Sterrekunde

Afleiding van die formule vir lengtelyn van stygende knooppunt vir 'n satelliet

Afleiding van die formule vir lengtelyn van stygende knooppunt vir 'n satelliet


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Ek het die IS-GPS-200H-dokument ondersoek om te verstaan ​​hoe om satellietlokasie in die ECEF-koördinaat te bereken.

Ek sukkel om die formule te verstaan ​​om $ Omega $, die lengte van die opgaande knoop (LAN) in verhouding tot Greenwich, op die gegewe tydstip $ t $ af te lei:

$$ Omega = Omega_0 + links ( dot { Omega - w} regs) keer t_k - w keer t_ {oe} $$

waar: $$ Omega_0: text {LAN relatief tot lente-ewening, aan die begin van die week} dot { Omega}: text {hoeksnelheid vir LAN, relatief tot lente-ewening.} w: text {hoeksnelheid van die aarde, relatief tot lente-ewening.} t_k: t - t_ {oe} t_ {oe}: text {ephemeris reference epoch} $$ (en laat ons die begin aandui van die week as $ t_0 $ vir kortheid).

Maar as ek dit van voor af probeer uitwerk:

  1. Teen $ t = t_0 $ was LAN $ Omega_0 $. Maar aangesien ons die verskil tussen LAN en lengtegraad van Greenwich nodig het, moet ons ook $ w_0 $ ken, die aanvanklike lengte van Greenwich op $ t = t_0 $. $$ Omega (t = t_0) = Omega_0 - w_0 $$
  2. Tydens die efemere verwysingstyd $ t = t_ {oe} $, LAN en die aarde draai albei met hul onderskeie hoekmomentum en dus: $$ Omega (t = toe) = Omega_0 + w_0 + ( dot { Omega } - w) times t_ {oe} $$
  3. Aangesien die tyd wissel van $ toe $ tot $ t $, draai LAN en die aarde weer albei met hul eie hoekmomentum en dus $$ Omega (t) = Omega_0 + w_0 + ( dot { Omega} - w) times t_ {oe} + ( dot { Omega} - w) times t_k $$ wat natuurlik verskil van die regte formule met $ w_0 + dot { Omega} times t_ {oe} $.

My vraag is waar maak ek foute / misverstaan ​​ek die vereiste? Verduidelik ook waarom ons nie $ w_0 $ of ekwivalente insette hoef te weet nie, dit sal baie waardeer word.


Ek dink jy is nie te ver van die begrip van die formule nie. Daar is egter 'n paar besonderhede wat u ontbreek:

  1. Volgens wat ek verstaan ​​uit die dokument waarna u gekoppel het, is $ t_0 = t_ {oe} $ die tyd aan die begin van die week, of verwysingstydperk.
  2. Wanneer u 'n hoek met 'n hoeksnelheid bereken, moet u dit gewoonlik bereken ten opsigte van 'n beginhoek en 'n aanvangstyd: wanneer die aarde en die satelliet tussen $ t_0 $ en $ t $ draai, is die hoek waarop hulle gedraai het $ punt { Omega} (t - t_0) $ of $ dot { Omega} _E (t - t_0) $.
    Die enigste uitsondering op hierdie reël blyk die aanvanklike Greenwich-lengtelyn te wees ten opsigte van die lente-ewening, wat blykbaar bereken word vanaf $ t = 0 $.
  3. $ w_0 $, die aanvanklike Greenwich-lengtelyn teen die ewewening, is $ dot { Omega} _E t_ {oe} $. Vanuit hierdie formule wil dit voorkom asof die dokument die oorsprong van tyd $ t = 0 $ beskou as die lengte van Greenwich tot die ewewening op hierdie tydstip 0 is.

Om saam te vat: die formule sou meer eksplisiet en verstaanbaar gewees het as: $$ Omega (t) = Omega_0 - dot { Omega} _E t_ {oe} + ( dot { Omega} - dot { Omega} _E) (t - t_ {oe}) $$ met:

  • $ Omega_0 $ = LAN het die lente-equinox teen $ t_ {oe} $
  • $ dot { Omega_E} $ = hoeksnelheid van die Aarde met die lente-ewening
  • $ - dot { Omega} _Et_ {oe} $ = Longitude van Greenwich op $ t_ {oe} $
  • $ dot { Omega} $ = hoeksnelheid van die satelliet teenoor die lente-ewening
  • $ ( dot { Omega} - dot { Omega} _E) (t - t_ {oe}) $ = relatiewe hoekverplaatsing tussen die satelliet en Greenwich, tussen die tyd $ t $ en $ t_ {oe} $

Dit gesê, dit lyk asof dit sleg is om $ Omega (t) $ die lengte met betrekking tot Greenwich te noem en $ dot { Omega} $ die hoeksnelheid ten opsigte van die lente-ewening. Dit veroorsaak heelwat verwarring, aangesien dit wiskundig gesproke vir enige lineêre funksie $ f $, $ f (t) = f (t_0) + dot {f} times (t - t_0) $


Berekening van lengte, breedte en hoogte met behulp van RAAN, argument van perigee, ens

Ek is relatief nuut in die baanwerktuigkunde en ek weet dat daar baie bronne en soortgelyke vrae op die internet is, maar dit lyk asof ek nie reguit antwoord / leiding van een van hulle kry nie.

Ek het 'n stel data rakende enige satelliet wat uit die volgende bestaan:

  1. Gemiddelde beweging
  2. Gemiddelde anomalie
  3. Argument van perigee
  4. Eksentrisiteit
  5. Neiging
  6. Regteropgang van stygende knooppunt (RAAN) AKA-lengte van oplopende knooppunt

Hierdie data word met behulp van die PyEphem-biblioteek onttrek. Wat ek wil bereken, is die lengte-, breedtegraad- en hoogtehoogte van die satelliet op enige gegewe tydstip. Ek weet wat elke parameter beteken, maar ek weet nie hoe dit verband hou met my onbekendes nie.

Ek het probeer om vraestelle te lees, verskeie simulasies te probeer en baie artikels oor die omskakeling van Kepleriaanse elemente na te gaan, maar ek kan nog steeds nie uitvind hoe om die kolletjies te verbind nie. Die belangrikste bronne wat ek bestudeer het, is:

en ek het ook die meeste verwante vrae op hierdie webwerf gelees. Sou dit makliker wees as ek intydse opsporingsdata gebruik in plaas van TLE te gebruik om my onbekende te voorspel?


Effek van atmosferiese weerstand op kunsmatige satellietbane

waar is die massadigtheid van die atmosfeer (op die satellietposisie), die sleepkoëffisiënt, die dwarsdeursnee van die satelliet loodreg op sy bewegingsrigting, die satellietmassa en die satellietsnelheid. Daar kan gesien word dat die krag eweredig is aan die kwadraat van die satellietsnelheid en teenoorgesteld gerig is op die oombliklike bewegingsrigting daarvan (d.w.s. die krag vorm 'n sleep). Die sleepkoëffisiënt is 'n orde-eenheids dimensielose konstante wat hoofsaaklik afhang van die vorm van die satelliet. Vir die geval van 'n sferiese satelliet, (Cook 1965).

