We are searching data for your request:
Upon completion, a link will appear to access the found materials.
In die konteks van die voorspelling vir groot opnames, moet ek kruiskorrelasies maak tussen 2D (met hoekkoordinate van Lagrange-transformasie vir GC-fotometriese en swak lensopname) en 3D (Fourier-transformasie met radiale koördinate vir GC-spektroskopies).
Op die oomblik word slegs kruiskorrelasie vir 2D bereik (GCph + WL + XC), of wat ons 3x2 punte noem (met XC wat die kruiskorrelasies voorstel).
'N Fisher-matrikselement vir 3x2pt word byvoorbeeld uitgedruk as:
waar $ epsilon $ wissel van G (Melkweg), L (Swak lens) en GL (Melkweg, Swak lens)
Kan iemand my vertel of skakels gee oor die volledige kruiskorrelasies tussen 2D en 3D, dit wil sê GCsp + GCph + WL + XC (4x2 punte) in die litterature?
Behalwe 'n ingewikkelde teoretiese formule, verkies ek om meer te wete te kom oor die stand van sake.
Ek bedoel, ek wil graag weet wat reeds gedoen is in hierdie poging tot kruis-korrelasie 2D + 3D.
Een het my vertel dat daar Bessel-Fourier-werke of soortgelyke dinge was, maar ek wil graag meer inligting hieroor hê.
Enige hulp is welkom
Kruiskorrelasies: watter grootte moet u vir die matriks kies?
Ek werk aan Fisher se formalisme om beperkings op kosmologiese parameters te kry.
Ek probeer kruiskorrelasie tussen twee soorte sterrestelselpopulasies (LRG / ELG) uit te voer in 'n totale versameling van 3 soorte bevolking (BGS, LRG, ELG).
Van die volgende artikel https://arxiv.org/pdf/0909.4544.pdf bladsy 14 is die volgende vergelyking (63):
Soos u kan sien, is daar in eq (63) 'n som op elke paar bevolkingstipes. In my geval het ek drie populasies (BGS / LRG / ELG), dus die term ## C ^ <-1> _ ## 0 quad LRG quad LRG / ELG quad LRG / LRGxELG ## ## 0 quad LRG / ELG quad ELG quad ELG / LRGxELG ## Maar as ek eq (64), eq (65) neem en dit vergelyk met formule eq (63), kan ek nie die uitdrukking van die vierde element vir drywingsspektrumfaktor P_A vind nie, dit wil sê wanneer indeks A = 4. Inderdaad, as ek volg wat daar in Paper, & quotwaar A, B verskillende paar spoorpopulasies benoem& quot Ten slotte, wat is u grootte van ## C ^ <-1> _ Aan die ander kant dink ek dat die nie-diagonale terme op 'n 4x4 kovariansiematriks inligting sal oordra as ek hierdie een omkeer, en dus kan ek net ## C ^ <-1> _ saamvat Ek hoop dat u my kwessie oor hierdie bedrag sal verstaan. Groete In die optiese sterrekunde word tans die hoogste hoekresolusie aangebied deur fase / amplitude interferometers wat lig kombineer van teleskope, geskei deur basislyne tot 'n paar honderd meter. Prikkelende resultate wys hoe sterrekassies begin oplos, en sterre openbaar as 'n verskeidenheid individuele voorwerpe, alhoewel tot nou toe slegs vir 'n klein aantal grootstes moontlik is. Daar is konsepte voorgestel om sulke fasiliteite uit te brei tot 'n skaal van 'n kilometer of meer, soos benodig vir die beeldvorming van helder sterre met 'n tipiese grootte van 'n paar miljard-sekondes. Die besef daarvan bly egter uitdagend, beide as gevolg van die vereiste optiese en atmosferiese stabiliteit binne 'n fraksie van 'n optiese golflengte, en die behoefte om oor baie interferometriese basislyne te strek (aangesien die optiese lig nie met die behoue fase gekopieër kan word nie, maar verdeel en verdun moet word deur beamsplitters om interferensie tussen verskeie teleskooppare te bewerkstellig). Alhoewel atmosferiese probleme deur teleskoopaanstellings in die ruimte vermy kon word, word dit bemoeilik deur hul kompleksiteit en hul koste. Atmosferiese probleme kan egter omseil word deur hoër orde-samehang van die lig te meet deur intensiteitsinterferometrie. In die volgende stel ons 'n laboratoriumdemonstrasie van 'n multi-teleskoop-skikking voor om die end-tot-end-volgorde van die werking te verifieer, vanaf die waarneming van steragtige bronne tot die rekonstruksie van hul beelde. [9] Die