 16
      106 XEQ 03
      107 STO 12
      108 VRL 15
      109 VRL 14
      110 VRL 13
      111 1
      112 XEQ 03
      113 VRL 12
      114 -
      115 STO 02
      116 VRL 10
      117 STO 01
      118 VRL 19
      119 STO 05
      120 VRL 20
      121 STO 07
      122 VRL 21
      123 STO 08
      124 2
      125 VRL 17
      126 /
      127 SQRT
      128 ST * 02
      129 3
      130 /
      131 ST * 01
      132 ST * 05
      133 ST * 08
      134 VRL 18
      135 X # 0?
      136 TEKEN
      137 STO 00
      138 VRL 02
      139 STO 09
      140 VRL 18
      141 ABS
      142 SQRT
      143 X = 0?
      144 TEKEN
      145 1 / X
      146 STO 06
      147 SF 24
      148 ST * 07
      149 /
      150 BETREK ^
      151 E ^ X-1
      152 LASTX
      153 CHS
      154 E ^ X-1
      155 -
      156 2
      157 /
      158 VRL Y
      159 R-D
      160 SONDE
      161 VRL 00
      162 X # 0?
      163 TEKEN ^
      164 X> 0?
      165 BETREK ^
      166 R ^
      167 VRL 06
      168 *
      169 VRL 16
      170 *
      171 STO 03
      172 8
      173 137 E8
      174 LBL 05
      175 ST * IND Y
      176 DSE Y
      177 GTO 05
      178 VRL 05
      179 TEKEN
      180 VRL 09
      181 STO 04
      182 VRL 03
      183 VRL 02
      184 VRL 01
      185 CF 24
      186 EINDE

      (286 bytes / GROOTTE 022)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / VR
      Z L0 DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld1: L0 = 0.7 q0 = -0.6 z = 7

      0.7 TEKEN ^
      -0.6 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO3" >>>> D = 1.328255073 10 10 ly = R01 (in 140 s) vlag F01 is ingestel
      RDN D0 = 3.024557313 10 10 ly = R02
      RDN DL = 2.621046346 10 11 ly = R03
      RDN VR = 2.207706068 = R04
      LASTX t0 = 1.416778742 10 10 jaar = R05

      -Ons het ook R00 = k = -1, wat beteken dat die heelal hiperbolies is.
      R06 = 4.332320394 10 10 = huidige skaalfaktor = R (t0) = R0
      R07 = 9.999999999 10 99 = oneindigheid = Rmaksimum
      R08 = 0 (nie-ossillerende heelal)

      Voorbeeld2: L0 = 0.2 q0 = 2 z = 7

      0.2 TEKEN ^
      2 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO3" >>>> D = 6.176349709 10 9 ly = R01 (in 145s) vlag F01 is duidelik
      RDN D0 = 1.139222269 10 10 ly = R02
      RDN DL = 5.776287398 10 10 ly = R03
      RDN VR = 0.831549101 = R04
      LASTX t0 = 6.375024998 10 9 jaar = R05

      -Ons het ook R00 = k = +1 (Sferiese heelal)
      R06 = 7.220533991 10 9 = huidige skaalfaktor = R (t0) = R0
      R07 = 9.840506634 10 9 = Rmaksimum
      R08 = 3.565763808 10 10 = T = tyd tussen 'n oerknal en 'n groot geknars.

      -Registrasies R13 tot R21 sal geïnisialiseer word nadat 'COSMO3' een keer uitgevoer is.
      -Stel vlag F00, verander nie vlag F01 nie en plaas eenvoudig z in X-register om ander afstande met dieselfde kosmologiese parameters te bereken.

      Nota: Met L0 = 1.108 & amp q0 = -1.1 "COSMO3" lewer t0 = 7.264885687 10 10 jaar

      f) Nie-verdwynende druk

      Ons neem nou aan dat die heelal van stof- en ampstraling bestaan.
      -In hierdie geval lewer Einstein se vergelykings op:

      2.q + 2.L = 8.PI.G. (rho) / (3H 2) + & para waar & para = 8.PI.G.prad/ (c 2 H 2) is die drukparameter = (Omega)rad
      2.q + 3.L - 1 = k.c 2 / (H 2 R2) + & para en blrad is die druk van bestraling

      (rho) = (rho)mat + 3.prad/ c 2 en volgens Stefan se wet: 3prad = (rho)rad c 2 = a.T 4
      waar a = Stefan se konstante en T = temperatuur van die kosmiese mikrogolfagtergrond

      -As ons aanvaar dat daar geen skepping / vernietiging van materie is nie, (rho)mat R 3 = konstant en prad R 4 = konstant.
      -Die integrale word:

