Sterrekunde

Koördineer transformasies tussen verwysingsraamwerke in sferiese sterrekunde

Koördineer transformasies tussen verwysingsraamwerke in sferiese sterrekunde


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Gestel daar is twee waarnemingsraamwerke met onderskeidelik oorsprong $ O $ en $ O '$, geskei deur 'n konstante afstand. 'N Liggaam op die punt $ P $ het Cartesiese koördinate $ left (x, y, z right) $ en $ left (x', y ', z', right) $ in $ O $ en $ O ' onderskeidelik $; en insgelyks is die sferiese koördinate van $ P $ in die ongeprimde en gegronde rame $ left (r, theta, phi right) $ en $ left (r ', theta', phi ' right) $.

Sê $ O $ bepaal dat die Cartesiese koördinate van $ O '$ $ left (a, b, c right) $ is. Dan is die Cartesiese koördinate van $ P $ in $ O $ eenvoudig verwant aan die primede Cartesiese koördinate: $$ left (x, y, z right) = left (x '+ a, y' + b, z ' + c regs) $$

My vraag is dus hoe 'n mens die invloed van vertaling op sferiese koördinate bereken. Gegee $ left (a, b, c right) $, hoe kan 'n mens $ left (r, theta, phi right) $ skryf as 'n funksie van $ left (r ', theta ', phi' reg)? $


Daar is 'n soort antwoord by Wiskunde. Al wat u in sferiese koördinate kan doen, is om die posisie van u "pool" te verander, dws u het $ (1,0,0) $ in u eerste koördinaatstelsel, wat gekarteer word na $ (r ', vartheta', varphi ') $ in die tweede koördinaatstelsel. Die twee hoeke stel 'n rotasie voor, en die $ r $ stel 'n skaal voor.

Ek dink, aangesien ons steeds met 'n vektorruimte (vir die hoekdeel) te doen het, kan u eenvoudig die oorsprong van die koördinaatstelsel twee by die vektore van die eerste koördinaatstelsel voeg. Die radius is skalerend en moet vermenigvuldig word. Dus vir 'n punt $ p = (r, vartheta, varphi) $ in koördinaatstelsel 1 kry u:

$$ p '= (r cdot r', vartheta + vartheta ', varphi + varphi') $$


Antwoorde en antwoorde

Dit is 'n nuttige begrip, ja, maar let op dat dit nie so & quotflexible & quot is soos wat u blykbaar dink nie. Sien volgende opmerking.

Wat u u nou voorstel is nie 'n & verwysingsraamwerk & quot in die Taylor, Wheeler-sin, dit is 'n koördinaatkaart. Die punt van die stokke en horlosies is dat (a) die stokke veronderstel is om styf te wees - hulle het altyd dieselfde regte lengte - en (b) dat die horlosies gesinchroniseer word met behulp van Einstein-kloksinkronisering. Dit beteken natuurlik dat u nie net 'n verwysingsraamwerk het nie, maar ook 'n traagheid verwysingsraamwerk.

As u die voorwaardes verslap sodat u & quotreferences-raam & quot nie-traagheid kan wees, is dit wat u regtig doen om die oorspronklike regverdiging weg te gooi om u in die eerste plek die stokke en horlosies voor te stel. Klokke wat hardloop teen & quot, ongeag & quot koers, word nie gesinkroniseer nie, dus het u geen rede meer om aan te neem dat twee verskillende horlosies dieselfde tyd betekenis het nie. Wat ook al & quot; prosedure om drie getalle toe te ken aan 'n ruimtelike posisie toe te laat, beteken dat u nie meer vaste stawe het waarvan die regte lengtes dieselfde is nie, dus het u geen rede meer om aan te neem dat daar enige betekenis aan die twee ente van 'n voorwerp is nie, gemeet & quotat die dieselfde tyd & quot, met 'n spesifieke verskil in hul stelle van 3 ruimtelike getalle. Met ander woorde, u toewysings van getalle het geen fisiese betekenis meer nie, en die term & verwysingsraamwerk & quot soos u dit gebruik, is nie meer 'n nuttige manier om dit te beskryf nie & koördinaatkaart & quot is beter.


Geosentrisme teen traagheidsraamwerke

Enigiemand wat met 'n vliegtuig gevlieg het, weet dat sodra die vliegtuig meestal sy kruissnelheid (ongeveer konstant) en sy hoogte bereik het, jy meestal in die kajuit kan loop soos op die grond. Jou beenspiere oefen krag uit op dieselfde manier asof jy op die grond loop. U hoef niks spesiaals te doen om rekening te hou met die feit dat u 600+ myl per uur relatief tot die aarde beweeg nie. As die vliegtuig versnel, die hoogte of snelheid verander, hetsy deur onstuimigheid of opset, moet u meer moeite doen, maar versnelde rame is 'n onderwerp vir 'n ander keer.

Net so weet enige kind dat as die motor (of bussie) met 'n konstante snelheid op 'n reguit en gelyk snelweg ry, jy jou bal van jou skoot af kan gooi, en dit sal terugval na jou skoot, net soos wanneer jy sit 'n stoel tuis, alhoewel die bussie waarin u is, dalk 50+ myl per uur beweeg teenoor die aarde. U kry 'n soortgelyke ervaring om met 'n trein of metro te reis.

Die rede hiervoor is dat Newton se wette dieselfde is in traagheidsverwysingsraamwerke. Traagheidsraamwerke word gedefinieer as nie-versnel, of beweeg met 'n konstante snelheid. 'N Gevolg van hierdie feit is dat Newton se wette GEEN VOORKEURSE INERTIALE RAAM ONDERSKEI NIE.

waar 'F' die toegepaste krag is, 'm' die massa is van die voorwerp waarop die krag toegepas word, en 'a' die versnelling, of snelheid van verandering van snelheid, 'v' (snelheid is die snelheid van posisieverandering). Wiskundig word hierdie geskryf met behulp van afgeleide (wikipedia) notasie:

en die versnelling is die tweede afgeleide van posisie, x, met betrekking tot tyd.

As die krag, 'F' en die massa, 'm', konstantes is, is die mees algemene oplossings vir hierdie vergelyking, vir 'n geruime tyd, t & gt0, vir snelheid, v:

waar 'A' en amp 'B' in die wiskundige sin 'arbitrêre konstantes' genoem word. In die praktyk word hierdie konstantes bepaal aan die hand van die aanvanklike toestande (wikipedia) van die stelsel wat oorweeg word. Daarbenewens is hierdie konstantes waarlik willekeurig - u kan hulle kies met enige oorsprong, of nulpunt, wat geskik is vir u probleem - die hoek van u huis, die middestad van die stad, die middelpunt van die aarde, die middelpunt van Mars , of selfs die middelpunt van die Melkweg, of die middelpunt van 'n melkweg 'n miljoen ligjare weg.

Let daarop dat die veranderlike 'B' 'n snelheid voorstel, en dat die wetgewing nie net die Newton-wette dieselfde is nie, ongeag u POSISIE in die ruimte.
Let daarop dat as F = 0, die vergelyking verminder tot die ruimtelike komponent van die Galilese transformasie (wikipedia):

Hierdie vergelyking los die probleem op in een ruimtelike dimensie, maar u kan die saak tot drie-dimensies uitbrei deur soortgelyke vergelykings vir die y- en z-rigtings, wat loodreg op die x-rigting en mekaar is, te skryf.

Implikasies vir ingenieurswese
Newton se wette en hul onveranderlike eienskappe onder koördinaat-transformasies is al meer as driehonderd jaar lank eksperimenteel getoets en het groot praktiese implikasies. Hulle word getoets met die konstruksie van waarskynlik elke meganiese toestel.