Die digtheidsverdeling van die aardse atmosfeer is gemaklik geskoei as (de Pater en Lissauer 2010)

waar die radiale afstand vanaf die Aarde se middelpunt meet, is die aardse radius, die atmosferiese digtheid op grondvlak (d.w.s.) en die atmosferiese skaalhoogte. Dit is duidelik dat die vorige formule slegs geldig is wanneer.

As ons aanneem dat die atmosferiese sleepkrag, (10.130), klein is in vergelyking met die aantrekkingskrag tussen die aarde en die satelliet - en dus as 'n versteuring behandel kan word - kan die satellietbaan as Kepleriaanse ellips gemodelleer word. ses elemente ontwikkel mettertyd stadig onder die invloed van die weerstand. Laat,, wees silindriese koördinate in 'n verwysingsraamwerk wat in lyn is met die oombliklike wentelvlak van die satelliet, soos beskryf in Afdeling I.1. Hier is die ware anomalie van die satelliet. (Kyk Afdeling 4.11.) Deur gebruik te maak van die ontleding van Aanhangsel I, kan ons skryf

Hier is,,, en onderskeidelik die satelliet se hoofradius, eksentrisiteit, hoekmomentum per eenheidsmassa en eksentrieke anomalie. (Kyk Afdeling 4.11.) Waar is die aardse massa boonop? Dit volg uit die vorige vergelykings dat

Soos reeds genoem, is die onmiddellike baan van die satelliet 'n Kepleriaanse ellips wat gekenmerk word deur ses orbitale elemente, wat ons kies as die hoofstraal, die gemiddelde afwyking in die tydperk, die eksentrisiteit, die argument van die perigee, die neiging (tot die ekwatoriale vlak van die aarde), en die lengte van die opgaande knoop (gemeet ten opsigte van die lente-ewening),. (Kyk Afdeling 4.12.) Hierdie elemente ontwikkel mettertyd stadig onder die invloed van die atmosferiese sleepkrag. Vir hierdie geval word evolusie hierdie keer die maklikste gespesifiseer in terme van die Gauss-planetêre vergelykings, wat die vorm aanneem (sien Aanhangsel I)

Aangesien dit (sien Afdeling 4.11 en Oefening 16)

die Gauss-planetêre vergelykings kan gekombineer word met vergelykings (10.137) - (10.139) om te gee

Hier is die ongestoorde gemiddelde wentelsnelheid. Dit is onmiddellik duidelik dat die atmosferiese sleepkrag geen aanleiding gee tot verandering in die hellings van die satelliet se wentelvlak nie (omdat en albei konstant is). Dit is nie verbasend nie, want die trekkrag het geen komponent wat normaal is vir hierdie vlak nie (d.w.s.).

Soos voorheen verduidelik, werk ons ​​in die limiet waarin die atmosferiese sleepkrag steurend is. Hierdie limiet vereis dat die relatiewe veranderinge in die satelliet se orbitale elemente wat veroorsaak word deur die sleep in 'n wentelperiode, klein is. Dit blyk uit Vergelykings (10.148) - (10.151) dat dit die geval is, met ander woorde, solank die lugmassa wat die satelliet in 'n enkele baan teëkom, dus baie minder is as die massa van die satelliet. As ons aanneem dat ons in die perforatiewe grens (d.w.s.) is, vind die evolusie van die satelliet se orbitale elemente plaas op 'n tydskaal wat baie langer is as sy wentelperiode. Ons kan op hierdie evolusie konsentreer en enige relatiewe korttermyn-ossillasies in die elemente filter deur middel van die uitdrukkings (10.148) - (10.151) oor 'n wentelperiode. 'N Geskikte baan-gemiddelde operateur is

Hier het ons gebruik gemaak van die feit dat, en, vir 'n Kepleriaanse baan. (Kyk Afdeling 4.11.) Ons lei dit dus af

Hieruit volg dat die atmosferiese sleepkrag die groot radius en eksentrisiteit van die satellietbaan albei tydig monoton laat verval [omdat die regterkant van Vergelykings (10.155) en (10.156) albei negatief is]. Aan die ander kant produseer die krag geen presessie in die perigee van die baan nie (omdat). Die feit wat impliseer dat die sleepkrag nie die Kepleriaan verander nie, lei tot die gevolg dat die gemiddelde wentelsnelheid is. Nou kan maklik aangetoon word (sien Oefening 4) dat die satelliet se kinetiese energie om die baan is


1 Antwoord 1

Die spesiale eienskap van son-sinchrone satelliete is die presessie, in 'n tempo gelyk aan die aarde se wentelperiode rondom die son (1 jaar). Dit beteken dat die RAAN van die satelliet deur die jaar met 360 grade dryf, en gevolglik bly die plaaslike sontyd op die oomblik dat die ewenaar oorgesteek word, konstant.

as die satelliet op 'n ander dag vanaf dieselfde lanseringsplek ingespuit word, sal die RAAN verskil. Tog word die gewenste plaaslike tyd bereik.

Nee - die RAAN sal nie verskil nie. Die twee RAAN-waardes vanaf oomblikke van onderskeie inspuitings wil, maar as u wil hê dat die tweede satelliet dieselfde sontyd as die eerste moet behaal, moet u RAAN-inspuiting gelyk wees aan RAAN van die eerste satelliet op die oomblik van die tweede inspuiting - aansienlik anders as wat dit op sy eie inspuitingstyd was, aangesien dit sedertdien met die presisie na die nuwe waarde gedryf het.

Op die foto hieronder is twee son-sinchrone wentelbane (of daarby.) Wat slegs verskil deur die regteropgang van stygende knooppuntwaardes - met 90 grade. Hierdie prentjie bly "waar" - onveranderd - ongeag die tyd van die dag of die tyd van die jaar. Daar is die sonlig en die nagkant, en die een satelliet gaan om 12 uur en middernag verby die hemelse ewenaar, die ander een - met sonsopkoms en sonsondergang (06:00, 18:00) - ongeag watter land of oseaan op daardie oomblik onder is, en ongeag van datum.

AS die datum 20 Maart was, die dag van die ewewening, sou die RAAN van die eerste satelliet 0, tweede - 90 grade wees. Op enige ander dag sal die hoek verskil - by herfs-eweninge sal hierdie waardes onderskeidelik 180 en 270 grade wees. Dit is omdat die sonligligte van die aarde presies in die teenoorgestelde rigting van die heelal sal wees, aan die ander kant van die son. Maar die wentelbane sal in hul oriëntasie bly in verhouding tot die rigting van Sun en die terminatorlyn.


Twee reëlelemente [wysig]

Kepleriaanse elementparameters kan in 'n aantal formate as teks gekodeer word. Die algemeenste daarvan is die NASA / NORAD "tweelyn-elemente"(TLE) -formaat [1], oorspronklik ontwerp vir gebruik met 80-kolomgesteekte kaarte, maar steeds gebruik omdat dit die algemeenste formaat is, en so goed soos enige ander werk.
TLE's ouer as 30 dae word aansienlik onakkuraat. Orbitale posisies en hoogtes kan vanaf TLE's bereken word deur middel van die SGP / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8 algoritmes.

  • Verklarende aanvulling tot die astronomiese almanak. 1992. K. P. Seidelmann, Ed., University Science Books, Mill Valley, Kalifornië.

Hoe bereken u kruispunte van twee wentelvlakke? (a / n d / n in die kaartaansig)?

Soos die titel sê. As u 'n teiken kies, is in die kaartaansig die stygende en dalende knope van die kruisings van die wentelbaan. Hoe bereken u dit?