ruiskruiskorrelasie in die sigbaarheidsmonsters (5) kan in die kruiskorrelasiematriks gerangskik word CV = [σblσqρpq] = [〈ΔVkl ΔVmn*〉] Van grootte NR 2 × NR 2 waar NR is die aantal ontvangers. Om hierdie matriks te evalueer, is kennis van die konfigurasie (Y of U) van die betrokke sensor nodig: die kruiskorrelasie tussen die sigbaarheid gemeet deur die kl en die mn ontvangerpare kan gevind word as die sigbaarheid van ontvangerpare is km en ln is bekend. [10] Op grond van die vorige resultaat kan die variansie in die beraming van die helderheidstemperatuur bereken word. Die gemete sigbaarheid hou verband met die helderheidstemperatuur deur die tweedimensionele diskrete Fourier-transform waar F is die Fourier-transformasie-operateur. In werklike berekeninge is die G-matriks [ Ruf et al., 1988] kan gebruik word in die plek van F en soortgelyk aan die prosedures wat in die spektra-beraming gebruik word, word die resultate verbeter deur die sigbaarheid voor die transformasie te verminder. Vir stadig wisselende teikens, soos grondvog of oseaan-soutgehalte, sal die afname van die Blackman-funksie waarskynlik die beste resultate lewer. In Bará et al. [1998] is ook ander tapers bestudeer. [11] Die ordening van die sigbaarheid in die C matriks word bepaal deur die skikkingkonfigurasie, terwyl die volgorde in die F matriks word gedikteer deur die monsters in die ruimtelike frekwensie. Nietemin, die kolomme van F kan uitgeruil word sodat dit ooreenstem met die van C. Laat hierdie permutasies voorgestel word deur a T. Omdat beide konfigurasies (Y en U) oorbodig is, is die T matriks is nie vierkantig nie en die gemiddelde oortollige basislyne moet gemiddeld wees: die kolomme van die matriks wat ooreenstem met oortollige basislyn word vermenigvuldig met 1 /r waar r is die vlak van oortolligheid (Figuur 1b en 1d). Andersins elke ry van T bevat een. Hierdie waardes word vervang deur die toepaslike taps toeneem koëffisiënte en die matriks sal gemerk word as W. [12] As 'n sigbaarheidsgeraasvektor 'n besef is van 'n onafhanklike eenheidsafwykingskompleks sirkelvormige Gaussiese geraas, kan dit deur die Cholesky-faktorisering van die kruiskorrelasiematriks in 'n kruiskorreleerde geraasvektor getransformeer word R H R = C sodat [5] Uitdrukking (3) verskil slegs deur 'n amplitudefaktor F vanaf 'n werklike groen funksie tussen punte x en y. 'N Baie belangrike implikasie van hierdie resultaat is dat die Groen-funksie tussen twee liggings (of ten minste die aankomstye van die verskillende golftreine) uit die diffuse veld gehaal kan word met 'n eenvoudige veld-tot-veld-korrelasie, gemiddeld oor 'n voldoende lang tyd of 'n uitgebreide bronverspreiding. [6] Weaver en Lobkis [2001a] het bogenoemde argumente blootgelê en in laboratoriumeksperimente aangetoon dat die toepaslik gefilterde gemiddelde kruiskorrelasie van die velde op twee posisies die Groen-funksie tussen die twee punte is. Dieselfde argumente geld ook vir 'n oop medium [ Weaver en Lobkis, 2004]. Onder die aanname van volledige willekeurigheid van die golfveld, Snieder [2004] gee 'n straal geometriese interpretasie van die rekonstruksie. [7] Argumente soos hierbo wat afhang van aannames van goed ontwikkelde diffuse velde, is miskien problematies vir toepassing op seismologie omdat die verspreiding van aardbewings diskreet en ongelyk is. Verder word die tydsduur van beskikbare tydreekse beperk deur verspreiding en omgewingsgeraas. Veldskommelings word verwag wat in die korrelasiefunksie voorkom as 'n geraas wat op die verwagte deterministiese sein geplaas word. Klein energie-aankomings sal eers na 'n baie lang gemiddeldes verskyn. In praktiese toepassings met die beskikbare tipe data, verwag ons dat ons slegs die meer energieke dele van die Groen-funksie sal rekonstrueer. [8] Laboratoriumeksperimente met ultraklank en numeriese simulasies help om die moontlikheid van die rekonstruksie