Die belangrikste van hierdie praktiese toepassings is dat ons in traagheidsraamwerke toestelle kan bou wat presies dieselfde sal werk as dit na 'n ander traagheidsraam beweeg (versnel). Ons kan 'n dwarsrobot op die aarde se oppervlak toets, dan na Mars vervoer, en die kragte wat nodig is om te beweeg, is fundamenteel dieselfde (aanpas vir die verskillende swaartekrag, grondtekstuur, ens.) - die wringkrag wat die wiele wat dit vorentoe beweeg, hoef nie in ag te neem dat die rover op 'n planeet is wat baie kilometers per sekonde beweeg ten opsigte van die aarde nie. Op dieselfde manier gee stuwers wat die gang van ruimtetuie baie vinnig in die verre sonnestelsel (wikipedia: New Horizons) aanpas, dieselfde versnellings aan die satelliet as asof dit in die aarde wentel.

As die aarde die fisiese voorkeurraamwerk het, soos geosentriste beweer, sou ons verwag dat hierdie beginsels anders sou funksioneer as hulle relatief tot die aarde beweeg, of op 'n groot afstand van die aarde af. Die feit dat hierdie toestelle volgens dieselfde fisiese wette funksioneer wat ons op die aarde ontdek het, is 'n bewys dat die aarde NIE 'n fisiese voorkeurraamwerk is nie. 'N Wetenskaplike op Mars sal presies dieselfde fisiese wette aflei as 'n wetenskaplike op aarde.

As geosentriste wil beweer dat sekere toestelle op hierdie ander afgeleë plekke werk omdat ons dit ontwerp het om so te werk, dra die stelling die implisiete aanname dat menslike tegnologie op die een of ander manier die wette van die fisika oortree. Dit is volslae onsin. Die tegnologiese vooruitgang wat die menslike samelewing die afgelope driehonderd jaar geniet, is 'n uitvloeisel van ons vermoë om daardie fisiese wette te verstaan ​​en binne hul beperkings te werk.

2 opmerkings:

Tom - As die aarde fisiese voorkeurraamwerk is, soos geosentriste beweer, sou ons verwag dat hierdie beginsels anders sou funksioneer as hulle relatief tot die aarde beweeg, of op groot afstand van die aarde af.

JM & # 8211 Dit is 'n nie-sequitur verklaring. Hoekom? Geosentriste beweer dat die aarde 'n voorkeurraamwerk is omdat dit alleen in die heelal stilstaan. Dit beteken nie dat die aarde 'n voorkeurraamwerk is in verhouding tot die swaartekrag soos u daarop aandring nie.

Tom - Die feit dat hierdie toestelle volgens dieselfde fisiese wette funksioneer wat ons op die aarde ontdek het, is 'n bewys dat die aarde NIE 'n fisiese voorkeurraamwerk is nie. 'N Wetenskaplike op Mars sal presies dieselfde fisiese wette aflei as 'n wetenskaplike op aarde.

JM & # 8211 Dieselfde fisiese wette is bloot aannames, meetkunde en wiskunde. Dieselfde aannames en wiskunde word in ander dele van die heelal gebruik, dan is dit goed. Beteken dit dat geosentrisme ongeldig is omdat 'n teorie geen voorkeurverwysingsraamwerk kan aanneem nie? Beslis nie, bloot omdat die geosentriese voorkeurverwysingsraamwerk verkies word met verwysing na die res van die heelal en nie verkies word nie met verwysing na 'n ander plaaslike verwysingsraamwerk. Dit beteken dat ons volgens geosentrisme die grootskaalse struktuur van die heelal op die aarde moet sien. Dit is presies wat ons sien met die CMB-kwadropole en seekatte en die as van die bose, wat wys dat die aarde in die middel van die heelal is. Ons sien dit ook met die grootskaalse struktuur van die sterrestelsels en ander ligbronne wat op die aarde toegespits is en in konsentriese sfere rondom die aarde geleë is. Ons sien dit ook met die werking van die maanlaser-reeks-eksperiment wat slegs bevredigend verklaar word deur 'n stilstaande aarde (relatiwiteitspesiaal pleit vir 'n vervorming in die maan-retro-reflektor wat veroorsaak dat die laser 'n driehoekige pad terug na die aarde opspoor !! ). Ek let ook op die gebrek aan maanligafwyking, wat aandui dat die aarde stilstaande is in verhouding tot die maan. Ten slotte is die versuim van Airy om die aardbeweging op te spoor ook 'n duidelike bewys vir 'n voorkeurraamwerk.

Tom neem bloot aan dat massa-aantrekkingskrag en traagheid soos omskryf in Newtonse meganika altyd oral geld, en aangesien Newtonse meganika nie 'n voorkeurraamwerk benodig nie, dan is dit 'n bewys dat die aarde nie 'n sukses op 'n ander planeet het nie. 'n voorkeur verwysingsraamwerk. Maar as ons die & # 8216m & # 8217 in die F = ma-vergelyking ondersoek, sien ons & # 8216m & # 8217 is regtig glad nie bekend as 'n oorsaak binne die Newtonse meganika nie. Dit word bloot spesiaal gepleit om 'n toweroorsaak in alle fisiese liggame te wees. Ook as ons verstaan ​​dat traagheid nie veroorsaak word deur die beweging van die liggaam nie, maar deur 'n plaaslike eter wat rondom en met die liggaam vloei, is die Newton-vergelykings bloot gemaklike vergelykings wat die werklikheid benader. As sodanig is enige spesiale eise dat so 'n model duidelik aandui dat die aarde nie 'n voorkeurverwysingsraamwerk is nie, maar om die krag van die teorie te hoog te skat en al die teenbewyse teen die geosentriese voorkeurverwysingsraamwerk te ignoreer.

Tom - As geosentriste wil beweer dat sekere toestelle op hierdie ander afgeleë plekke werk omdat ons dit ontwerp het om so te werk, hou die stelling die implisiete aanname in dat menslike tegnologie op die een of ander manier die wette van die fisika oortree.

JM & # 8211 Hierdie verklaring bevestig nie die aanvanklike eis rakende wat geosentriste beweer nie. Die verklaring is ook 'n nie-volgorde, want om te beweer dat toestelle ontwerp is sonder 'n voorkeurverwysingsraamwerk, beteken nie dat die nie-voorkeurverwysingsraamwerk-universum regtig bestaan ​​nie. Al wat dit beteken, is dat tegnologie ontwerp kan word met plaaslike, nie verkieslike verwysingsraamwerke, met behulp van 'n model wat aannames maak oor traagheid en massa-aantrekkingskrag. Die tegnologie word dan op 'n ander planeet gebruik, waar dieselfde aannames gebruik word en dit lyk asof die tegnologie goed werk. Al wat Tom dus kan aflei, is dat 'n model die werklike in 'n plaaslike verwysingsraamwerk kan benader wat goeie resultate lewer met behulp van plaaslike kragte en plaaslike massa-aantrekkingskrag.

Geosentriste kan dieselfde doen. Ons kan beweer dat die aarde die voorkeur verwysingsraamwerk is ten opsigte van die res van die heelal as gevolg van die grootskaalse struktuur van die heelal wat rondom die aarde gestruktureer is. Ons kan dan die kragte en massa van 'n voorwerp benader en Newtonse meganika in 'n plaaslike raamwerk gebruik. Dit verwyder en weerspreek nie die geo-aanspraak van die aarde as 'n stilstaande voorwerp binne die heelal nie, want die aarde kan wiskundig as 'n absolute verwysingsraamwerk en as 'n plaaslike verwysingsraamwerk gebruik word. Vir wiskundig werk die getalle dieselfde.

Tom - Dit is volkome onsin. Die tegnologiese vooruitgang wat die menslike samelewing die afgelope driehonderd jaar geniet, is 'n uitvloeisel van ons vermoë om daardie fisieke wette te verstaan ​​en binne hul beperkings te werk.