Ek het nie kode soveel nodig as wat u moet weet / gebruik nie hierdie wiskunde .. gebruik dan hierdie vergelyking & quot soort ding.

Eerstens moet u onthou dat die kruising van twee vlakke 'n lyn is, nie 'n punt nie. (As u nie sê dat u dit nog nie geweet het nie, maar as u dit onthou, help dit om die prentjie in u kop reg te hou vir wat die werklike wiskundeprobleem is.)

Een manier om 'n lyn te definieer, is om 'n vektor vir sy oriëntasie te gee, plus enige punt wat die lyn deurgaan om sy posisie te bepaal. Die oorsprongspunt (stert) van die vektor werk goed hiervoor.

Hoe vind jy dan die lyn met twee vlakke?

Nou eers, hoe definieer jy dan 'n vliegtuig? U definieer dit as 'n punt op die vlak gekombineer met 'n normale vektor in die vlak.

In die geval van twee vliegtuie om dieselfde liggaam, kan u dit vereenvoudig deur te besef dat hulle die middelpunt van die planeet of maan wat hulle wentel as 'n gemeenskaplike punt tussen hulle moet deel, sodat u kan dink aan die hand van 'n verwysingsraamwerk waar hulle plaas albei die oorsprongspunt in die liggaamsentrum, en dan hoef u net bekommerd te wees oor wat hul normale vektore is.

En wat jy redelik maklik vir 'n baan kan vind. Neem die huidige snelheid en die huidige posisie vanaf die middel van die planeet (of maan). Dit is twee vektore wat in sy wentelvlak is. Wel, as u twee vektore neem wat albei in 'n vlak is (en nie parallel met mekaar is nie), en dit saam kruisproduseer, dan is die resulterende vektor moet wees loodreg op daardie vlak, met ander woorde 'n normale vektor op die vlak. (Die rede waarom dit nie werk as hulle parallel is nie, is dat u kruisproduk nul het en dus geen werklike rigting is om mee te werk nie. Dit sou slegs die geval wees as u direk na die middelpunt van die planeet val. solank dit nie die geval is nie, dan sal die snelheid van die item: baan en sy posisie ten opsigte van liggaamsentrum (item: posisie - item: liggaam: posisie) altyd twee nie-parallelle vektore in sy baanvlak vorm wat u kan gebruik vir hierdie kruisproduk om 'n normaal na die baanvlak te kry.)

Goed, dus as u die twee items gebruik, kan u normale vektore op hul wentelvlakke vind.

As u eers die twee normale vektore het, as u HULLE dan kruisproduseer, dan moet die resulterende vektor van DIT parallel wys met die lyn wat albei vlakke deel (want dit moet loodreg op albei wentelvlakke wees & # x27 normale , wat beteken dat dit binne-in albei wentelvlakke moet wees).

U het dus nou die data om u die kruislyn te gee. U ken die lyn waar die twee vlakke kruis, as die lyn wat deur die middelpunt van die liggaam gaan en is langs die vektor wat u kry as u 'n kruisproduk van hul twee normale vektore doen.

Dit is 'n bietjie moeiliker om die punt langs u baan te vind waar u die lyn tref, maar ek stop vir eers daar en hoop dat dit u gee wat u nodig het.


Outonome baanbepaling vir 'n hibriede konstellasie

'N Nuwe baanbepalingskema wat op satelliete in kommunikasie en afstandwaarneming in 'n hibriede konstellasie gerig is, word in hierdie artikel ondersoek. Ons ontwerp eers een so 'n hibriede konstellasie met 'n tweelaag-opset (LEO / MEO) deur die dekking en herbesoeksiklus te optimaliseer. Die hoofidee van die skema is om 'n kombinasie van beeldmateriaal, hoogtemaatgegewens en data tussen satelliete te gebruik as metings en om die wentelbane van die satelliete in die hibriede konstellasie te bepaal met behulp van die uitgebreide Kalman-filter (EKF). Die prestasie van die nuwe skema word geanaliseer met Monte Carlo-simulasies. Ons fokus eers op 'n individuele afstandswaarnemingsatelliet en vergelyk die prestasie van baanbepaling deur slegs beelde te gebruik met sy eweknie met behulp van beide beeld- en hoogtemetermetings. Resultate toon dat die werkverrigting verbeter as beeldmateriaal gebruik word met hoogtemaatgegewens wat op geometerkalibrasie-webwerwe wys, maar daal wanneer dit met oseaanhoogtemetergegewens gebruik word. Ons brei dan die ondersoek uit na die hele konstellasie. Wanneer data tussen satellietreeks bygevoeg word, kan wentelbane van al die satelliete in die hibriede konstellasie outonoom bepaal word. Ons vind dat die kombinasie van data tussen satelliet-reeks en waarnemings op afstandwaarneming lei tot 'n verdere verbetering in die akkuraatheid van die baanbepaling vir LEO-satelliete. Ons resultate toon ook dat die prestasie van die skema beïnvloed sal word as daar geen waarnemings op afstand deur sekere satelliete is nie.

1. Inleiding

'N Hibriede konstellasie verwys na 'n groep satelliete by verskillende wentelbane wat in konsert werk. 'N Bekende voorbeeld is die BEIDOU-navigasiesatellietkonstellasie van China. Die hibriede konstellasie-konsep verskyn gewoonlik in studies oor navigasie-konstellasie-ontwerp en -optimalisering [1, 2]. Dit is ook bekendgestel aan die velde van satellietkommunikasie en afstandswaarneming [3, 4], en Fahnestock en Erwin [5] het 'n soort hibriede konstellasie aangebied om te voldoen aan die vereistes vir bewusmaking van ruimte. Min navorsing probeer egter om 'n hibriede konstellasie as 'n multifunksionele konstellasie te ontwerp.