van die Groen-funksie te ondersoek in toestande naby aan die wat in seismologie voorkom. Derode et al. [2003a, 2003b] stel 'n interpretasie voor van die ontstaan van die presiese Groen-funksie vanuit die kruiskorrelasie van die velde wat deur twee passiewe sensors in 'n heterogene medium ontvang word. Hulle argument is gebaseer op 'n analogie van die gemiddelde van 'n kruiskorrelasie-funksie oor 'n reeks bronne met 'n fisiese bewerking van tydomkeer wat in die laboratorium uitgevoer kan word [ Fink, 1992 Wu et al., 1992]. Die werking van die kruiskorrelasie van die sein wat deur 'n bron in S by ontvangers in A en B is formeel gelykstaande aan die feit dat 'n bron in A golwe produseer wat in S, tyd-omgekeerde en weer vrygestel van S opgeneem te word in B [ Derode et al., 2003a]. Hierdie laaste bewerking is presies wat in 'n tydsomkeer-spieël besef word. Hierdie analogie toon aan hoe kruiskorrelasie verband hou met die fisiese golf voortplanting. [9] Ons illustreer hierdie punt met numeriese simulasies uitgevoer in 'n tweedimensionele (2-D) akoestiese medium. Hierdie konfigurasie word gekies omdat dit 'n eenvoudige manier is om die verspreiding van golwe op die aarde te beskryf. Ons los die golfvergelyking op met 'n eindige verskilkode [ Tanter, 1999 Derode et al., 2001]. Die veld vervaardig deur elk van verskeie bronne S word op elke punt van die medium bereken. Ons beskou 'n swak verstrooiingsmedium, waar die verspreidingsafstand kleiner is as die transportgemiddelde vrye pad van die golwe. Ons onthou dat die vervoer 'n gratis pad beteken l* is die tipiese afstand waarna die verspreide energie van 'n golf in 'n bepaalde rigting oor alle rigtings versprei word. Die verstrooiing word veroorsaak deur 'n verspreiding van klein rigiede verstrooiers met 'n radius a. Die agtergrondsnelheid is 3,3 km.s −1. Die produk van die golfgetal k deur die radius a gelyk aan 1. Na aanleiding van die tyd-omkeer-analogie wat ontwikkel is deur Derode et al. [2003a] kies ons om die bronne te plaas S reg rondom A (die verwysingspunt in die middel van die rooster gemerk met 'n kruis in Figuur 1a) om 'n ekwivalent te vorm van 'n perfekte tydomkeer-spieël. Hierdie konfigurasie word in Figuur 1a uitgebeeld. Elke bron S stuur 'n breëbandpuls met 0,1 Hz sentrale frekwensie. Die korrelasies word tussen die veld bereken hSA(t) by die verwysingspunt A en die veld hSR(t) op enige ander punt R(x, y) van die rooster. Die korrelasie word gemiddeld oor die hele stel bronne bereken S. Die golfveld wat deur korrelasies gerekonstrueer word, word in Figuur 1 getoon vir korrelasietye -30, 0 en 30 s. Tyd t = 0 is die sentrale tyd van die korrelasies wanneer al die energie ingestel is A asof A was 'n bron. Op negatiewe tye neem ons 'n konvergerende golffront waar, en 'n uiteenlopende golffront op positiewe tye. Hierdie golffronte stem ooreen met die oorsaaklike (positiewe tye) en antikousale (negatiewe tye) van die Groen-funksie tussen A en enige punt R in die medium. Die byna perfekte rekonstruksie van die Groen-funksie (insluitend die samevloeiende en uiteenlopende golffronte) is te danke aan die kwasi-ideale verspreiding van bronne rondom A, die lengte van die koda (solank die numeriese skemas dit toelaat: 200 ossillasies) en die afwesigheid van absorpsie. Hierdie numeriese eksperiment toon dat kruiskorrelasie ooreenstem met 'n fisiese proses en nie 'n kunswerk van seinverwerking is nie. [10] Derode et al. [2003b] en Larose et al. [2004] het die rol van veelvoudige verstrooiing getoon om die doeltreffendheid van die rekonstruksie van die Green-funksie met 'n beperkte aantal bronne en beperkte opnametydperke te verbeter, in toestande nader aan seismologie. Aangesien die rekordduur in seismologie beperk word deur die teenwoordigheid van geraas en absorpsie, is die gemiddelde van 'n aantal verskillende bronne nodig om die opkoms van die Groen-funksie te verwag. Die