      -Dan, (Omega)mat = 0 waarvandaan & para0 = q0+ L0
      Sulke modelle is deur Tolman bestudeer.
      -Daar is baie gevalle, en die volgende program werk slegs vir Big Bang Universes met 'n positiewe kosmologiese konstante.
      -Die radiusafstand wat beweeg, behels elliptiese integrale en "TOL" bereken die lig-reistyd Afstand D,
      die ouderdom van die heelal t0 , die huidige radius van die heelal R0 en die konstante k
      (D & amp t0 kan uitgedruk word in terme van elementêre funksies)

      (vervang z deur + oneindig om t te kry0 )

      Dataregisters: /
      Vlae: /
      Subroetines: /

      01 LBL "TOL"
      02 1
      03 +
      04 X ^ 2
      05 1 / X
      06 STO N
      07 CLX
      08 +
      09 +
      10 STO M
      11 +
      12 STO O
      13 TEKEN
      14 ST- O
      15 X & lt> Y
      16 SQRT
      17 1 / X
      18 +
      19 VRL O
      20 VRL N
      21 *
      22 VRL M
      23 X & lt> Y
      24 -
      25 R ^
      26 /
      27 VRL N
      28 X ^ 2
      29 +
      30 SQRT
      31 VRL O
      32 R ^
      33 ST / M
      34 STO P (sinteties)
      35 ST + X
      36 /
      37 ST- Y
      38 ST- Z
      39 ST- T
      40 X & lt> N
      41 +
      42 /
      43 LN
      44 X & lt> M
      45 SQRT
      46 VRL N
      47 -
      48 /
      49 LN
      50 VRL Bl
      51 SQRT
      52 ST + X
      53 ST / M
      54 /
      55 VRL O
      56 ABS
      57 LASTX
      58 X # 0?
      59 TEKEN
      60 RDN
      61 X = 0?
      62 TEKEN
      63 SQRT
      64 1 / X
      65 STO Z
      66 CLX
      67 137 E8
      68 ST * M
      69 ST * Z
      70 *
      71 VRL M
      72 CLA
      73 EINDE

      (111 byte / GROOTTE 000)


      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T / k
      Z L0>0 R0
      Y q0 t0
      X Z D

      (uitvoeringstyd = 3 sekondes)

      Voorbeeld: L0 = 0.61 q0 = -0.6 z = 7

      0.61 TEKEN ^
      -0.6 TEKEN ^
      7 XEQ "TOL" >>>> D = 1.461832570 10 10 ligjare
      RDN t0 = 1.556294166 10 10 jaar
      RDN R0 = 2.222433469 10 10 ligjare
      RDN k = -1 (hiperboliese heelal)

      -Negering van materie is waarskynlik nie realisties nie, tensy 'n onbekende negatiewe digtheid van die materie is
      kompenseer presies vir die positiewe digtheid van materie in die sterrestelsels (.)

      f-2) Bestraling + stof: numeriese integrasie

      Dataregisters: R00 tot R18 R09 = aantal subintervalle as F03 ingestel is (anders gebruik)

      -wanneer die program stop: R00 = k (+1 = bolvormig, 0 = Euklidies, -1 = hiperbolies)
      R01 = D, R02 = D0 , R03 = DL , R04 = VR , R05 = t0 , R06 = R0 (huidige skaalfaktor)

      Vlae: F00 stel vlag F00 in as u nie die ouderdom van die Heelal wil (her-) bereken nie0
      F03 stel vlag F03 om die aantal n subintervalle wat deur "GL3" en stoor n in R09
      as F03 duidelik is, word n ​​verdubbel totdat 2 opeenvolgende afgeronde waardes gelyk is.
      F10

      Subroetine: "GL3" Gauss-Legendre 3-punt formule (vgl. "Numeriese integrasie vir die HP-41")