JM & # 8211 Dit is bloot 'n eis wat deur Tom gemaak word, gebaseer op 'n valse uitgangspunt. Geosentriste kan wiskundig (volgens Newton se vergelykings) die aarde gebruik as 'n voorkeur verwysingsraamwerk ten opsigte van die res van die heelal, of as 'n plaaslike verwysingsraamwerk. Wanneer ons die grootskaalse struktuur van die heelal sien en verskeie eksperimente wat demonstreer dat die aarde stilstaan, kom ons tot die gevolgtrekking dat die aarde eksperimenteel stilstaan. Ons kan ook gebruik dat Newtonse meganika 'n plaaslike raamwerk is, omdat ons weet dat swaartekrag en traagheid regtig veroorsaak word deur aartvloei en nie deur massa-aantrekking en die beweging van 'n liggaam nie.

Tog, in Toms-voorbeelde van konstante snelheid van byvoorbeeld die vlak, neem dit aan dat die liggaam op die vlak dan kan optree asof die vliegtuig stilstaan. Net soos Newtonians aanvaar dat die aarde stilstaan ​​as hulle hul tegnologie maak. Net soos geosentriste aanvaar dat die aarde stilstaan ​​soos die Newtonianers.


GEOFISIESE KOORDINATE TRANSFORMASIES

Oorspronklik gepubliseer in Kosmiese elektrodinamika, 2, 184-196, 1971. Alle regte voorbehou. Kopiereg 1971 deur D. Reidel, Uitgewersmaatskappy Dordrecht-Holland. (Ontvang 12 Januarie 1971 in hersiene vorm 26 Maart 1971)

Inhoud

Opsomming.

Inleiding

Baie verskillende koördinaatstelsels word gebruik in eksperimentele en teoretiese werk oor son-aardse verhoudings. Hierdie koördinaatstelsels word gebruik om satellietbane, grenslokasies en vektorveldmetings te vertoon. Die behoefte aan meer as een koördinaatstelsel spruit uit die feit dat verskillende fisiese prosesse dikwels beter verstaan ​​word, eksperimentele data meer georden word, of dat berekeninge makliker in een of ander van die verskillende stelsels uitgevoer kan word. Dit is dikwels nodig om van die een na die ander van hierdie stelsels te transformeer. Dit is moontlik om die transformasie van een koördinaatstelsel na 'n ander af te lei in terme van trigonometriese verwantskappe tussen hoeke wat in elke stelsel gemeet word aan die hand van die formules van sferiese trigonometrie (Slim, 1944), Die gebruik van hierdie tegniek kan egter baie moeilik wees en kan taamlik ingewikkelde verhoudings tot gevolg hê. Hierdie metode word egter soms gebruik. 'N Onlangse voorbeeld van die gebruik van hierdie tegniek om van geografiese na geomagnetiese koördinate te transformeer, kan gevind word in Mead (1970).

'N Ander tegniek is om die vereiste Euler-rotasiehoeke te vind en die gepaardgaande rotasiematrikse te konstrueer. Dan kan hierdie rotasiematrikse vermenigvuldig word om 'n enkele transformasiematriks te gee (Goldstein, 1950). Die vektormatriksformalisme is nie net aantreklik nie omdat dit 'n kort weergawe van die transformasie toelaat, maar ook omdat dit toelaat dat verskeie transformasies maklik deur matriksvermenigvuldiging uitgevoer kan word en dat die omgekeerde transformasie maklik afgelei kan word.

Die matrikse wat benodig word vir koördinaattransformasies hoef egter nie van Euler-draaihoeke afgelei te word nie. Dit is die doel van hierdie aantekening om te verduidelik hoe hierdie koördinaattransformasies afgelei kan word sonder om die vereiste Euler-draaihoeke af te lei, asook om die mees algemene koördinaatstelsels wat gebruik word op die gebied van aardse sonverhoudings te beskryf.

Besprekings oor die koördinaattransformasies vir sommige koördinaatstelsels wat in hierdie verslag behandel word, kan ook in vraestelle gevind word deur Olson (1970), en deur die Tak vir magnetiese en elektriese velde (1970) van die Goddard Space Flight Centre. Eersgenoemde artikel verskil hoofsaaklik van die notasie en die aantal behandelde stelsels van die huidige werk. Nog 'n verskil is dat die aarde se baan as sirkelvormig beskou word in die behandeling van Olson. Laasgenoemde artikel beskryf koördinaatstelsels en bied die vereiste transformasiematrikse, maar sonder afleiding. Aangesien dieselfde koördinaatstelsel in elke behandeling 'n ander naam kan ontvang, word in Tabel I die name en afkortings wat in hierdie twee vraestelle gebruik word, gelys en die huidige werk vir die stelsels wat algemeen is vir twee of meer daarvan.

TABEL I

2. Algemene opmerkings

In die definisie van 'n koördinaatstelsel kies u in die algemeen twee groothede: die rigting van een van die asse en die oriëntasie van die ander twee asse in die vlak loodreg op hierdie rigting. Laasgenoemde oriëntasie word dikwels gespesifiseer deur te vereis dat een van die twee oorblywende as loodreg op die een of ander rigting is. 'N Gelukkige kenmerk van rotasiematrikse (die matriks wat 'n vektor van een stelsel na 'n ander transformeer) is dat die omgekeerde bloot die transponeer daarvan is. Dus, as die matriks A transformeer die vektor V gemeet in stelsel a tot V gemeet in stelsel b, dan is die matriks wat V in V transformeer A. A. Dus kan ons skryf

Die eenvoudigste manier om die transformasiematriks te verkry A is om die aanwysings van die drie nuwe koördinaat-as vir stelsel b in die ou stelsel (stelsel a). As die rigting cosinus van die nuwe X-rigting uitgedruk in die ou stelsel (X, X, X) is, van die nuwe Y-rigting (Y, YY) en die nuwe Z-rigting (Z, Z, Z) , dan word die rotasiematriks gevorm deur hierdie drie vektore as rye, dws

(X X X) (V) = (V)
(JJ J) (V) = (V)
(Z Z Z) (V) = (V)
Net so is die transformasie van stelsel b na a
(X Y Z) (V) = (V)
(X Y Z) (V) = (V)
(X Y Z) (V) = (V)

Die volgende eienskappe van rotasiematrikse is nuttig vir foutkontrole. (1) Elke ry en kolom is 'n eenheidsvektor. (2) Die puntprodukte van enige twee rye of twee kolomme is nul. (3) Die kruisproduk van twee rye of kolomme is gelyk aan die derde ry of kolom of die negatiewe punt daarvan. (Ry 1 kruis ry 2 is gelyk aan ry 3 ry 2 kruis ry 1 gelyk aan ry 3).

Die geosentriese ekwatoriale traagheidstelsel (GEI) het sy X-as wat vanaf die Aarde wys na die eerste punt van die Ram (die posisie van die Son by die lente-ewening). Hierdie rigting is die kruising van die aarde se ekwatoriale vlak en die ekliptiese vlak en dus lê die X-as in albei vlakke. Die Z-as is parallel met die rotasie-as van die Aarde en Y voltooi die regterhandse ortogonale versameling (Y = Z X).

Dit is die stelsel wat algemeen gebruik word vir berekeninge in sterrekunde en satellietbane. Die hoeke van die regte hemelvaart en deklinasie word in hierdie stelsel gemeet. As (V, V ,V) is 'n vektor in GEI met grootte V, dan is die regte hemelvaart,, bruin (V / V), 0 o 180 o as V 0, 180 o 360 o as V 0. Die deklinasie,, is sin V / V, -90 o 90 o.