beperkinge van die rekonstruksie sal in afdeling 3 bespreek word na die toepassing van hierdie eenvoudige beginsel op 'n datastel van werklike seismogramme. Die konvolusie van f en g word geskryf f∗g , wat die operateur met die simbool ∗ aandui. [B] Dit word gedefinieer as die integraal van die produk van die twee funksies nadat een omgekeer en verskuif is. As sodanig is dit 'n spesifieke soort integrale transformasie: 'N Ekwivalente definisie is (sien kommutatiwiteit): Terwyl die simbool t hierbo gebruik word, hoef dit nie die tyddomein voor te stel nie. Maar in daardie konteks kan die konvolusieformule beskryf word as die area onder die funksie f(u) geweeg deur die funksie g(–u) verskuif volgens bedrag t. Soos t verander, is die gewigsfunksie g(t–u) beklemtoon verskillende dele van die invoerfunksie f(u) . Vir funksies f, g ondersteun slegs op [0, ∞) (dit wil sê, nul vir negatiewe argumente), kan die integrasieperke afgekap word, wat lei tot: Vir die multidimensionele formulering van konvolusie, sien definisie-domein (onder). 'N Algemene konvensie vir ingenieurswese is: [2] wat noukeurig geïnterpreteer moet word om verwarring te voorkom. Byvoorbeeld, f(t)∗g(t − t0) is gelykstaande aan (f∗g)(t − t0), maar f(t − t0)∗g(t − t0) is in werklikheid gelykstaande aan (f∗g)(t − 2t0) . [3] Konvolusie beskryf die uitvoer (in terme van die insette) van 'n belangrike klas operasies wat bekend staan as lineêre tyd-invariant (LTI). Kyk na LTI-stelselteorie vir die afleiding van konvolusie as gevolg van LTI-beperkings. In terme van die Fourier-transformasies van die invoer en afvoer van 'n LTI-bewerking, word geen nuwe frekwensie-komponente geskep nie. Die bestaande is slegs aangepas (amplitude en / of fase). Met ander woorde, die uitsettransformasie is die puntgewys produk van die insettransformasie met 'n derde transformasie (bekend as 'n oordragfunksie). Sien Konvolusiestelling vir 'n afleiding van die eienskap van konvolusie. Omgekeerd kan konvolusie afgelei word as die inverse Fourier-transformasie van die puntwys produk van twee Fourier-transformasies. Een van die vroegste gebruike van die konvolusie-integraal verskyn in D'Alembert se afleiding van Taylor se stelling in Recherches sur différents points importants du système du monde, gepubliseer in 1754. [4] Ook 'n uitdrukking van die tipe: word gebruik deur Sylvestre François Lacroix op bladsy 505 van sy boek getiteld Verhandeling oor verskille en reekse, wat die laaste van drie dele van die ensiklopediese reeks is: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Chez Courcier, Parys, 1797–1800. [5] Kort daarna verskyn konvolusie-operasies in die werke van Pierre Simon Laplace, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson en andere. Die term self het eers in die 1950's of 60's wyd gebruik geword. Voorheen het dit soms bekend gestaan as Faltung (wat beteken vou In Duits), samestelling produk, superposisie integraal, en Carson se integraal. [6] Tog verskyn dit al in 1903, alhoewel die definisie in ouer gebruike taamlik onbekend is. [7] [8] is 'n spesifieke geval van samestellingsprodukte wat die Italiaanse wiskundige Vito Volterra in 1913 oorweeg het. [9] Wanneer 'n funksie gT is periodiek, met periode T, dan vir funksies, f, sodanig dat f ∗ gT bestaan, is die konvolusie ook periodiek en identies aan: waar t0 is 'n arbitrêre keuse. Die opsomming word 'n periodieke opsomming van die funksie genoem. Wanneer gT is 'n periodieke opsomming van 'n ander funksie, g, dan f ∗ gT staan bekend as 'n omsendbrief of siklies konvolusie van f en g. En as die periodieke opsomming hierbo vervang word deur fT word die bewerking a genoem periodiek konvolusie van fT en gT . Vir ingewikkelde funksies f, g gedefinieer op die stel Z van heelgetalle, die diskrete konvolusie van f en g word gegee deur: [10] Die konvolusie van twee eindige rye word gedefinieer deur die rye uit te brei na