Tans hang die baanbepaling vir satelliete sterk af van die aardstasies en navigasiekonstellasies (byvoorbeeld GPS-konstellasie). Ten einde die instandhoudingskoste van hierdie stelsels te verlaag en die oorlewingsvermoë van satelliete in noodgevalle te verhoog, is outonome metodes vir die bepaling van die wentelbaan voorgestel wat afhanklik is van instrumente aan boord. Sommige van hierdie werke fokus op outonome baanbepaling gebaseer op data van optiese beelde of hoogtemeters of data tussen satelliete. White et al. [6] het metings van sterre en landmerke gebruik om die houding en baan van satelliete te skat. Straub en Christian [7] het waarnemings van kuslyne op die aarde se oppervlak as insette gebruik om die wentelbane van aardwaarnemende satelliete met verskillende wentel hellings en hoogtes outonoom te bepaal. Li, Xu en Zhang [8] stel 'n skema voor met behulp van beelde van grondvoorwerpe en analiseer die invloed van beeldresolusie, wys akkuraatheid en beligtingsbeperkings op die prestasie van die baanbepaling. Na afloop van die studie het Li en Xu [9] 'n baan- en houdingsbepaling-skema (OAD) aangebied met behulp van beelde van gereelde-vormige landmerke om die nadele te oorkom deur grondpuntfunksies te gebruik. As 'n ander hoë-presisie-meting kan die hoogtemeter hoogs akkurate hoogte-inligting verskaf wat help om die akkuraatheid van die baanbepaling effektief te verbeter. Born et al. [10] het die baan van die N-ROSS-satelliet bepaal met behulp van die altimetriese kruisboogreste tussen die TOPEX- en N-ROSS-wentelbane en getoon dat radiale akkuraatheid van die submeter bereik kan word. Lemoine et al. [11] het getoon dat kruisdata oor die hoogtemeter die swaartekragveld aansienlik kan verander en die radiale baan akkuraatheid van POD kan verbeter tot 4-5 cm vir die GEOSAT Follow-On ruimtetuig wanneer dit gebruik word in kombinasie met SLR data. Vir satelliete in konstellasies kan intersatellietverbindings tot stand gebring word en waarnemings van die skakels van die skakels van hierdie skakels gebruik kan word vir baanbepaling. Markley en Naval [12] het prestasie van die baanbepaling ondersoek deur middel van landmerke en intersatellietdata. Psiaki [13] stel 'n outonome baanbepalingstelsel voor wat gebaseer is op die relatiewe posisie-meting van 'n paar satelliete en ontleed die waarneembaarheid en akkuraatheid van die skatting van die baan. Li et al. [14] het die moontlikheid geverifieer om die foute as gevolg van rotasie van konstellasie te verminder deur kameras te gebruik om die rigting tussen satelliete te verkry. Kai et al. [15] het die prestasie van 'n navigasie-skema geëvalueer wat relatiewe dra-metings van navigasiestersensors gebruik, gekombineer met relatiewe reikafstandmetings van intersatelliet-skakels. Buitendien het Kai et al. [16] het 'n skema ingestel wat gebruik maak van die metings van die tydsverskil van aankoms (TDOA) op röntgenpulsars en metings tussen satelliete om die absolute posisie van satelliete te bepaal. Wang en Cui [17] behaal ook outonome navigasie deur gebruik te maak van die X-straal-pulsars en metings tussen satelliete vir Mars-obiters.

In teenstelling met vorige studies oor hibriede konstellasies wat daarop fokus om aan 'n spesifieke vereiste van kommunikasie, navigasie of afstandswaarneming te voldoen, is in hierdie artikel 'n hibriede konstellasie met twee lae (MEO / LEO) voorgestel om aan die vereistes van satellietkommunikasie en afstandswaarneming te voldoen. . Die LEO-laag-satelliete met optiese kameras en hoogtemeters aan boord is ontwerp vir Aarde-waarneming, en die MEO-laag is in kombinasie met die LEO-laag ontwerp om 'n kommunikasiekonstellasie te wees. Vir die basterkonstellasie word 'n nuwe baanbepalingskema voorgestel. Sonder ander waarnemingsdata buite die konstellasie kan slegs data van optiese beelde en hoogtemeters gebruik word as waarnemings met 'n hoë presisie vir outonome baanbepaling van LEO-satelliete. Twee gebruikspatrone word vir die hoogtemeterdata oorweeg. Die een is die oseaan-hoogtemeters wat gegenereer word met nadirwysende hoogtemeter. Die ander is die omvangdata wat gegenereer word met hoogtemeters wat na die geometer-kalibrasie-webwerwe wys, wat deur die kamerastelsels vasgelê en herken kan word. Wanneer data tussen satellietreeks oorweeg word, kan ook wentelbane van MEO-lae satelliete bepaal word, wat weer 'n uitwerking op die LEO-laag satelliete het. As gevolg hiervan kan outonome baanbepaling van die konstellasie met kommunikasiesatelliete en afstandswaarnemingsatelliete bereik word.

Onder so 'n konstellasie word die prestasie van outonome baanbepaling met behulp van optiese beelde, hoogtemaatgegewens en data tussen satelliete bereik geëvalueer. Vir die bepaling van die baan op 'n hoogtemeter word die invloed van verskillende gebruikspatrone op die akkuraatheid van die baan vergelyk. Vir baanbepaling met behulp van al drie die waarnemingsdata word die prestasie ook beoordeel in die omstandighede wanneer sekere afstandwaarnemings nie waar is nie.

Vir die doel is die res van hierdie referaat soos volg georganiseer: Afdeling 2 stel die optimale hibriede konstellasie voor. In Afdeling 3 word 'n gedetailleerde beskrywing van die baanbepalingsalgoritme gegee, insluitend die dinamiese model, die meetmodel en die filtermodel. Vir verskillende waarnemingsdata word simulasies van die baanbepaling en prestasie-analise in Afdeling 4 getoon. Ten slotte word 'n paar kort gevolgtrekkings en besprekings in Afdeling 5 gegee.

2. Hibriede konstellasie-ontwerp

In hierdie afdeling word 'n hibriede konstellasie voorgestel wat bestaan ​​uit MEO / LEO tweelaag-satelliete. Die LEO-laag is ontwerp om 'n optiese waarnemingsmissie op aarde te implementeer. Boonop kan die LEO-laag wat met die MEO-laag saamwerk, deurlopende streekkommunikasiedekking bied. Met inagneming van wenteleienskappe van die hibriede konstellasie en verwante beperkings, word 'n doeltreffende ontwerpprosedure hieronder aangebied.

2.1. LEO Laag

Om die akkuraatheid van die verkreë data te verseker, word satelliete wat aardwaarnemingsmissies uitvoer meestal op LEO geplaas. In die koerant is die LEO-laag ontwerp as 'n afstandswaarnemingskonstellasie wat voldoen aan dekking- en herbesoeksiklusvereistes. Aangesien die satelliete wat op son-sinchrone baan geplaas word op 'n vasgestelde plaaslike sontyd oor 'n gegewe sub-satellietpunt gaan, is die son-sinchrone baan geskik vir satelliete vir aardwaarneming en voldoen dit aan die nie-dimensionele vorm [18]:


Ruimte-dinamika

Die ruimte-aktiwiteit in die wêreld is een van die belangrikste prestasies van die mensdom. Dit maak live kommunikasie moontlik, verkenning van Aarde hulpbronne, weervoorspelling, akkurate posisionering en verskeie ander take wat vandag deel uitmaak van ons lewens.

Die ruimtedinamika speel 'n baie belangrike reël in hierdie ontwikkelings, aangesien die studie ons toelaat om te beplan hoe om 'n ruimtevoertuig te lanseer en te beheer om die resultate te kry wat ons benodig.

In hierdie veld word die studie van hemelmeganika en -beheer bestudeer wat op ruimtetuie en natuurlike voorwerpe toegepas is. Die belangrikste take is om die baan en die houding van die ruimtetuig te bepaal op grond van sommige waarnemings, om die posisie en houding in 'n bepaalde tyd in 'n gegewe tyd te verkry uit sommige aanvanklike toestande, om die beste manier te vind om hul wentelbane en houding te verander, om te analiseer hoe om die inligting van die satelliete te gebruik om die posisie en snelheid van 'n gegewe punt te vind (bv. 'n persoonlike reseptor, 'n satelliet of 'n motor), ens.