Die geografiese koördinaatstelsel (GEO) word so gedefinieer dat sy X-as is in die ekwatoriale vlak van die aarde, maar is vasgestel met die rotasie van die aarde sodat dit deur die Greenwich-meridiaan (0 o lengtegraad) gaan. Sy Z-as is parallel met die rotasie-as van die Aarde en sy Y-as voltooi 'n regterhandse ortogonale versameling (Y = Z X).

Hierdie stelsel word gebruik om die posisies van grondwaarnemings te bepaal en stasies uit te stuur en te ontvang. Lengtegraad en breedtegraad in hierdie stelsel word op dieselfde manier gedefinieer as regs hemelvaart en deklinasie in GEI.

Aangesien die GEO- en GEI-koördinaatstelsels hul Zas ons gemeen het, hoef ons net die posisie van die eerste punt in Ram te ken (die X-as van GEI) relatief tot die Greenwich-meridiaan om die vereiste transformasie te bepaal. As ons die hoek tussen die Greenwich-meridiaan en die eerste punt van die ram ooswaarts vanaf die eerste punt van die ram in die aarde se ewenaar laat wees 0, dan is die eerste punt van Ram by (cos, -sin, 0) in die geografiese stelsel en is die transformasie van geografies na GEI

(cos -sin 0) (V) = (V)
(sin cos 0) (V) = (V)
(0 0 1) (V) = (V)

en die omgekeerde transformasie is

(cos -sin 0) (V) = (V)
(sin cos 0) (V) = (V)
(0 0 1) (V) = (V)

Die hoek is natuurlik 'n funksie van die tyd van die dag en die tyd van die jaar, aangesien die aarde 366,25 keer per jaar om sy as in die traagheidsruimte draai, eerder as 365,25 keer. Dus, die duur van 'n dag, relatief tot die traagheidsruimte, ('n sideriese dag) is minder as 24 uur. Die hoek word Greenwich Mean Sidereal Time genoem, en kan bereken word met behulp van die formules in Bylaag 2.

3.3. GEOMAGNETIESE KOORDINATE

Die geomagnetiese koördinaatstelsel (MAG) word so gedefinieer dat sy Z-as is parallel met die magnetiese dipoolas. Die geografiese koördinate van die dipoolas vanaf die International Geomagnetic Reference Field 1965.0 (IGRF) is 11.435 o breedtegraad en 69.761 o oostelike lengtegraad (Mead, 1970). So is die Z-as is (0.06859, -0.18602, 0.98015) in geografiese koördinate. Die Y-as van hierdie stelsel is loodreg op die geografiese pole, sodat as D die dipoolposisie is en S die suidpool Y = D S. Ten slotte is die X-as voltooi 'n regterhandse ortogonale stel.

Hierdie stelsel word dikwels gebruik om die posisie van magnetiese sterrewagte te bepaal. Dit is ook 'n gerieflike stelsel om veldlynsporing uit te voer wanneer huidige stelsels, buiten die Aarde se interne veld, oorweeg word (Mead, 1970). Die magnetiese lengte word ooswaarts gemeet vanaf die X-as en magnetiese breedtegraad word gemeet vanaf die ewenaar in magnetiese meridiane, positief noordwaarts en negatief suidwaarts. Dus, as (V, V, V) 'n vektor in die MAG-stelsel met grootte is V dan is sy magnetiese lengte,,
bruin (V / V), 0 o 180 o as V 0, 180 o 360 o as V 0 o. Die magnetiese breedtegraad,, is sin V / V, -90 o 90 o.

Behalwe naby die pole, is magnetiese lengte gewoonlik ongeveer 70 o groter as geografiese lengte. Ons merk op dat 'n eenvoudige kartesiese voorstelling van die dipoolmagnetiese veld in hierdie stelsel bestaan ​​(sien Aanhangsel 1).

Hierdie stelsel is vasgestel in die roterende aarde en dus is die transformasie van die geografiese koördinaatstelsel na die geomagnetiese stelsel konstant. Uit die definisies hierbo kry ons

(0.33907, -0.91964, -0.19826) (V) = (V)
(0.93826, 0.34594, 0) (V) = (V)
(0.06859, 0.18602, 0.98015) (V) = (V)

3.4. GEOSENTRIESE EKLIPTIESE STELSEL

Die geosentriese sonsverduisteringstelsel (GSE) het sy X-as wat vanaf die aarde na die son en sy rigting wys Y-as word gekies om in die ekliptiese vlak te wees wat in die rigting van die skemer wys (dus teen die planeetbeweging). Sy Z-as is parallel met die ekliptiese pool. Ten opsigte van 'n traagheidstelsel, wissel hierdie stelsel jaarliks.

Hierdie stelsel is gebruik om satellietbane, interplanetêre magnetiese veldwaarnemings en sonsnelheidsdata te vertoon. Die stelsel is nuttig vir laasgenoemde weergawe, aangesien die afwyking van die sonwind maklik in hierdie stelsel verwyder kan word omdat die snelheid van die aarde ongeveer 30 km / s in die minus is Y rigting. Aangesien die enigste belangrike effek van die aarde se wentelbeweging in aardse verhoudings op die son is om die afwyking te veroorsaak, is daar ook ander keuse van die oriëntasie van die Y en Z-as oor die X-as is gebruik. Dit sal later bespreek word.

Lengte, soos met die geografiese stelsel, word gemeet in die X-Y vliegtuig vanaf die X-as in die rigting van die Y-as en breedtegraad is die hoek buite die X-Y vlak, positief vir positief Z komponente.

Die algemeenste vereiste transformasie in die GSE-stelsel van die wat tot dusver bespreek is, is van die GEI-stelsel. Die rigting van die ekliptiese pool (0, -0,398, 0,917) is konstant in die GEI-stelsel. Die X-as, die rigting van die son, kan in GEI verkry word uit die vergelykings in Aanhangsel 2. As hierdie rigting (S, S, S) is, dan is die Y-as in GEI (Y, Y, Y) is

en die transformasie is

(S S S) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(0 -0,398 0,917) (V) = (V)

3.5. GEOSENTRIESE SOLAR EKVATORIËLE STELSEL

Die geosentriese sonekwatoriale stelsel (GSEQ) soos met die GSE-stelsel het sy X-as wat vanaf die aarde na die son wys. In plaas daarvan om sy Y-as in die ekliptiese vlak, die GSEQ Y-as is parallel met die ekwatoriale vlak van die Son wat geneig is tot die ekliptika. Ons merk op dat sedert die X-as is in die ekliptiese vlak en is dus nie noodwendig in die ekwatoriale vlak van die Son nie, die Z-as van hierdie stelsel sal nie noodwendig parallel met die rotasie-as van die son wees nie. Die rotasie-as van die Son moet egter in die X-Z vliegtuig. Die Z-as word gekies om in dieselfde sin as die ekliptiese pool te wees, dit wil sê noordwaarts.

Hierdie stelsel is op groot skaal gebruik om interplanetêre magnetiese velddata deur die Ames-magnetometergroep te vertoon (Colburn, 1969). Ons let op dat hierdie stelsel nuttig is om data wat deur die son beheer word te bestel en dus 'n verbetering is ten opsigte van die gebruik van die GSE-stelsel vir die bestudering van die interplanetêre magnetiese veld en die sonwind. Vir die bestudering van die interaksie van die interplanetêre medium met die aarde is 'n derde stelsel egter meer relevant.