funksies wat op die geheel getalle ondersteun word. Wanneer die reekse die koëffisiënte van twee polinome is, dan is die koëffisiënte van die gewone produk van die twee polinome die konvolusie van die oorspronklike twee rye. Dit staan bekend as die Cauchy-produk van die koëffisiënte van die reekse. Wanneer 'n funksie gN is periodiek, met periode N , dan vir funksies, f, sodanig dat f∗gN bestaan, is die konvolusie ook periodiek en identies aan: Die opsomming op k word 'n periodieke opsomming van die funksie genoem f. As gN is 'n periodieke opsomming van 'n ander funksie, g, dan f∗gN staan bekend as 'n sirkelvormige konvolusie van f en g. Wanneer die nie-nul duur van beide f en g beperk is tot die interval [0, N−1] , f∗gN verminder tot hierdie algemene vorme: Die notasie ( f ∗N g ) vir sikliese konvolusie dui konvolusie oor die sikliese groep heelgetalle modulo aan N . Sirkulêre konvolusie ontstaan meestal in die konteks van vinnige konvolusie met 'n vinnige Fourier transform (FFT) algoritme. In baie situasies kan diskrete kronkels omgeskakel word in sirkelvormige kronkels sodat vinnige transformasies met 'n konvolusie-eienskap gebruik kan word om die berekening te implementeer. Byvoorbeeld, konvolusie van syferreekse is die kernbewerking in die vermenigvuldiging van meersyferige getalle, wat dus doeltreffend met transformasietegnieke geïmplementeer kan word (Knuth 1997, §4.3.3.C von zur Gathen & amp Gerhard 2003, §8.2). Vgl.1 vereis N rekenkundige bewerkings per uitvoerwaarde en N 2 bewerkings vir N-uitsette. Dit kan aansienlik verminder word met enige van die vinnige algoritmes. Verwerking van digitale sein en ander toepassings gebruik gewoonlik vinnige konvolusie-algoritmes om die koste van die konvolusie tot O (N log N) kompleksiteit te verlaag. Die algemeenste vinnige konvolusie algoritmes gebruik vinnige Fourier transform (FFT) algoritmes via die sirkelvormige stelling. Spesifiek, die sirkelvormige konvolusie van twee eindige rye word gevind deur 'n FFT van elke ry te neem, puntgewys te vermenigvuldig en dan 'n inverse FFT uit te voer. Omwentelings van die tipe hierbo omskryf, word dan effektief geïmplementeer met behulp van die tegniek in samewerking met nul-verlenging en / of weggooi van gedeeltes van die uitvoer. Ander vinnige konvolusie-algoritmes, soos die Schönhage-Strassen-algoritme of die Mersenne-transform, [12] gebruik vinnige Fourier-transformasies in ander ringe. As die een ry baie langer is as die ander, is nul-verlenging van die korter ry en vinnige sirkelvormige samevloeiing nie die mees berekeningseffektiewe metode nie. [13] In plaas daarvan kan die langer sekwensie in blokke ontbind word en elke blok saamgevoeg word, vinniger algoritmes soos die Overlap – Save-metode en Overlap-Add-metode moontlik maak. [14] 'n Baster-konvolusiemetode wat blok- en FIR-algoritmes kombineer, maak voorsiening vir 'n nul-inset-uitvoer-latency wat nuttig is vir intydse konvolusieberekeninge. [15] Die samesmelting van twee komplekse waardefunksies op R d is self 'n komplekswaardige funksie op R d , gedefinieer deur: en word slegs goed gedefinieër as f en g by die oneindigheid vinnig genoeg verval om die integraal te kan bestaan. Voorwaardes vir die bestaan van die konvolusie kan moeilik wees, aangesien 'n opblaas in oneindigheid maklik geneutraliseer kan word deur voldoende vinnige verval in f. Die bestaansvraag kan dus verskillende voorwaardes op f en g behels: As f en g deurlopende funksies kompak ondersteun word, bestaan die konvolusie daarvan, en word dit ook kompak ondersteun en deurlopend (Hörmander 1983, Hoofstuk 1). Meer algemeen, as enige funksie (sê f) kompak ondersteun word en die ander plaaslik integreerbaar is, dan is die konvolusie f∗g is goed gedefinieerd en deurlopend. Konvolusie van f en g word ook goed gedefinieër as albei funksies plaaslik vierkantig integreerbaar is R en ondersteun op 'n interval van die