      01 LBL "COSMO4"
      02 DEG
      03 SF 10
      04 STO 10
      05 "S"
      06 ASTO 00
      07 CLX
      08 STO 01
      09 +
      10 STO 11
      11 X & lt> Y
      12 STO 12
      13 +
      14 X & lt> Y
      15 STO 13
      16 -
      17 ST + X
      18 STO 14
      19 +
      20 VRL 12
      21 +
      22 1
      23 STO 02
      24 ST + 10
      25 -
      26 STO 15
      27 FC? 00
      28 XEQ 01
      29 FC? 00
      30 STO 16
      31 VRL 10
      32 SQRT
      33 1 / X
      34 STO 01
      35 XEQ 01
      36 STO 17
      37 CF 10
      38 XEQ 01
      39 STO 02
      40 STO 04
      41 VRL 15
      42 ABS
      43 SQRT
      44 X = 0?
      45 TEKEN
      46 1 / X
      47 STO 03
      48 STO 06
      49 /
      50 TEKEN ^
      51 E ^ X-1
      52 LASTX
      53 CHS
      54 E ^ X-1
      55 -
      56 2
      57 /
      58 VRL Y
      59 R-D
      60 SONDE
      61 VRL 15
      62 X # 0?
      63 INGANG ^
      64 X> 0?
      65 TEKEN ^
      66 GTO 03
      67 LBL 01
      68 CLX
      69 STO 18
      70 TEKEN
      71 FS? 03
      72 VRL 09
      73 STO 03
      74 LBL 02
      75 VRL 03
      76 FC? 03
      77 ST + 03
      78 XEQ "GL3"
      79 ST + X
      80 BESIGTIG X
      81 FS? 03
      82 RTN
      83 RND As vlag F03 duidelik is, word die akkuraatheid beheer deur die vertoonformaat
      84 TEKEN ^
      85 X & lt> 18
      86 X # Y?
      87 GTO 02
      88 LASTX
      89 RTN
      90 LBL "S"
      91 X ^ 2
      92 TEKEN ^
      93 TEKEN ^
      94 X ^ 2
      95 VRL 12
      96 *
      97 VRL 15
      98 -
      99 *
      100 VRL 14
      101 +
      102 *
      103 VRL 13
      104 +
      105 /
      106 SQRT
      107 FS? 10
      108 *
      109 RTN
      110 LBL 03
      111 R ^
      112 VRL 10
      113 *
      114 ST * 03
      115 VRL 15
      116 X # 0?
      117 TEKEN
      118 STO 00
      119 VRL 16
      120 STO 05
      121 VRL 17
      122 STO 01
      123 SF 25
      124 137 E8
      125 ST * 01
      126 ST * 02
      127 ST * 03
      128 ST * 05
      129 ST * 06
      130 VRL 05
      131 TEKEN
      132 VRL 04
      133 VRL 03
      134 VRL 02
      135 VRL 01
      136 CF 25
      137 CLA
      138 CLD
      139 EINDE

      (200 byte / GROOTTE 019)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T & para0 VR
      Z L0 DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld: & para0 = 0.01 L.0 = 0.62 q0 = -0.6 z = 7

      Laat ons die aantal subintervalle vir die Gaussiese integrasie regstel, byvoorbeeld: n = 8 STO 09 SF 03

      0.01 INKOM ^
      0.62 TEKEN ^
      -0.6 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO4" >>>> D = 1.438258446 10 10 l-y = R01 (in 80 sekondes)
      RDN D0 = 3.419896391 10 10 l-y = R02
      RDN DL = 3.844671484 10 11 l-y = R03
      RDN VR = 2.496274738 = R04
      LASTX t0 = 1.528106505 10 10 y = R05
      [RCL 06] R0 = 2.315722657 10 10 l-y
      [RCL 00] k = -1 (hiperboliese meetkunde)

      -In hierdie voorbeeld is byna alle syfers betekenisvol.
      -Vir ons Heelal, as ons neem & para0 = 0.000049 L.0 = 0.519 q0 = -0.5 z = 7, t0 word slegs met 6 beduidende syfers verkry (met n = 8)
      -Dit is duidelik dat die effekte van die druk van bestraling baie klein is en dat dit verwaarloos kan word behalwe in die vroeë ouderdom van die heelal.

      f-3) Straling + stof: elliptiese integrale

      -Daar is baie subgevalle en die volgende program werk slegs as die kosmologiese konstante positief is
      en as die kwartiek: L0.y 4 + (1 + & para0-2q0-3L0 ) .y 2 + 2. (q0+ L0- & para0 ) .y + & para0
      het 2 duidelike nie-positiewe wortels en 'n paar komplekse vervoegde wortels.

      -Hierdie Heelal bevredig presies hierdie voorwaardes!

      Formules: 1 & deg) Die D0 integraal word bereken volgens die volgende metode:

      & sektea b [(y 2 + c.y + d) (y 2 + p.y + q)] -1/2 dy = 2.RF (U 2 U 2 + T + V U 2 + T-V)

      waar (ba) .U = [A (a) .B (b)] 1/2 + [A (b) .B (a)] 1/2 met A (y) = (y 2 + c.y + d) en B (y) = (y 2 + p.y + q)
      T = c.p / 2 - d - q
      V = 2 [(c 2/4 - d) (p 2/4 - q)] 1/2

      2 & deg) Die ander integraal is van die vorm I = & sektea b y [(y + m) (y + n) (y 2 + p.y + q)] -1/2 dy en behels elliptiese integrale van die 3de soort.