Hierdie vakgebied is afkomstig van Sterrekunde. Die belangrikste bydraers uit die verlede het belangrike name soos Johannes Kepler (1571–1630) en Isaac Newton (1642–1727). Op grond van die waarnemings van die beweging van die planete wat deur Tycho Brahe (1546–1601) gerealiseer is, het Kepler die drie basiese wette geformuleer wat die beweging van die planete rondom die Son beheer. Vanuit hierdie wette het Newton die universele wet van gravitasie geformuleer. Volgens hierdie wet trek massa massa aan in 'n verhouding wat eweredig is aan die produk van die betrokke twee massas en omgekeerd eweredig aan die kwadraat van die afstand tussen hulle. Hierdie wette is die wetenskaplike basis van die ruimtelike verkenningstydperk wat amptelik begin met die lansering van die satelliet Sputnik in 1957 deur die voormalige Sowjetunie. Sedertdien het 'n sterk stryd tussen die Verenigde State van Amerika (die VSA) en die Sowjetunie plaasgevind wat gelei het tot baie prestasies in die ruimte. Een van die belangrikste resultate was die landing van die man op die maan, wat die VSA in 1969 behaal het. Van hierdie punt af is verskillende toepassings van die ruimtelike ondersoek ontwikkel, wat die menslike lewe op aarde beter verander.

In hierdie omvang is hierdie spesiale uitgawe van Wiskundige probleme in ingenieurswese gefokus op die onlangse vordering in tegnieke vir ruimte-dinamika. Dit bevat 'n totaal van 21 vraestelle wat hieronder kortliks beskryf word.

Vier van hulle is besorg oor die houdingsbeweging, beheer en vasberadenheid. Optimale aan-uit houdingsbeheer vir die Brasiliaanse multimission-platform satelliet deur G. Arantes Jr. et al. is die eerste een. Hierdie werk handel oor die ontleding en ontwerp van die reaksieskakelaar se houdingskontrole vir die Brasiliaanse Multi-Mission Platform-satelliet. Die doel van hierdie werk is om gladder beheer te bied vir verbeterde aanwysvereistes met minder skroefaktivering of dryfstofverbruik. Die brandstof is 'n beslissende faktor in die lewensduur van die ruimtetuig, en veral die vermindering van die dryfstofverbruik is veral nodig vir 'n multimissieruimtevaartuig waarin verskillende loonvragte oorweeg word. Die drie-as houdingsbeheer word oorweeg en dit word in die polsmodus geaktiveer. Gevolglik is 'n modulasie van die koppelopdrag dwingend om hoë nie-lineêre beheeraksie te vermy. In die artikel word die Pulse-Width Pulse-Frequency (PWPF) -modulator bespreek, bestaande uit 'n Schmidt-sneller, 'n eerste orde filter en 'n terugvoerlus. Hierdie modulator hou verskeie voordele in vergelyking met klassieke bang-bang-beheerders, soos naby lineêre bewerkings, hoë akkuraatheid en verminderde dryfstofverbruik. Die Lineêre Gaussiese kwadratiese (LQG) tegniek word gebruik om die beheerwet tydens die stabilisasiemodus te sintetiseer, en die modulator word gebruik om die deurlopende beheersignaal te moduleer om dit te diskreet. Die resultate van die numeriese simulasies toon dat die verkrygde aan-af-skroefreaksie-houdingsbeheerstelsel, gebaseer op die LQG / PWPF-modulasie, optimaal is ten opsigte van die minimalisering van die kwadratiese kostefunksie van die state en beheerseine en dryfmiddelverbruik. Die artikel bied 'n stel optimale parameters vir die PWPF-modulator aan deur statistiese en dinamiese analise te oorweeg. Die behaalde resultate toon die uitvoerbaarheid van die kombinasie van LQG / PWPF-modulator in 'n unieke beheerder vir aan-af-reaksie-houdingsbeheerstelsel. Stabiliteit bly deur die PWPF-modulator by te voeg en redelike akkuraatheid in houding word bereik. Praktiese aspekte word in hierdie studie ingesluit as filter en teenwoordigheid van eksterne impulsiewe versteurings. Die voordele van minder gebruikte dryfmiddel sal bydra tot die Brasiliaanse Multi-Mission Platform-projek, veral 'n satelliet wat bedoel is om op 'n groot aantal en verskillende soorte missies te gebruik, in die konteks van 'n steeds vorderende Brasiliaanse ruimteprogram.

Die tweede referaat oor hierdie onderwerp is 'n baie doeltreffende Sigma-puntfilter vir ruimtetuig-houding en koersberaming deur C. Fan en Z. You. In hierdie artikel, vir die bepaling van ruimtetuig-houdingsprobleme, was die vermenigvuldigende Kalman-filter MEKF en ander soortgelyke algoritmes goeie oplossings vir die meeste nominale ruimtemissies. As gevolg van hul oorbelading in die berekening van die rekenaar, is dit deesdae onmoontlik vir die werklike implementering aan boord. In hierdie referaat bied die outeurs 'n nuwe en taamlik kompeterende algoritme aan, met aansienlike laer rekenaarkompleksiteit, selfs in vergelyking met die verminderde sigma-puntalgoritmes. Die presisie is dieselfde as die tradisionele Kalman-filters sonder geur. Wat die doeltreffendheid betref, is die voorgestelde algoritme teen MEKF, selfs in ernstige situasies.

Die volgende een is spin-gestabiliseerde ruimtetuig: analitiese houdingsvermenigvuldiging met behulp van magnetiese wringkragte deur R. V. Garcia et al. Hierdie artikel bespreek die probleem om die houding van 'n satelliet in 'n gegewe tyd te verkry op grond van inligting van 'n vorige keer. Dit ontleed die rotasiebeweging van 'n spin-gestabiliseerde kunsmatige satelliet op die aarde. Dit maak afleiding van 'n analitiese houdingsvoorspelling. Daar word veral aandag gegee aan wringkragte, wat afkomstig is van residuele magnetiese en wervelstromings, asook die invloede daarvan op die satellietshoeksnelheid en ruimte-oriëntasie. 'N Sferiese gekoördineerde stelsel, vas in die satelliet, word gebruik om die draai-as van die satelliet op te spoor in verhouding tot die aardse ekwatoriale stelsel.

Die laaste referaat van hierdie onderwerp is die gebruik van die H-Infinity Control Method in Attitude Control System of Rigid-Flexible Satellite deur X. C. M. Cubillos en L. C. G. Souza. Hierdie referaat behandel die gesindheidsbeheerstelsels van satelliete met rigiede en buigsame komponente. In die huidige ruimtemissies vereis hierdie probleem 'n beter prestasie, wat impliseer in die ontwikkeling van verskeie metodes om hierdie probleem te benader. Om hierdie rede moet die metodes wat vandag beskikbaar is, meer ondersoek word om die vermoë en beperkings daarvan te ken. Daarom word die H – Infinity-metode in hierdie artikel bestudeer in terme van die prestasie van die Attitude Control System van 'n rigiede buigsame satelliet.

Daar was vier referate wat die probleem van die vind van ruimtetrajekte bestudeer het. Die eerste een is Hill Problem Analytical Theory to the Order Four: Application to the Computation of Frozen Orbits around Planetary Satellites deur M. Lara en J. F. Palacián. In hierdie artikel word toepassings gedoen vir die berekening van bevrore wentelbane om planetêre satelliete. The Hill problem, a simplified model of the restricted three-body problem, also gives a very good approximation for the dynamics involving the motion of natural and artificial satellites, moons, asteroids and comets. Frozen orbits in the Hill problem are determined through the double averaged problem. The developed method provides the explicit equations of the transformation connecting averaged and non averaged models, making the computation of the frozen orbits straightforward.