Die rotasie-as van die son, R, het 'n regs-opgang van -74,0 o en 'n deklinasie van 63,8 o. Dus is R (0.122, -0.424, 0.899) in GEI. Om van GEI na GSEQ te transformeer, moet ons die posisie van die son (S, S, S) in GEI ken (sien Aanhangsel 2). Dan die Y-as in GEI (Y, Y, Y) is parallel met R S. Let op dat die kruisproduk van twee eenheidsvektore nie 'n eenheidsvektor is nie, tensy dit loodreg op mekaar staan, moet hierdie kruisproduk genormaliseer word. Uiteindelik is die Z-as in GEI (Z, Z, Z) = S Y. Dan

(S S S) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(Z Z Z) (V) = (V)

Aangesien beide GSE- en GSEQ-koördinaatstelsels hul X-as gerig op die son, dit verskil slegs deur 'n draai rondom die X-as. Die transformasiematriks van GSE na GSEQ moet dus van die vorm wees

(1 0 0) (V) = (V)
(0 cos -sin) (V) = (V)
(0 sin cos) (V) = (V)

As die transformasies van GEI na GSE en GEI na GSEQ albei bekend is, kan die hoek bepaal word deur die hoek tussen die Y-as in die twee stelsels of die Z- asse (dws die hoek tussen die vektore wat gevorm word deur die tweede ry van elke matriks of die derde ry). As hierdie transformasiematrikse nie beskikbaar is nie, kan die volgende formule bereken word

Sin = S. (0,031, -0,112, -0,049) / | (0,122, -0,424, 0,899) | S

waar S die posisie van die Son in GEI is en bereken kan word uit die formules in Aanhangsel 2. Aangesien die Son se draai-as 7,25 o na die ekliptika skuins, wissel dit van -7,25 o (op ongeveer 5 Desember) tot 7,25 o ( op 5 Junie) elke jaar. Die son se draai-as is op ongeveer 5 September die meeste op die aarde gerig, en dan bereik die aarde sy mees noordelike heliografiese breedtegraad. Op hierdie tydstip is dit gelyk aan 0.

3.6. GEOSENTRIESE SOLAR MAGNETOSFERIESE STELSEL

Die geosentriese magnetiese sferiese stelsel (GSM), soos met die GSE- en GSEQ-stelsels, het sy X-as vanaf die aarde na die son. Die Y-as word gedefinieer as loodreg op die Aarde se magnetiese dipool sodat die X-Z vlak bevat die dipool-as. Die positiewe Zas gekies word om dieselfde as die noordelike magnetiese pool te hê. Die verskil tussen die GSM-stelsel en die GSE en GSEQ is bloot 'n rotasie oor die X-as.

Hierdie stelsel is nuttig vir die vertoon van magnetopouse en skokgrensposisies, magnetosheath en magnetotail magnetiese velde en magnetosheath sonwindsnelhede omdat die oriëntasie van die magnetiese dipoolas die andersins silindriese simmetrie van die sonwindstroom verander. Dit word ook gebruik in modelle van magnetopouse-strome (Olson, 1969). Dit verminder die driedimensionele beweging van die aarde se dipool in GEI, GSE, ens. Tot beweging in 'n vlak (die X-Z vliegtuig). Die hoek van die noordmagnetiese pool met die GSM Z-as word die dipool kantelhoek genoem en is positief as die noordelike magnetiese pool na die son gekantel word. Benewens 'n jaarlikse periode vanweë die beweging van die aarde rondom die son, skommel hierdie koördinaatstelsel met 'n 24 uur-periode om die sonrigting. Ons merk op dat sedert die Y-as is loodreg op die dipoolas, die Y-as is altyd in die magnetiese ewenaar en aangesien dit loodreg op die aarde-sonlyn is, is dit in die meridiaan van die dagbreek-skemer (wys na die skemer). GSM-lengte word gemeet in die X-Y vliegtuig vanaf X in die rigting van Y en breedtegraad is die hoek noordwaarts van die X-Y vliegtuig. Soms word 'n ander stel sferiese poolhoeke gebruik. Hier is die hoek, tussen die vektor en die X-as, genaamd die son-aarde sondehoek (SEP) of die son-aarde-satelliethoek (SES) is die poolhoek en die hoek van die geprojekteerde vektor in die Y-Z vlak is die azimutale hoek. Dit word gemeet aan die positiewe Y-as in die rigting van die positiewe Z-as.

Om van GEI na GSM te transformeer, moet ons beide die posisie van die son in GEI en die posisie van die aarde se dipoolas ken. Die posisie van die Sun S (S, S, S) kan verkry word uit Aanhangsel 2. Die posisie van die dipool D moet verkry word deur van geografiese koördinate te transformeer (sien Afdeling 2). In geografiese koördinate is die dipool op 11.435 o breedtegraad en 69.761 o oos lengte (IGRF-tydperk 1965.0). Dus is D in geografiese koördinate (0,06859 -0,18602,0,98015). As D 'in GEI getransformeer word, word die Y-as is

Ons let op dat die normaliserende faktor voorkom omdat D 'en S nie noodwendig loodreg is nie. Ten slotte is Z S Y en word die transformasie

(S S S) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(Z Z Z) (V) = (V)

Die transformasiematriks tussen GSM en GSE of GSEQ is van die vorm

(1 0 0 )
(0 cos -sin)
(0 sin cos)

Aangesien dit egter verander met die tyd van die dag en die tyd van die jaar, is dit nie afgelei van 'n eenvoudige vergelyking nie. As die transformasiematriks van GEI na GSE, A en van GEI na GSM, A egter albei bekend is, dan is die transformasie van GSM na GSE eenvoudig A, A waar A die transponering van A. is. 'N Analoge formule geld vir die transformasie. van GSM tot GSEQ. Ons let op dat die amplitude van die dagvariasie van 11,4 o is, wat bygetel word by 'n jaarlikse variasie van 23,5 o.

3.7. SOLMAGNETIESE KOORDINATE

In sonmagnetiese koördinate (SM) word die Z-as word gekies parallel met die noordelike magnetiese pool en die Y-as loodreg op die Aarde-Son-lyn na skemer. Die verskil tussen hierdie stelsel en die GSM-stelsel is 'n rotasie rondom die Y-as. Die hoeveelheid rotasie is bloot die hoek van die dipool soos in die vorige afdeling omskryf. Ons merk op dat in hierdie stelsel die X-as wys nie direk na die son nie. Soos met die GSM-stelsel, draai die SM-stelsel jaarliks ​​sowel as daagliks met betrekking tot traagheidskoördinate.

The solar magnetic system is useful for ordering data controlled more strongly by the Earth's dipole field than by the solar wind. It has been used for magnetopause cross sections and magnetospheric magnetic fields. We note that since the dipole axis and the Z-axis of this system are parallel the cartesian components of the dipole magnetic field are particularly simple in this system (see Appendix 1).

As for GSM, the transformation from GEI to SM requires a knowledge of the Earth Sun direction S, and the dipole direction D in GEI. Having obtained these as in Section 3.6, we find Y=(D S)/ ( D S ) and X=Y D. Then the transformation becomes

(X X X ) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(D D D) (V) = (V)

The transformation from GSM to SM is simply a rotation about the Y-axis by the dipole tilt angle . Thus

(cos 0 -sin ) (V) = (V)
( 0 1 0 ) (V) = (V)
(sin 0 cos ) (V ) = (V)

3.8. DIPOLE MERIDIAN SYSTEM

As with the solar magnetic system, the Z-axis of the dipole meridian system (DM) is chosen along the north magnetic dipole axis. Die Y-axis is chosen to be perpendicular to a radius vector to the point of observation rather than the Sun. The positive Y direction is chosen to be eastwards, so that the X-axis is directed outwards from the dipole. This is a local coordinate system, in that it varies with position, however, since the X-Z plane contains the dipole magnetic field it is quite useful.