      Helaas het ek nie toegang tot die vereiste tabelle van Elliptic Integrals nie. Daarom het ek hierdie integraal in twee integrale verdeel:

      Ek = & sektea b (y + m) [(y + m) (y + n) (y 2 + p.y + q)] -1/2 dy - & sektea b m [(y + m) (y + n) (y 2 + p.y + q)] -1/2 dy

      Die integraal aan die regterkant kan soos hierbo verkry word.
      -En die integraal aan die linkerkant word bereken deur RJZ twee keer uit te voer, na die verandering van veranderlike u = 1 / (y + m)

      -Maar u kan die program beslis vereenvoudig en die uitvoeringstyd verminder, as u die tabelle van Carlson se elliptiese integrale ken.

      Dataregisters: R00 deur R34

      -wanneer die program stop: R00 = k (+1 = bolvormig, 0 = Euklidies, -1 = hiperbolies)
      R01 = D, R02 = D0 , R03 = DL , R04 = VR , R05 = t0 , R06 = R0 (huidige skaalfaktor)

      Vlae: F00 stel vlag F00 in as u nie die ouderdom van die Heelal wil bereken nie0
      F01 en amp F02 word gebruik deur "P4"

      Subroetines: "P4" (vgl. "Polinome vir die HP-41", die nuut weergawe)
      "1 / Z" (vgl. "Komplekse funksies vir die HP-41")
      "RFZ" en amp "RJZ" Carlson Elliptiese integrale van die 1ste en 3de soort, ingewikkelde argumente.
      (vgl. "Jacobiaanse elliptiese funksies en elliptiese integrale vir die HP-41")

      01 LBL "COSMO5"
      02 STO 10
      03 CLX
      04 +
      05 STO 11
      06 X & lt> Y
      07 STO 12
      08 +
      09 X & lt> Y
      10 STO 13
      11 -
      12 ST + X
      13 STO 14
      14 +
      15 VRL 12
      16 +
      17 1
      18 ST + 10
      19 -
      20 STO 15
      21 CHS
      22 VRL 14
      23 R ^
      24 VRL 12
      25 ST / T
      26 ST / Z
      27 /
      28 0
      29 RDN
      30 XEQ "P4"
      31 FS? C 01
      32 FS? C 02
      33 SF 99
      34 STO 33
      35 ST + X
      36 CHS
      37 STO 18
      38 RDN
      39 STO 34
      40 RDN
      41 X & ltY?
      42 X & lt> Y
      43 STO 16
      44 X & lt> Y
      45 STO 17
      46 -
      47 STO 32
      48 R ^
      49 VRL 33
      50 R-P
      51 X ^ 2
      52 STO 19
      53 VRL 18
      54 +
      55 1
      56 +
      57 STO 21
      58 VRL 10
      59 1 / X
      60 VRL 18
      61 -
      62 VRL 10
      63 /
      64 VRL 16
      65 VRL 17
      66 *
      67 STO 20
      68 +
      69 *
      70 SQRT
      71 VRL 10
      72 1 / X
      73 VRL 18
      74 +
      75 VRL 10
      76 /
      77 VRL 19
      78 +
      79 VRL 20
      80 VRL 18
      81 -
      82 1
      83 +
      84 STO 22
      85 *
      86 SQRT
      87 +
      88 1
      89 VRL 10
      90 1 / X
      91 -
      92 /
      93 X ^ 2
      94 STO 23
      95 VRL 18
      96 X ^ 2
      97 VRL 20
      98 4
      99 *
      100 -
      101 VRL 19
      102 VRL 18
      103 2
      104 /
      105 X ^ 2
      106 -
      107 *
      108 SQRT
      109 STO 24
      110 VRL 18
      111 X ^ 2
      112 CHS
      113 2
      114 /
      115 VRL 19
      116 -
      117 VRL 20
      118 -
      119 STO 25
      120 VRL 23
      121 ST + Y
      122 XEQ "RFZ"
      123 ST + X
      124 VRL 12
      125 SQRT
      126 /
      127 STO 29
      128 FS? 00
      129 GTO 01
      130 1
      131 VRL 34
      132 VRL 16
      133 ST- Z
      134 VRL 33
      135 -
      136 XEQ "1 / Z"
      137 STO 30
      138 X & lt> Y
      139 STO 31
      140 X & lt> Y
      141 VRL 32
      142 1 / X
      143 R ^
      144 1 / X
      145 ST + Y
      146 ST + Z
      147 RDN
      148 XEQ "RJZ"
      149 STO 26
      150 STO 27
      151 VRL 31
      152 VRL 30
      153 VRL 32
      154 1 / X
      155 VRL 16
      156 CHS
      157 X = 0?
      158 GTO 00
      159 1 / X
      160 ST + Y
      161 ST + Z
      162 RDN
      163 XEQ "RJZ"
      164 ST- 26
      165 LBL 00
      166 VRL 33
      167 VRL 16
      168 -
      169 X ^ 2
      170 VRL 34
      171 X ^ 2
      172 +
      173 VRL 32
      174 *
      175 SQRT
      176 3
      177 *
      178 STO 28
      179 ST / 26
      180 ST / 27
      181 VRL 24
      182 VRL 19
      183 VRL 22
      184 *
      185 SQRT
      186 VRL 20
      187 RCL 21
      188 *
      189 SQRT
      190 +
      191 X ^ 2
      192 VRL 25
      193 X & lt> Y
      194 ST + Y
      195 XEQ "RFZ"
      196 VRL 16
      197 *
      198 ST + 26
      199 2
      200 VRL 12
      201 SQRT
      202 /
      203 ST * 26
      204 LBL 01
      205 VRL 31
      206 VRL 30
      207 VRL 10
      208 1 / X
      209 VRL 16
      210 -
      211 1 / X
      212 VRL 32
      213 1 / X
      214 X & lt> Y
      215 ST + Y
      216 ST + Z
      217 RDN
      218 XEQ "RJZ"
      219 VRL 28
      220 /
      221 VRL 27
      222 X & lt> Y
      223 -
      224 ST + X
      225 VRL 12
      226 SQRT
      227 /
      228 VRL 29
      229 VRL 16
      230 *
      231 +
      232 STO 01
      233 VRL 29
      234 STO 02
      235 STO 04
      236 VRL 15
      237 ABS
      238 SQRT
      239 X = 0?
      240 TEKEN
      241 1 / X
      242 STO 03
      243 STO 06
      244 /
      245 TEKEN ^
      246 E ^ X-1
      247 LASTX
      248 CHS
      249 E ^ X-1
      250 -
      251 2
      252 /
      253 VRL Y
      254 R-D
      255 SONDE
      256 VRL 15
      257 X # 0?
      258 TEKEN ^
      259 X> 0?
      260 BETREK ^
      261 R ^
      262 VRL 10
      263 *
      264 ST * 03
      265 VRL 15
      266 X # 0?
      267 TEKEN
      268 STO 00
      269 ​​VRL 26
      270 STO 05
      271 137 E8
      272 ST * 01
      273 ST * 02
      274 ST * 03
      275 ST * 05
      276 ST * 06
      277 VRL 05
      278 TEKEN
      279 VRL 04
      280 VRL 03
      281 VRL 02
      282 VRL 01
      283 EINDE