The second one covering this topic is Collision and Stable Regions around Bodies with Simple Geometric Shape by A. A. Silva et al.. Collision and stable regions around bodies with simple geometric shape are studied. The gravitational potential of two simple geometric shapes, square and triangular plates, were obtained in order to study the orbital motion of a particle around them. Collision and stable regions were also derived from the well known Poincaré surface of section. These results can be applied to a particle in orbit around an irregular body, such as an asteroid or a comet.

The next paper is Dynamical Aspects of an Equilateral Restricted Four-Body Problem by M. Álvarez-Ramírez and C. Vidal. It is an immediate extension of the classical restricted three body problem (ERFBP): a particle is under the attraction of three nonzero masses (

) which move on circular orbits around their center of mass, fixed at the origin of the coordinate system in a such way that their configuration is always an equilateral triangle. In particular, it is assumed

. In a synodical system, a first integral of the problem is obtained. Using Hamiltonian formalism the authors define Hill’s regions. Equilibrium solutions are obtained for different cases and the number of them depends on the values of the masses. The Lyapunov stability of these solutions is studied in the symmetrical case assuming

. Under certain conditions and for very small , circular and elliptic keplerian periodic solutions can be continued to ERFBP. Vir

, Lyapunov Central theorem can provide a one-parameter family of periodic orbits. Some numerical applications are also shown.

The last one in this category is Nonsphericity of the Moon and Near Sun-Synchronous Polar Lunar Orbits by J. P. S. Carvalho et al.. Here, the dynamics of a lunar artificial satellite perturbed by the nonuniform distribution of mass of the Moon taking into account the oblateness (J2) and the equatorial ellipticity (sectorial term C22) is presented. A canonical perturbation method based on Lie-Hori algorithm is used to obtain the second order solutions. A study is performed for the critical inclination and the effect of the coupling terms J2 and C22 are presented. A new second order formula is obtained for the critical inclination as a function of the argument of the pericenter and of the longitude of the ascending node. In the same way, for Lunar Sun-synchronous and Near-Polar Orbits, a new formula is obtained to provide the value of the inclination. This formula depends on the semi-major axis, eccentricity and the longitude of the ascending node. For Lunar low altitude satellites, the authors call the attention for the importance of the additional harmonics J3, J5, and C31, besides J2 and C22. In particular they mention that, for small inclinations, some contributions of the second order terms can become as large as the first order terms. Several numerical simulations are presented to illustrate the time variation of the eccentricity and inclination.

After that, there are five papers considering the problem of localization with information obtained from space, in particular using GPS and/or GLONASS constellations. The first paper of this topic is GPS Satellites Orbits: Resonance by L. D. D. Ferreira and R. V. Moraes. In this paper, the effects of the perturbations due to resonant geopotential harmonics on the semi major axis of GPS satellites are analyzed. The results show that it is possible to obtain secular perturbations of about 4m/day using numerical integration of the Lagrange planetary equations and considering, in the disturbing potential, the main secular resonant coefficients. The paper also shows the amplitudes for the long period terms due to the resonant coefficients for some hypothetical satellites orbiting in the neighborhood of the GPS satellites orbits. The results can be used to perform orbital maneuvers of the GPS satellites to keep them in their nominal orbits.

The second paper is Some Initial Conditions for Disposed Satellites of the Systems GPS and Galileo Constellations by D. M. Sanchez et al.. In this paper the stability of the disposed objects of the GPS and Galileo systems can be affected by the increasing in their eccentricities due to strong resonances. A search for initial conditions where the disposed objects remain at least 250 years, without crossing the orbits of the operational satellites, was performed. As a result, regions where the values of the eccentricity prevent possible risk of collisions have been identified in the phase space. The results also show that the initial inclination of the Moon plays an important role in searching these initial conditions.

Then, we have Quality of TEC Estimated with Mod Ion Using GPS and GLONASS Data by P. O. Camargo. The largest source of error in positioning and navigation with the Global Navigation Satellite System (GNSS) is the ionosphere, which depends on the Total Electron Content (TEC). The quality of the TEC was analyzed taking into account the ModIon model developed in UNESP-Brazil the more appropriate model to be used in the South America region.

After that, we have the paper The Impact on Geographic Location Accuracy due to Different Satellite Orbit Ephemeredes by C. C. Celestino et al.. Here, it is assumed that there are several satellites, hundreds of Data Collection Platforms (DCPs) deployed on ground (fixed or mobile) of a large country (e.g. Brazil), and also some ground reception stations. It considers the question of obtaining the geographic location of these DCPs. In this work, the impact on the geographic location accuracy, when using orbit ephemeris obtained through several sources, is assessed. First, by this evaluation is performed by computer simulation of the Doppler data, corresponding to real existing satellite passes. Then, real Doppler data are used to assess the performance of the location system. The results indicate that the use of precise ephemeris can improve the performance of the calculations involved in this process by reducing the location errors. This conclusion can then be extended to similar location systems.

There is also the paper Simulations under Ideal and Non ideal Conditions for Characterization of a Passive Doppler Geographical Location System Using Extension of Data Reception Network by C. T. Sousa et al.. It presents a Data Reception Network (DRN) software investigation to characterize the passive Doppler Geographical Location (GEOLOC) software. The test scenario is composed by Brazilian Data Collection Satellite (SCD2) and the National Oceanic Atmospheric Administration satellite (NOAA-17) passes, a single Data Collecting Platform (DPC) and five ground received stations. The Doppler measurements data of a single satellite pass over a DCP, considering a network of ground reception stations, is the rule of the DNR. The DNR uses an ordering selection method that merges the collected Doppler shift measurements through the stations network in a single file. The pre-processed and analyzed measurement encompasses the DCP signal transmission time and the Doppler shifted signal frequency received on board of the satellite. Thus, the assembly to a single file of the measurements collected, considering a given satellite pass, will contain more information about the full Doppler effect behavior while decreasing the amount of measurement losses, as a consequence, an extended visibility between the relay satellite and the reception stations. The results and analyses were firstly obtained considering the ground stations separately, to characterize their effects in the geographical location result. Six conditions were investigated: ideal simulated conditions, random and bias errors in the Doppler measurements, errors in the satellites ephemeris and errors in the time stamp. To investigate the DNR importance to get more accurate locations, an analysis was performed considering the random errors of 1 HZ in the Doppler measurements. The results show that the developed GEOLOC is operating appropriately under the ideal conditions. The inclusion of biased errors degrades the location results more than the random errors. The random errors are filtered out by the least squares algorithm and they produce mean locations results that tend to zero error, mainly for high sampling rate. The simulations results, considering biased errors, yield errors that degrade the location for high and low sampling rates. The simulation results for ephemeredes error shows that it is fundamental to minimize them, because the location system cannot compensate these errors. The satellites ephemeredes errors are approximately similar in magnitude to their resulting transmitter location errors. The simulations results, using the DRN algorithm, show that to improve the locations results quality it would be necessary to have more Reception Stations spread over the Brazilian territory, to obtain additional amount of data. Then, on the other hand, it improves the geometrical coverage between satellite and DCPs, and better recovers the full Doppler curves, yielding, as a consequence, more valid and improved locations.