It is used to order data controlled by the dipole magnetic field where the influence of the solar wind interaction with the magnetosphere is weak. It has been used extensively to describe the distortions of the magnetospheric field in terms of the two angles declination and inclination which can be easily derived from measurements in this system (Mead and Cahill, 1967). The inclination, Ek, is simply the angle that the field makes with the radius vector minus 90. Thus, if R is the unit vector from the center of the Earth to the point of observation in the DM system (we note that in this system Ry=0), and b is the direction of the magnetic field in the DM system, then Ek= cos (R b +R b) -90 o . The declination, D, is measured about the radius vector with D=0 in the X-Z plane and positive D angles for positive b. Thus D=tan [b/(R b+R b)], 0 o D 180 o for 0 b 1 and 0 o D 180 o for 0 b -1. As in the SM system, the cartesian components of the dipole field can be expressed very simply in this system. In particular, B = 0 by definition.

To transform from any system to the dipole meridian system we must know the dipole axis, D, in this system, and the unit position vector of the point of observation relative to the center of the Earth. Sedert Y is perpendicular to R en D then Y = (D R)/( D R ) and X=D Y. Thus

(X X X ) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(D D D) (V ) = (V)

We note that this transformation usually is particularly straight forward from geographic coordinates because the geographic latitude and longitude of a point of observation is often known and the dipole is fixed in geographic coordinates. From geomagnetic coordinates it is simple rotation about the Z-axis by the magnetic longitude. From solar magnetic co-ordinates, it is a rotation about the Z-axis by the angle between the projections of the Sun and the local radius vector in the magnetic equator.

3.9. ATS-1 COORDINATE SYSTEMS

Two coordinate systems have been used extensively in the analysis of the magnetometer data from the ATS-1 satellite which differ slightly from previously described coordinate systems. The ATS XYZ system is the coordinate system in which the ATS magnetometer data are originally obtained. Die Z-axis is parallel to the Earth's rotation axis. Thus, it is parallel to the Z-axis of the geographic, and GEI systems. Die Y-axis is chosen perpendicular to the Earth-Sun line towards dusk. Die X-axis completes a right handed orthogonal set. Thus the X-Y plane is the Earth's rotational equator with X in the noon meridian.

The other ATS coordinate system is ATS VDH. In this system H is chosen parallel to the Earth's spin axis. V is the local vertical. Since ATS-1 is in the Earth's equatorial plane, V is perpendicular to H. Finally, D, completes the right-handed set (D = H V) and is azimuthal, eastwards in the equatorial plane. The transformation between the ATS XYZ and ATS VDH systems is

( cos sin 0) (B) = (B)
(-sin cos 0) (B) = (B)
( 0 0 1) (B) = (B)

3.10 OTHER COORDINATE SYSTEMS

All the coordinate systems described so far have been geocentric and, with the exception of the dipole meridian system and the ATS VDH system, have been independent of the position of the point of observation. When considering measurements far from the Earth, it is often useful to choose coordinate systems which are dependent on the position of the observation point rather than the position of the Earth. For example, Coleman et al. (1969) use a system analogous to the GSEQ system but with the Mariner 4 - Sun line as the X-axis. We note, however, they have chosen their three axes anti-parallel to the axes of the analogous GSEQ system and thus their right-handed triad of coordinates is a noncyclic permutation of these three antiparallel vectors. For studying solar-planetary interactions, the required modifications to alter the transformations given in the previous sections to those relevant to the problem being considered should be obvious.

However, there is another class of cartesian coordinate systems that can be used: those based on a local measurement. For example, one may wish to define a coordinate system in which the solar wind flow is parallel to one of the coordinate axes. This could be done in coordinate systems such as GSE, GSEQ and GSM by replacing the position of the Sun by the vector antiparallel to the observed solar wind flow. The second condition for choosing the coordinate system would be that the Y-axis is perpendicular to the solar wind and the ecliptic pole (for GSE) and the Sun's rotation axis (for GSEQ) and the Earth's dipole (for GSM). However, we note that in GSE, the Z-axis will no longer necessarily be parallel to the ecliptic pole since the solar wind flow need not be in the ecliptic plane.

Another way of choosing the system is to choose one axis along the measured magnetic field. As before, we are now left with the choice of the orientation of the other two axes about this one. In the solar wind it is often useful to choose one of these two axes perpendicular to the plane defined by the magnetic field and the solar wind flow velocity. In the magnetosphere, it is convenient to choose one of these two axes to be perpendicular to a dipole magnetic meridian.

Finally, since it is much easier to visualize data and spacecraft trajectories in two dimensions rather than three, mention should be made of a two dimensional coordinate system in common use. Since the solar wind, neglecting the magnetic field is approximately cylindrically symmetric about the radial direction from the Sun, if it interacts with a figure of revolution about the Earth-Sun line such as a planet, the interaction should be the same in every plane containing the planet-Sun line. In other words, while the interaction may be a function of radial distance and the angle away from the planet-Sun line (SES or SEP angle in the case of the Earth), it is not a function of the azimuthal angle around the planet Sun line. The Earth's magnetosphere is not cylindrically symmetric about the solar wind flow. However, in the dawn-dusk plane the calculated magnetopause position should deviate less than about 20% from cylindrical (Olson, 1969). Thus, it is not unreasonable at times to assume cylindrical symmetry for the interaction.

This coordinate system may be thought of in several ways. (1) It is a cylindrical coordinate system with the variables r, , X waar r is the distance from the axis of the cylinder, X is the distance along the axis, and is the angle around the axis. In plotting a spacecraft trajectory in this system, we would plot r vs X. (2) It is a polar coordinate system where we plot the magnitude of the vector versus the angle between the vector and the planet-Sun line. (3) It is a two dimensional cartesian coordinate system where we plot the component along the planet-Sun line versus the square root of the sum of the squares of the other two components. This system has been used to describe the trajectory of spacecraft near encounters with other planets and to plot the positions of magnetopause and bow shock crossings by Earth orbiting spacecraft.

Appendix 1. The Cartesian Representation of a Dipole Magnetic Field

The usual representation of a dipole magnetic field is one which separates the field into a radial and tangential component. This gives the magnetic field in a local two dimensional coordinate system. However, a very simple representation of the field exists in a cartesian coordinate system also (Alfven and Falthammar, 1963). If (X, Y, Z) is the location of the point of observation in solar magnetic coordinates, the field due to the Earth's dipole is

B = 3XZ (B/R)
B = 3YZ (B/R)
B = (3Z - R) (B/R)

where R = X + Y +Z and B is the magnetic moment of the Earth. B is numerically equal to the field at the equator on the surface of the Earth if distances are measured in Earth radii.

We note that the same formula is valid for any coordinate system which is a rotation about the dipole from the solar magnetic coordinate system. In particular, it is valid for the dipole meridian system in which case B =0. With the knowledge of the dipole tilt angle the above representation also allows a simple derivation of the dipole field in GSM coordinates (cf. Section 7).

Appendix 2. The Calculation of the Position of the Sun

G.D. Mead (private communication) has written a simple subroutine to calculate the position of the Sun in GEI coordinates. It is accurate for years 1901 through 2099, to within 0.006 deg. The input is the year, day of year and seconds of the day in UT. The output is Greenwich Mean Sideral Time in degrees, the ecliptic longitude, apparent right ascension and declination of the Sun in degrees. The listing of this program follows. We note that the cartesian coordinates of the vector from the Earth to the Sun are:

Acknowledgements

I am indebted to G. D. Mead for allowing the inclusion of his subroutine for the determination of the position of the Sun. I also wish to acknowledge many useful discussions of coordinate transformations with P. J. Coleman, Jr., D. S. Colburn, M. G. McLeod, G. D. Mead, W. P. Olson and R. L. Rosenberg. This work was carried out in support of the data reduction program of the UCLA OGO5 flux gate magnetometer and was supported by the National Aeronautics and Space Administration under NASA contract NAS 59098.