      (424 bytes / GROOTTE 035)

      STAPEL INSETTE UITSETTE
      T & para0 VR
      Z L0 DL
      Y q0 D0
      X Z D
      L / t0

      Voorbeeld: & para0 = 0.000049 L.0 = 0.519 q0 = -0.5 z = 7

      0.000049 TEKEN ^
      0.519 TEKEN ^
      -0.5 TEKEN ^
      7 XEQ "COSMO5" >>>> D = 1.413693452 10 10 l-y = R01
      RDN D0 = 3.437776327 10 10 l-y = R02
      RDN DL = 4.219648045 10 11 l-y = R03
      RDN VR = 2.509325786 = R04
      LASTX t0 = 1.565753235 10 10 y = R05
      [RCL 06] R0 = 2.058233710 10 10 l-y
      [RCL 00] k = -1 (hiperboliese meetkunde)

      -Uitvoeringstyd = 187 sekondes as vlag F00 duidelik is.
      -Uitvoeringstyd = 78 sekondes as vlag F00 ingestel is.

      Die kosmiese agtergrond by T = 2.736 K lei na & para0 = 0.000049 indien 1 / H0 = 1.37 10 10 jaar
      - L0 = 0.519 stem slegs ooreen met die baroniese saak.
      -Met L0 = 0.519 & amp q0 = -0.5 'n waarde van & para0 = 0.001 sal steeds te groot wees:
      die kwartiek sou nie meer aan die vereiste voorwaardes voldoen nie en u sou NIE BESTAANDE reël 33 kry nie

      Verwysings: Stamatia Mavrid & egraves - "L'Univers relativiste" - Masson ISBN 2-225-36080-7 (in Frans)
      Jean Heidmann - "Introduction & agrave la cosmologie" - PUF (in Frans)
      Landau & amp Lifshitz - "Klassieke veldteorie" - Pergamon Press
      Feige - "Elliptiese integrale vir kosmologiese konstante kosmologieë" - Astron. Nachr 313 (1992) 3, 139-163
      Kantowski, Kao, Thomas - "Afstand-rooiverskuiwingsverhoudings in onhomogene Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker-kosmologie" -
      The Astrophysical Journal, 545: 549-560


      Hoe vind u die hiperfokale afstand?