A similar problem, but concerned with the determination of an orbit of a satellite, is considered in A Discussion Related to Orbit Determination Using Nonlinear Sigma Point Kalman Filter by P. C. P. M. Pardal et al.. The goal of this work is to present a Kalman filter based on the sigma point unscented transformation, aiming at real-time satellite orbit determination using GPS measurements. Firstly, some underlying material is briefly presented before introducing SPKF (sigma point Kalman filter) and the basic idea of the unscented transformation in which this filter is based. Through the paper, the formulation about orbit determination via GPS, dynamic and observation models and unmodeled acceleration estimation are presented. The SPKF is investigated in many different applications and the results are discussed. The advantages indicate that SPKF can be used as an emerging estimation algorithm to nonlinear system.

Orbital maneuvers for space vehicles are also considered in three papers, as in Orbital Dynamics of a Simple Solar Photon Thruster by A. D. Guerman et al.. This paper studies the orbital dynamics and control for two systems of solar propulsion, a flat solar sail (FSS) and a simple solar photon thruster (SPT). The use of solar pressure to create propulsion can minimize the spacecraft on-board energy consumption during the mission. Modern materials and technologies made this propulsion scheme feasible, and many projects of solar sail are now under development, making the solar sail dynamics the subject of numerous studies. To perform the analysis presented in this paper, the equations of the sailcraft’s motion are deduced. Comparisons for the performance of two schemes of solar propulsion (Simple Solar Photon Thruster—SSPT and Dual Reflection Solar Photon Thruster—DRSPT) are shown for two test time-optimal control problems of trajectory transfer (Earth-Mars transfer and Earth-Venus transfer). The mathematical model for the force acting on SSPT due to the solar radiation pressure takes into account multiple reflections of the light flux on the sailcraft elements. In this analysis it is assumed that the solar radiation pressure follows inverse-square variation law, the only gravitational field is the one from the Sun (central Newtonian), and the sails are assumed to be ideal reflectors. For a planar motion of an almost flat sail with negligible attitude control errors, the SSPT equations of motion are similar to those for a DRSPT. The analysis showed a better performance of SPT in terms of response time and the results are more pronounced for Earth-Venus transfer. It can be explained by the greater values of the transversal component of the acceleration developed by SSPT compared to FSS.

Then, we have the paper Alternative Transfers to the NEOs 99942 Apophis, 1994 WR12, and 2007 UW1 via Derived Trajectories from Periodic Orbits of Family G by C. F. Melo et al.. This paper explores the existence of a natural and direct link between low Earth orbits and the lunar sphere of the influence to get low-energy transfer trajectory to the three Near Earth Objects through swing-bys with the Moon. The existence of this link is related to a family of retrograde periodic orbits around the Lagrangian equilibrium point L1 predicted by the circular, planar, restricted three-body Earth-Moon-particle problem. Such orbits belong to the so-called Family G. The trajectories in this link are sensitive to small disturbances. This enables them to be conveniently diverted, reducing the cost of a swing-by maneuver. These maneuvers allow a gain in energy enough for the trajectories to escape from the Earth-Moon system and to be stabilized in heliocentric orbits between Earth and Venus or Earth and Mars. The result shows that the required increment of velocity by escape trajectories G is, in general, fewer than the ones required by conventional transfer (Patched-conic), between 2% up to 4%. Besides, the spacecraft velocities relative to the asteroids are also, in general, less than that value obtained by the conventional methods. In terms of the transfer time, the results show that in the Apophis and 1994WR12 it is possible to find Closest Point Approaches. The longest time always corresponds to the smallest relative velocity in Closest Point Approaches for trajectories G. Therefore, the trajectories G can intercept the Near Earth Objects orbits and, they can be a good alternative to design future missions destined to the Near Earth Objects.

After that, we have the paper Controlling the Eccentricity of Polar Lunar Orbits with Low-Thrust Propulsion by O. C. Winter et al.. This paper approaches the problem that lunar satellites in polar orbits suffer a high increase on the eccentricity, due to the gravitational perturbation of the Earth leading them to a collision with the Moon. Then, the control of the orbital eccentricity leads to the control of the satellite's lifetime. This paper introduces an approach in order to keep the orbital eccentricity of the satellite at low values. The method presented in the paper considers two systems: the 3-body problem, Moon-Earth-satellite and the 4-body problem, Moon-Earth-Sun-satellite. A system considering a satellite with initial eccentricity equals to 0.0001 and a range of initial altitudes, between 100 km and 5000 km, is considered. An empirical expression for the length of time needed to occur the collision with the Moon as a function of the initial altitude is derived. The results found for the 3-body model were not significantly different from those found for the 4-body model. After that, using low thrust propulsion, it is introduced a correction of the eccentricity every time it reaches the value 0.05.

Mechanical aspects of spacecrafts are considered in two papers. The first one is Internal Loading Distribution in Statically Loaded Ball Bearings Subjected to an Eccentric Thrust Load by M. C. Ricci. In this paper an iterative method is introduced to calculate internal normal ball loads in statically loaded single-row, angular-contact ball bearings, subjected to a known thrust load which is applied to a variable distance from the geometric bearing center line. Numerical examples are shown and compared with the literature. Fifty figures are presented and the results are discussed.

The other paper is The Determination of the Velocities after Impact for the Constrained Bar Problem by A. Fenili et al.. In this paper, a mathematical model for a constrained manipulator is studied. Despite the fact that the model is simple, it has all the important features of the system. A fully plastic impact is considered. Analytical expressions for the velocities of the bodies involved after the collision are derived and used for the numerical integrations of the equations of motion. The theory presented in the paper can be used to problems where the robots have to follow some prescribed patterns or trajectories when in contact with the environment.

One paper deals with the astronomical side of the space dynamics: Gravitational Capture of Asteroids by Gas Drag by E. Vieira-Neto and O. C. Winter. The orbital configuration of the irregular satellites, present in the giant planets system, suggests that these bodies were asteroids in heliocentric orbits that have been captured by the planets. Since this capture is temporary, it has been necessary a dissipative effect in order to turn this temporary capture into a permanent one. This paper deals with this problem by analyzing the effects of the gas drag, from the Solar Nebula, in the orbital evolution of these asteroids after they have being captured by the planets. The results show that, although this dissipative effect is important, it is not the only mechanism responsible for keeping the asteroids in a permanent orbit about the planet.

Then, we also have one paper studying the motion of a spacecraft when traveling in the atmospheric region of the space: Atmospheric Reentry Dynamics of Conic Objects by J. P. Saldia et al.. In this paper, the accurate determination of the aerodynamics coefficients is an important issue in the calculation of the reentry trajectories of an object inside the terrestrial atmosphere. The methodology to calculate these coefficients and how to include them in a code, in order to compute the reentry trajectories, is considered. As a result, a sample of trajectories of conical objects for different initial flight conditions is presented.

Acknowledgments

The guest editors would like to thank all the authors, the reviews, the Editor of the journal, and all the staff involved in the preparation of this issue for the opportunity to publish the articles related to this important subject.

Antonio F. Bertachini A. Prado
Maria Cecilia Zanardi
Tadashi Yokoyama
Silvia Maria Giuliatti Winter

Kopiereg

Copyright © 2009 Antonio F. Bertachini A. Prado et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.