References

Colburn, D. S.: 1969, 'Description of Ames Magnetometer Data from Explorer 33 and 35 Deposited in the Data Bank', NASA/Ames Research Center Report.

Coleman, P. J., Jr., Smith, E. J., Davis, L., Jr., and Jones, D. E.: 1969, J. Geophys. Res. 74 (11), 26.

Goldstein, H.: 1950, Classical Mechanics, Addison Wesley Publ. Co., Inc., Reading Massachusetts.

Magnetic and Electric Fields Branch: 1970, `Coordinate Transformations Used in OGO Satellite Data Analysis', Goddard Space Flight Center Report, X-645-70-29.

Mead, G. D.: 1970, J. Geophys. Res. 75, 4372.

Mead, G. D. and Cahill, L. J.: 1967, J. Geophys. Res., 72 (11), 2737.

Olson, W. P.: 1969, J. Geophys. Res. 74 (24), 5642.

Olson, W. P.: 1970, `Coordinate Transformations Used in Magnetospheric Physics', McDonnell Douglas Astronautics Company Paper WD1145.

Smart, W. M.: 1944, Text-Book on Spherical Astronomy, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge.


Datum maintenance of the main Egyptian geodetic control networks by utilizing Precise Point Positioning “PPP” technique

A geodetic control network is the wire-frame or the skeleton on which continuous and consistent mapping, Geographic Information Systems (GIS), and surveys are based. Traditionally, geodetic control points are established as permanent physical monuments placed in the ground and precisely marked, located, and documented. With the development of satellite surveying methods and their availability and high degree of accuracy, a geodetic control network could be established by using GNSS and referred to an international terrestrial reference frame used as a three-dimensional geocentric reference system for a country. Based on this concept, in 1992, the Egypt Survey Authority (ESA) established two networks, namely High Accuracy Reference Network (HARN) and the National Agricultural Cadastral Network (NACN). To transfer the International Terrestrial Reference Frame to the HARN, the HARN was connected with four IGS stations. The processing results were 1:10,000,000 (Order A) for HARN and 1:1,000,000 (Order B) for NACN relative network accuracy standard between stations defined in ITRF1994 Epoch1996. Since 1996, ESA did not perform any updating or maintaining works for these networks.

To see how non-performing maintenance degrading the values of the HARN and NACN, the available HARN and NACN stations in the Nile Delta were observed. The Processing of the tested part was done by CSRS-PPP Service based on utilizing Precise Point Positioning “PPP” and Trimble Business Center “TBC”. The study shows the feasibility of Precise Point Positioning in updating the absolute positioning of the HARN network and its role in updating the reference frame (ITRF). The study also confirmed the necessity of the absent role of datum maintenance of Egypt networks.


Altamimi Z, Sillard P, Boucher C (2002) ITRF2000: a new release of the International Terrestrial Reference Frame for earth science applications. J Geophys Res 107(B10):ETG2/1–19

Beavan J, Tregoning P, Bevis M, Kato T, Meertens C (2002) The motion of the Pacific plate and implications for plate boundary deformation. J. Geophys Res 107(B10):ETG19/1–15

Boucher C, Altamimi Z (2000) Transformation parameters and their rates from ITRF 2000 to previous frames (ftp://lareg.ensg.ign.fr/pub/itrf/ITRF.TP)

Boucher C, Altamimi Z (2001) Memo: specifications for reference frame fixing in the analysis of a EUREF GPS campaign (fttp://lareg.ensg.ign.fr/EUREF/memo.pdf)

Boucher C, Altamimi Z, Sillard P (1999) The 1997 International Terrestrial Reference Frame (ITRF97). IERS Tech Note 27, Central Bureau IERS, Observatoire de Paris, Paris

Craymer M, Ferland R, Snay RA (2000) Realization and unification of NAD 83 in Canada and the U.S. via the ITRF. In: Rumel R, Drewes H, Bosch W, Hornik H (eds) Towards an Integrated Global Geodetic Observing System (IGGOS). IAG Sect II Symp, 5–9 October 1998, Munich. International Association of Geodesy Symposia, vol 120. Springer, Berlin Heidelberg New York, pp 118–121

Featherstone WE (1996) An updated explanation of the Geocentric Datum of Australia (GDA) and its effects upon future mapping. Aust Surv 41:121–130

Hernández-Navarro A (1992) La Red Nacional Activa de México. Rev Cartogr 61:141–148

Kaula WM (1966) Theory of satellite geodesy. Blaisdell, Waltham, MA

McCarthy D (ed) (1996) IERS Technical Note 21. Observatoire de Paris, Paris

Mueller II (1969) Spherical and practical astronomy as applied to geodesy. Ungar, New York

Schwarz CR (ed) (1989) North American Datum of 1983. NOAA Prof Pap no 2, US Dept Commerce, Natl Oceanic Atmos Admin

Sella GF, Dixon TH, Mao A (2002) REVEL: a model for recent plate velocities from space geodesy. J Geophys Res 107(B4):ETG11/1–29

Sillard P, Altamimi Z, Boucher C (1998) The ITRF96 realization and its associated velocity field. Geophys Res Lett 25:3223–3226

Snay RA (1999) Using the HTDP software to transform spatial coordinates across time and between reference frames. Surv Land Information Syst 59:15–25

Snay RA, Adams G, Chin M, Frakes S, Soler T, Weston ND (2002) The synergistic CORS program continues to evolve. In: Proc ION GPS 2002, 24–27 September, Portland, OR, pp 2630–2639

Soler T (1998) A compendium of transformation formulas useful in GPS work. J Geodesy 72:482–490

Soler T, Marshall J (2002) Rigorous transformation of variance-covariance matrices of GPS-derived coordinates and velocities. GPS Solut 6:76–90

Soler T, Snay RA (2003) Transforming positions and velocities between ITRF00 and NAD 83. J Surv Eng (in press)

Steed J, Lutton G (2000) WGS84 and the geodetic datum of Australia. In: Proc ION GPS 2000, 19–22 September, Salt Lake City, UT, pp 432–437


How Special Relativity Works

You are now familiar with the major players in the universe: space, time, matter, motion, mass, gravity, energy and light. The neat thing about Special Relativity is that many of the simple properties discussed in section 1 behave in very unexpected ways in certain specific "relativistic" situations. The key to understanding special relativity is understanding the effects that relativity has on each property.

Frames of Reference

Einstein's special theory of relativity is based on the idea of reference frames. A reference frame is simply "where a person (or other observer) happens to be standing". You, at this moment, are probably sitting at your computer. That is your current reference frame. You feel like you are stationary, even though you know the earth is revolving on its axis and orbiting around the sun. Here is an important fact about reference frames: There is no such thing as an absolute frame of reference in our universe. By saying absoluut, what is actually meant is that there is no place in the universe that is completely stationary. This statement says that since everything is moving, all motion is relative. Think about it - the earth itself is moving, so even though you are standing still, you are in motion. You are moving through both space and time at all times. Because there is no place or object in the universe that is stationary, there is no single place or object on which to base all other motion. Therefore, if John runs toward Hunter, it could be correctly viewed two ways. From Hunter's perspective, John is moving towards Hunter. From John's perspective, Hunter is moving towards John. Both John and Hunter have the right to observe the action from their respective frames of reference. All motion is relative to your frame of reference. Another example: If you throw a ball, the ball has the right to view itself as being at rest relative to you. The ball can view you as moving away from it, even though you view the ball as moving away from you. Keep in mind that even though you are not moving with respect to the earth's surface, you are moving with the earth.

We'll look at the first postulate of special relativity in the next section.