      Daar is verskeie maniere waarop u die hiperfokale afstand kan vind. Ek het ses hier gelys, maar daar is verskeie ander maniere waarop u die hiperfokale afstand kan vind.

      Volgens my is die gebruik van 'n sakrekenaar of grafiek die maklikste en vinnigste manier om die hiperfokale afstand te vind. Veral omdat die meeste fotograwe na dieselfde instellings terugkeer, wat beteken dat sodra u dit een keer bereken het, dit nie weer hoef te doen nie.

      1. Gebruik die sakrekenaar hierbo.
      2. Gebruik 'n hiperfokale afstandskaart.
      3. Bereken dit handmatig
      4. Gaan volgens 'n duimreël.
      5. Gebruik die fokusafstandskerm op u lens
      6. Die dubbel die afstand-metode

      1. Gebruik 'n sakrekenaar

      Die maklikste manier om u hiperfokale afstand te vind, is om die sakrekenaar hieronder te gebruik. U kan dit in 3 maklike stappe doen.

      Die eerste stap is om die sensorgrootte van u kamera te bepaal en dit in die keuselys te kies. As u nie u sensorgrootte ken nie, kies u kamera in die keuselys.

      2. Gebruik 'n tabel / tabel

      U kan ook 'n tabel gebruik om u hiperfokale afstand te bepaal. 'N Afdruk van al die hiperfokale afstande vir 'n kamera by elke brandpuntlengte en diafragma-grootte is gewoonlik aanlyn beskikbaar.

      3. Bereken dit handmatig

      Die ander manier waarop u u hiperfokale afstand kan bepaal, is om u sakrekenaar uit te trek en die formule self op te los.

      Wanneer u die formule oplos, moet u die grootte van die sensor en die sirkel van verwarring daaraan ken. As u sirkel van verwarring nie hierbo gelys word nie, moet u dit met 'n eenvoudige Google-soektog kan kry.

      Onthou om seker te maak dat al u eenhede dieselfde is. Oorweeg dit ook om u eenhede om te skakel in eenhede waarmee u vertroud is. Dit is gewoonlik meter of voet vir die meeste mense.

      4. Gebruik die fokusskerm op u lens

      As u 'n lens met 'n fokusskaal en fokusskerm het, kan u die hiperfokale afstand handmatig vind. Die fokusskerm is gewoonlik aan die kant van 'n lens en sal u die diepte van die veld vir verskillende diafragma-waardes vertel.

      Tans is fokusvertonings nie baie algemeen nie, veral nie met zoomlense nie. As u lens wel 'n fokusvertoning het, is u een van die gelukkiges wat die hiperfokale afstand met slegs u lens kan vind.

      Om die hiperfokale afstand met u lens te bepaal, moet u eers die opening instel.

      Draai vervolgens die fokusring op die lens sodat u f / stop-waarde aan die regterkant met oneindigheid opgestel is. Op die lensring is daar twee waardes vir elke f / stop-instelling, een aan die linkerkant en 'n ander aan die regterkant. Hierdie getalle verteenwoordig die nabye en verre grense van die diepte van die veld.

      Die tweede waarde van u diafragma-instelling (regterkant) is nou op die afstand van u nabye limiet. In die meeste gevalle sal hierdie getal in meter wees.

      Tussen hierdie twee lyne sal u gewoonlik 'n lyn of pyl op die lensring vind wat u hiperfokale afstand aandui.

      Nadat u die opening en fokus op oneindig ingestel het, gebruik u die afstand waarop die pyl wys as u hiperfokale afstand.

      U kan ook die waarde van die nabye limiet verdubbel om u hiperfokale afstand te vind. Ek beveel aan dat u albei dit doen as 'n verstandigheidskontrole om te verseker dat u die regte nommer gebruik.

      Die ontwerp en voorkoms van die fokusvertoning kan vir elke lensmerk verskil. As u probleme ondervind, kan u u lensehandleiding gebruik of 'n eenvoudige Google-soektog doen. Die meeste kameravervaardigers het 'n digitale eksemplaar van hul handleidings aanlyn of 'n artikel oor die gebruik van hul lensfokusskerm.

      5. Die reël van een derde

      Die reël van een derde is 'n algemene vuisreël wat mense graag wil gebruik om hiperfokale afstand te bepaal. Volgens hierdie reël is u hyperfokale afstand op een derde van u raam.