Third-Body Perturbation in the Case of Elliptic Orbits for the Disturbing Body

This work presents a semi-analytical and numerical study of the perturbation caused in a spacecraft by a third-body using a double averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to the second order. The important reason for this procedure is to eliminate terms due to the short periodic motion of the spacecraft and to show smooth curves for the evolution of the mean orbital elements for a long-time period. The aim of this study is to calculate the effect of lunar perturbations on the orbits of spacecrafts that are traveling around the Earth. An analysis of the stability of near-circular orbits is made, and a study to know under which conditions this orbit remains near circular completes this analysis. A study of the equatorial orbits is also performed.

1. Inleiding

An extensive literature is dedicated to the question of the perturbation done by a third-body on the trajectory of a spacecraft. Sptizer [1] used the lunar theory of Hill-Brown to study the problem on the limited case of small eccentricities and inclinations between the disturbing and the disturbed bodies. Kozai [2] derived the principal secular and long-period terms of the disturbing function due to the lunisolar gravitational attractions and Musen [3] included the parallactic term in the disturbing function. Using methods of classical mechanics, only for the secular terms, Blitzer [4] got estimate for the lunisolar disturbances. In the following years, many authors studied this problem using the disturbing function, Lagrange planetary equations, and numerical approximations [5–11]. In the references presented, many results were obtained related to the perturbations of the third body on a small mass moving close to another body and showed important analytical contributions, because their results are concentrated in derivation of equations.

Recently, many works have been presented in the literature based on numerical methods. Broucke [12] calculated the general form of the disturbing function of the third body truncated after the term of second order in the expansion in Legendre polynomials. This research, published in 2003, described the problem of the third-body perturbation on a satellite in a simplified approximated model using double average over the short period of the satellite as well as with respect to the distant perturbing body [13]. The important reason for this is to eliminate the terms due to the short time periodic motion of the spacecraft and to show smooth curves for the evolution of the mean orbital elements for a long-time period. The perturbing body was in a circular orbit in the (

Prado and Costa [14] calculated the perturbing potential for order up to four in terms of the Legendre polynomials and later they extended the calculations to consider effects of up to order eight in the expansions in Legendre polynomials [15]. In Solórzano [16], the motion of the spacecraft is studied under the single-averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to fourth order. The single average is taken over the mean motion of the satellite to eliminate short-period perturbations that appear in the trajectories. After that, the equations of motion are obtained from the planetary equations. Prado [17] studied this problem under the double-averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to fourth order and the full restricted problem. The double average is taken over the mean motion of the satellite and over the mean motion of the disturbing body.

We noticed in the literature that few general expressions for calculations of the perturbing body have been done for cases of elliptic orbits [18–20]. There are no formulations that explicitly include the eccentricity of the disturbing body.

In the present work, we expanded the study done by Broucke [13], and Prado [17], including the eccentricity of the perturbing body. The double-averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to second order. Our purpose was to study the stability of orbits of a massless spacecraft in a near-circular three-dimensional orbit around a central body with mass

, and a second body with mass

in an elliptic orbit around this same central body in the plane

This paper is structured as follows. In Section 2, we present the equations of motion used for the numerical simulations. Section 3 is devoted to the analysis of the numerical results of near-circular orbits. The theory developed here is used to study the behavior of a spacecraft around the Moon, where the Earth is the disturbing body. Several plots show the time histories of the Keplerian elements of the orbits involved. Our final comments are presented in Section 4.

2. Equations of Motion

In this section, we present the equations of motion obtained from the mathematical models used in this research. It is assumed that the main body with mass is fixed in the center of the reference system . The perturbing body, with mass , is in an elliptic orbit with semimajor axis

). The massless spacecraft is in a generic two-dimensional orbit which orbital elements are (semimajor axis), (eccentricity),

(longitude of the ascending node), and (mean motion) given by the expression . This system is showen in Figure 1. Here, is the gravitational constant,

and are the radius vectors of bodies and , and

is the angle between these radius vectors.


Using the traditional expansion in Legendre polynomials (assuming that

), the disturbing potential is given by [21]

is the gravitational constant, are the Legendre polynomials, and is the central elongation between the perturbed body (the spacecraft) and the perturbing body (the second body).

The terms and are not included in (2.1). The part of the disturbing function due to the second body is given by

is the true anomaly of the satellite, is the unit vector pointing from the central body to the disturbing body, all of them functions of and (true anomaly and argument of the periapsis of the disturbing body, resp.). The usual orthogonal unit vectors and are functions of , , and in the plane of the satellite orbit, with pointing toward the periapsis. For the case of elliptic orbits the products and are written as

A substitution using (2.3) was made in (2.2). Then we have

Now we need to average those quantities over the short period of the satellite motion as well as with respect to the distant perturbing body. The standard definition for average used is

where is the mean anomaly that is proportional to time.

The averages are realized in terms of the eccentric anomaly, and then it is necessary to replace the true anomalies and by the eccentric anomalies

and . To do this task, we use some well-known relations from the Celestial Mechanics [21] given by the following equations:

Using those equations, we can obtain the following relations:

After using those equations, the disturbing potential averaged over the eccentric anomaly that the spacecraft has from the action of the disturbing body becomes

The next step is to obtain the second average with respect to the disturbing body. To do this, we considered the Keplerian elements of the spacecraft constant during the process of averaging [17]. Thus we obtain

After performing these averages for the perturbed and perturbing bodies, the equation obtained from the double-averaged disturbing function is

The partial derivatives of with respect to and can thus be written as

Now we need to quantify the resulting variations in these four orbital elements of the perturbed body. To obtain this, we will derive Lagrange's planetary equations. The results are given by

Analyzing these equations of motion, it can be noticed the following (see [13, 17]).

(i) is constant during the integration. (ii) All the results based on these equations are valid for any semimajor axis (i.e., present in the equations in terms of ) and system of primaries in a proportional time scale. (iii) Here we have a system of three simultaneous ordinary differential equations. They contain essentially the variables , and . (iv) The equation for the longitude of the ascending node depends on the variables , and but it does not influence their motion. (v) When and/or there are no variations on the inclination and eccentricity, and the orbit remains circular and/or planar. These circular solutions with constant inclination appear due to the truncation of the expansion of the disturbing function and are not a physical phenomenon. Although no variations for the eccentricity and inclination are obtained, in a real case (full restricted three-body problem), the circular solutions with constant inclination do not exist. The eccentricity can oscillate with large amplitude that depends on the value of the initial eccentricity. (vi) For the eccentricity of the spacecraft, we can see immediately that it increases with , which can be explained by the decrease of the minimum distance between the primaries. Thus, the perturbations for an orbiting spacecraft are maximum when the secondary body is near the pericenter of its orbit. Analyzing the equations, we have that, when is different from zero, increases by a scale factor of . It is also interesting to notice that, when the eccentricity increases, there is a decrease in the inclination. (vii) In every equation, appears the term that is an approximation of the mean value of the function that is given by . This approximation can reduce the accuracy of the numerical results. In Figure 2 there are two curves that show the evolutions of (solid curve) and its mean value (dashed line) as a function of the value of . Analyzing this figure, we can see that there is a tendency to diverge when the value increases, but they have a good agreement for small values of . (viii) A pseudo-time can be introduced in the equations by the expression

where is the period of the oscillation in the circular model and is the period of oscillation when the value of is considered. In this way, we have , which means that the period of oscillations decreases when the eccentricity of the disturbing body increases.


Kyk die video: Graad 12 Som van meetkundige reeks afleiding van formule 2 4Febr (Februarie 2023).