The Lorentz Transformations are mathematical equations that allow us to transform from one coordinate system to another. Why would we want to do this? Because special relativity deals with frames of reference. When you analyze properties from one frame to another, it is necessary to first transform from one coordinate system to another. Thus, we can utilize the Lorentz Transforms to convert length and time from one frame of reference to another. For example, if you are flying in an airplane and I am standing still on the ground, you could apply the transformations to transform my frame of reference into your frame of reference and I could do the same for you in my frame of reference. The previous statements imply that lengths and times are not the same for objects that are in motion with respect to each other. As unbelievable as this may seem, it is a result of SR. Einstein utilized the transformations because they provide a method of translating the properties from one frame of reference to another when the speed of light is held constant in both.


Coordinate transformations between reference frames in spherical astronomy - Astronomy

We have the intuitive relationships

This set of equations is known as the Galilean Transformation. They enable us to relate a measurement in one inertial reference frame to another. For example, suppose we measure the velocity of a vehicle moving in the in -direction in system S, and we want to know what would be the velocity of the vehicle in S'.

This is the result our intuition is familiar with.

We have stated the we would like the laws of physics to be the same in all inertial reference frames, as this is indeed our experience of nature. Physically, we should be able to perform the same experiments in different reference frames, and find always the same physical laws. Mathematically, these laws are expressed by equations. So, we should be able to ``transform'' our equations from one inertial reference frame to the other inertial reference frame, and always find the same answer.

Suppose we wanted to check that Newton's Second Law is the same in two different reference frames. (We know from experiment that this is the case.) We put one observer in the un-primed frame, and the other in the primed frame, moving with velocity relative to the un-primed frame. Consider the vehicle of the previous case undergoing a constant acceleration in the -direction,

Indeed, it does not matter which inertial frame we observe from, we recover the same Second Law of Motion each time. In the parlance of physics, we say the Second Law of Motion is invariant under the Galilean Transformation.

Exercise 1.3
In the tutorial, you show that the Law of Momentum Conservation holds regardless of the inertial frame a given collision is viewed in. This is done by specialising to a collision where all velocities are in the -direction. How would you do this for a more general collision ?

We have Classical Mechanics, a beautiful theory, as it has an elegant independence of how you observe it. There is a sense of poetry in how ugly terms, arising from observation in a different frame, eventually drop away, until we are left with physical laws which are invariant under the Galilean Transformation.
But . as time passes, it becomes clear we are in a fools paradise !
The first problem .
Experiments on electric and magnetic fields, as well as induction of one type of field from changes in the other, lead to the collection of a set of equations, describing all these phenomena, known as Maxwell's Equations. You are already familiar with them. In vacuum they are

Now, these equations are considered to be rock solid, arising from and verified by many experiments. Amazingly, they imply the existence of a previously not guessed at phenomenon. This is the electromagnetic wave. Every electrical engineer, following Marconi, must appreciate this !

To see this in detail, take the time derivative of the second last equation and the curl of the last.

Now note that space and time derivatives commute

The second term of the above equation drops out due to the vanishing of the divergence of the electric field (the second of Maxwell's Equations). So, we finally have the three dimensional wave equation


Weeks 5&6 (2/10-17) Coordinate Rotation

One can recast all the formalism of spherical trigonometry into a more general method for treating the problem of coordinate transformation. As an example, consider a simple rotation of the 2-D rectangular coordinate system. Some point P in the original (x,y) plane has some new coordinate designation in the (x',y') plane. As all we've done is a simple rotation by some angle theta, we could represent this with the equations from spherical trigonometry as follows:

Or we could express the same thing in matrix notation:

Matrix Arithmatic

A matrix A is composed of some number n of rows and some number m of columns. The individual entries are a_ij. If one has two matricies of the same dimensionality, one can add them as follows:

If one has two matricies of commensurate dimensionality, one can multiply them together. In the example below, I show the result for two (3,3) matricies:

Some other general points to realize: If A is (n,m) and B is (n,p), then C = A B will be (n,p). Also, while A(BC) = (AB)C, AB is NOT generally equal to BA.

Rotation Matricies

The problem discussed at the beginning of class is really a 3-D problem in any useful astronomical context. The rotation is about the z-axis is that case. Thus we can express the situation in terms of a rotation matrix as follows:

One can generate analogous matricies R_1, R_2 for rotations about the x- and y-axes as well. Note that these are counter-clockwise rotations when looking "down" the rotation axis, and are positive rotations by definition. Note also that the square of the sum along any row or column is equal to one. That is, a rotation matrix neither stretches nor compresses.

  • Begin with the x-axis.
  • Rotate the positive x-axis by 90 degrees to generate the y-axis.
  • Rotate the positive y-axis by 90 degrees to generate the z-axis.

Now consider how one would generate a left-handed coordinate system.

Here's another useful matrix tool. The Reflection Matrix (y-axis case):

The x- and z-axis versions should be obvious.

And another regtig useful one. The Transpose Matrix. As R is a matrix and X, X' are a pair of vectors, then

Waar Ek is the Identity Matrix.

A final general nugget about rotation matricies:

Coordinate Transformation by Rotation

Step 1: Convert from spherical to rectangular coordinates:

  • The z-axis is perpendicular to the defining plane of the coordinate system, and increases toward the principle (generally north) pole.
  • The x-axis is positive toward the reference point of the defining plane. For example, the Vernal Equinox in the Equatorial system.
  • The y-axis is generated by a 90 degree rotation of the x-axis about the z-axis.

Step 2: Derive the needed rotation matrix. In general, this will be some weighted combination of R1, R2, R3. For this example, we will make a particularly easy choice: The tranformation from Equatorial to Ecliptic coordinates.

This has two features that simplify things for us. First, both coordinate systems are right-handed. Second, they have the same x-axis (because the vernal equinox is the fundamental reference point in both the plane of the celestial equator and the plane of the ecliptic). So, given the obliquity of the ecliptic, we can write our rotation matrix as follows:

Step 3: Apply the rotation matrix to determine the rectangular coordinates in the new frame. Note that, if there is a handedness change, one must also include the inversion matrix in this step:

Step 4: Now go back to spherical coordintes in the new frame:

Some Detailed Examples

Horizon to Hour Angle

What we need to do is outlined graphically here. Both systems are left-handed, so we're fine on that score. But we need to rotate the XY plane by 180 degrees about the Z axis because the horizon system zeros at the north point, but the HA system zeros at the south point.

We also need to rotate about the y-axis in order to have the X'Y' plane be the Celestial Equator. Here it is in it's full ugly glory:

Hour Angle to Equatorial

This one requires a handedness inversion. But the X axis point doesn't change (it's the Vernal Equinoz point in both systems). The other rotation is about the Z axis to account for the hour-angle to RA conversion:

Just the first few steps this time:

Equatorial to Ecliptic

We used this as a talking point last time. The only thing we need to do is rotate the coordinate system by the obliquity of the ecliptic. The rotation matrix is given above. You can add the vectors yourself.

Equatorial to Galactic

The gloves are off here. There are no common points between these systems (although they are both right-handed). This means we need to do three seperate coordinate rotations. First we need to rotate about the initial Z axis to bring the X axis from the Vernal Equinox point to the intersection point between the Celestial Equator and the Galactic Plane (also called the line of nodes) that is nearest to the Galactic Center (a rotation of 282.25 degrees). Then we need to rotate about our intermediate X axis to bring the Z axis from the NCP to the NGP (a rotation of 62.2 degrees). Finally, we need a rotation about our new Z' axis of -33 degrees to take our X' axis from the CE/GP intersection point to the position of the Galactic Center.

If you think about all that for a bit, that means we have the following matrix transformation equation:

From here one would expand out the rotation matrices and bang away through the algebra. I won't bother doing that here.


Kyk die video: Local Parameters Gauss Krüger WGS Parametri transformacije Gaus Kriger WGS 7 parametara (Februarie 2023).