      Onthou, hierdie reël werk baie selde goed, as dit hoegenaamd is. Vir tonele wat in die horison voortduur, is dit moeilik om te besluit waar u die toneel in 'n derde kan verdeel.

      Hierdie instrument kan redelike resultate lewer as u toneel eindig. Maar dit is 'n bietjie nutteloos, want in die meeste gevalle kan u eenvoudige diepte-van-veld- en diafragma-instellings gebruik om 'n eindige toneel in volle fokus vas te lê.

      Aangesien hierdie reël net vir eindige tonele werk, werk dit nie wanneer die hiperskakelafstand die beste is nie. Dit wil sê met oneindige tonele.

      6. Verdubbel die afstandsmetode

      'N Ander algemene metode is dubbel die afstandsmetode. Om hierdie metode toe te pas, moet u eers die naaste voorwerp waarna u wil fokus, vind. Stel dan u fokus om die afstand vanaf die naaste voorwerp te verdubbel.

      Dit is 'n maklike truuk om te gebruik as u haastig is of u nie met sakrekenaars of kaarte hoef te steur nie.


      Antwoorde en antwoorde

      Nie een van die twee nie. U oorweeg nie die relatiwiteit van gelyktydigheid nie, wat die vraag oor wat jonger is as hulle geskei word, betekenisloos maak.

      Die tweelingparadoks gebruik 'n heen-en-weer-reis om albei die tweeling gelyktydig op dieselfde plek terug te kry, sodat daar geen gelyktydigheidsprobleme is nie. Die versnelling is iets van 'n rooi haring - dit is net dat ons nie die tweeling kan skei en weer kan aansluit sonder om ten minste een van hulle te versnel nie.

      As die reisiger terugkeer aarde toe, sal hulle jonger wees as die tuisbly. As hulle nie terugkeer nie, is daar geen aannamesvrye antwoord nie. Maar as Aarde en Alpha Centauri onderling rus (of naby genoeg is, soos in werklikheid), kan albei kies om Einstein-kloksinkronisering te gebruik, en dan sal hulle saamstem dat die reisiger te alle tye jonger is (die reisiger sal nie noodwendig saamstem nie).

      Soos Nugatory sê, versnelling is nie regtig relevant hier nie. Dit is net dat u nie kan terugkom sonder om spesiale relatiwiteit te versnel nie. Die eenvoudigste verklaring is meetkundig: die tweeling volg verskillende paaie deur die ruimtetyd. Die & quotlengte & quot van 'n pad is die interval, wat in u handboek bespreek word en blyk dat dit die verstreke tyd is vir 'n waarnemer wat daardie weg volg. Twee paaie tussen 'n paar gebeure hoef nie dieselfde lengte te hê nie. Maar as die paaie nie weer bymekaar kom nie, kan u nie vra watter een langer is nie, sonder 'n arbitrêre beslissing oor wat die einde van die pad is & quot.


      Hoe bereken u die tussenafstand en die ligafstand? Volgens die onderstaande formules? - Sterrekunde

      Die Doppler-effek is die verskuiwing in frekwensie van 'n golf wat plaasvind wanneer die golfbron, of die detektor van die golf, beweeg. Toepassings van die Doppler-effek wissel van mediese toetse met behulp van ultraklank tot radarverklikkers en sterrekunde (met elektromagnetiese golwe).

      Ons het almal die Doppler-effek met ons ore waargeneem. 'N Goeie voorbeeld is wanneer 'n noodvoertuig verbygaan met sy sirene aan die gang. Wanneer die voertuig na u toe kom, is die sirene-frekwensie hoër as gewoonlik. Die frekwensie skuif skielik na laer as gewoonlik as die voertuig verby u ry en wegbeweeg. 'N Soortgelyke effek kom voor as die klankbron stilstaan ​​en u daarheen beweeg of daarvan wegbeweeg.

      Doppler-effek: 'n bewegende waarnemer

      Beskou 'n stilstaande bron van klank wat 'n enkele frekwensie klankgolf uitsaai. U is die waarnemer van die klankgolf, en u is ook stil. Die gewone verband tussen frekwensie, snelheid en golflengte is:

      v stel die spoed van klank deur die medium voor.

      Gestel jy, waarnemer, beweeg nou na die bron met snelheid vO. U het meer golwe per eenheidseenheid teëgekom as voorheen. In verhouding tot u beweeg die golwe teen 'n hoër spoed:

      Die frekwensie van die golwe wat u waarneem, is hoër en word gegee deur:

      As u van die bron af wegbeweeg, is die waargenome frekwensie laer. Oor die algemeen is die waargenome frekwensie wanneer die waarnemer beweeg:

      Gebruik die eerste teken (+) wanneer die waarnemer na die bron beweeg en die tweede teken (-) as die waarnemer wegbeweeg.

      Doppler-effek: 'n ontroerende bron

      Wat gebeur as die bron van die golwe na u beweeg, 'n stilstaande waarnemer? Weereens kom u meer golwe per eenheidseenheid teë as voorheen, sodat die frekwensie opwaarts geskuif word. Hierdie keer vind die verskuiwing egter plaas omdat die golflengte verlaag is deur die beweging van die bron.

      As niks beweeg nie, is die golflengte gelyk aan vT, waar T die periode is, of v / f, omdat T = 1 / f. Wanneer die bron met snelheid beweeg vs, is die golflengte verskillend van die afstand wat die bron in een periode afgelê het:

      Verandering in golflengte = vsT = vs/ f

      Die effektiewe golflengte is & lambda / = v / f - / + vs/ f = [v - / + vs] / f

      Gebruik die eerste teken (-) wanneer die bron na die waarnemer beweeg, en die tweede teken (+) as dit wegbeweeg.

      Die bespeurde frekwensie is:

      Doppler-effek: die algemene vergelyking

      In sommige situasies beweeg die bron sowel as die waarnemer. Ons kan 'n algemene Doppler-vergelyking vir die waargenome frekwensie uitskryf deur die vorige resultate te kombineer.

      Die algemene vergelyking wat rekening hou met enige mosie is:

      Gebruik vir beide stelle tekens die eerste teken as die beweging na die ander ding is, en die tweede teken as die beweging weg is.

      Voorbeeld Doppler Probleem

      'N Spesifieke vlermuis stuur ultrasoniese golwe met 'n frekwensie van 56,00 kHz uit. Die vlermuis beweeg teen 20.00 m / s na 'n mot wat teen 8.00 m / s van die vlermuis af vlieg. Die klanksnelheid is 340,0 m / s.

      (a) As ons aanneem dat die mot die golwe kan opspoor, watter frekwensiegolwe sal dit waarneem?

      (b) Die golwe weerkaats van die mot en word deur die vlermuis bespeur. Watter frekwensie word die golwe deur die vlermuis bespeur?

      Deel (a). Ons gebruik die algemene Doppler-vergelyking:

      waar f = 56,0 kHz en v = 340 m / s
      vO = 8.00 m / s (gebruik die minteken - beweeg weg)
      vs = 20,0 m / s (gebruik die minteken - beweeg in die rigting)

      f / = 56,0 kHz (340 - 8,00) / (340 - 20,0)

      Deel (b). Weereens gebruik ons ​​die algemene Doppler-vergelyking, maar hierdie keer is die vlermuis die waarnemer en die mot dien as die bron.

      waar f / = 58,1 kHz en v = 340 m / s
      vO = 20,0 m / s (gebruik die plusteken - beweeg in die rigting)
      vs = 8.00 m / s (gebruik die plusteken - beweeg weg)

      f // = 58,1 kHz (340 + 20,0) / (340 + 8,00)

      Die vlermuis bespeur 'n golf van 60,1 kHz wat hy kan gebruik om uit te vind hoe vinnig die mot vlieg.

      Breek die klankgrens

      Soniese bome kom voor wanneer die bron beweeg of vinniger as die klanksnelheid. Hoekom is dit?

      As ons aanneem dat 'n stilstaande waarnemer en 'n bron beweeg teen die klanksnelheid, voorspel die Doppler-vergelyking 'n oneindige frekwensie. Hoekom is dit?

      As die bron teen die klanksnelheid beweeg, stapel die golwe op en beweeg dit saam met die bron. Al die pieke is op dieselfde plek, dus die golflengte is nul en die frekwensie is oneindig. Hierdie oortrek van al die golwe veroorsaak 'n skokgolf wat bekend staan ​​as 'n soniese oplewing.

      Wanneer die bron vinniger beweeg as die golfspoed, oorskry die bron die golf. Die vergelyking kan negatiewe frekwensiewaardes gee, maar -500 Hz is omtrent dieselfde as +500 Hz wat 'n waarnemer betref.

      Nou stapel die golwe in 'n bepaalde hoek op en lewer weer 'n skokgolf (sonic boom). Die hoek waarteen die skokgolf van die pad van die bron af wegbeweeg, hang af van die snelheid van die bron in verhouding tot die klanksnelheid.

      Lyk die patroon bekend? Dit lyk baie soos die wakker word deur 'n boot wat deur die water beweeg. Wat vertel dit u van hoe 'n boot se spoed vergelyk met die snelheid van watergolwe?