vorm [a, + ∞) (of albei ondersteun op [−∞, a] ). Die konvolusie van f en g bestaan as f en g albei Lebesgue integreerbare funksies in is L 1 ( R d ), en in hierdie geval f∗g is ook integreerbaar (Stein & amp Weiss 1971, Stelling 1.3). Dit is 'n gevolg van Tonelli se stelling. Dit geld ook vir funksies in L 1, onder die diskrete konvolusie, of meer algemeen vir die konvolusie in enige groep. Net so, as f ∈ L 1 ( R d ) en g ∈ L bl ( R d ) waar 1 ≤ bl ≤ ∞, dan f∗g ∈ L bl ( R d ), en In die spesifieke geval bl = 1, dit wys dat L 1 is 'n Banach-algebra onder die konvolusie (en die gelykheid van die twee kante geld as f en g byna oral nie-negatief is). Meer algemeen, beteken die ongelykheid van Young dat die konvolusie 'n deurlopende tweeledige kaart is tussen geskikte L bl ruimtes. Spesifiek, as 1 ≤ bl, q, r ≤ ∞ bevredig: sodat die konvolusie 'n deurlopende biliniêre kartering van is L bl ×L q aan L r . Die Jong ongelykheid vir konvolusie is ook waar in ander kontekste (sirkelgroep, konvolusie aan Z ). Die voorafgaande ongelykheid is nie skerp op die regte lyn nie: wanneer 1 & lt bl, q, r & lt ∞, daar bestaan 'n konstante Bbl,q & lt 1 sodanig dat: Die optimale waarde van Bbl,q is ontdek in 1975 [16] en onafhanklik in 1976, [17] sien ongelykheid Brascamp – Lieb. 'N Sterker skatting is waar mits 1 & lt bl, q, r & lt ∞: Behalwe vir kompakte funksies en integreerbare funksies, kan funksies met 'n vinnige verval by oneindigheid ook saamgevoeg word. 'N Belangrike kenmerk van die konvolusie is dat as f en g albei verval dan vinnig f∗g verval ook vinnig. In die besonder, as f en g funksies vinnig afneem, dan is die konvolusie ook so f∗g. Gekombineer met die feit dat konvolusie met differensiasie pendel (sien # Eiendomme), volg dit dat die klas Schwartz-funksies onder konvolusie gesluit word (Stein & amp Weiss 1971, Stelling 3.3). Onder sommige omstandighede is dit moontlik om die konvolusie van 'n funksie met 'n verdeling, of van twee verdelings, te definieer. As f is 'n kompak ondersteun funksie en g is dan 'n verspreiding f∗g is 'n gladde funksie wat gedefinieer word deur 'n verspreidingsformule analoog aan Meer algemeen is dit moontlik om die definisie van die konvolusie op 'n unieke manier uit te brei sodat die assosiatiewe wet geldig bly in die geval waar f is 'n verspreiding, en g 'n kompak ondersteunde verspreiding (Hörmander 1983, §4.2). Die konvolusie van twee Borel-maatreëls μ en ν van begrensde variasie is die maat μ ∗ ν < displaystyle mu * nu> gedefinieer deur (Rudin 1962) Dit stem ooreen met die hierbo gedefinieerde konvolusie wanneer μ en ν as verdelings beskou word, sowel as die konvolusie van L 1-funksies wanneer μ en ν absoluut deurlopend is ten opsigte van die Lebesgue-maatstaf. Die samevoeging van maatreëls voldoen ook aan die volgende weergawe van Young se ongelykheid waar die norm die totale variasie van 'n maat is. Omdat die ruimte van maatreëls van begrensde variasie 'n Banach-ruimte is, kan konvolusie van maatreëls behandel word met standaardmetodes vir funksionele analise wat moontlik nie geld vir die konvolusie van verspreidings nie. Die konvolusie definieer 'n produk op die lineêre ruimte van integreerbare funksies. Hierdie produk voldoen aan die volgende algebraïese eienskappe, wat formeel beteken dat die ruimte van integreerbare funksies met die produk wat deur konvolusie gegee word, 'n kommutatiewe assosiatiewe algebra sonder identiteit is (Strichartz 1994, §3.3). Ander lineêre funksieruimtes, soos die ruimte van deurlopende funksies van kompakte ondersteuning, word onder die konvolusie gesluit en vorm dus ook kommutatiewe assosiatiewe algebras. Deur die veranderlike van integrasie te verander na u = t - u < displaystyle u = t-u> volg die resultaat. Bewys: Dit volg uit die gebruik van Fubini se stelling (dit wil sê, dubbele integrale kan in beide volgorde as iteratiewe integrale geëvalueer word). Bewys: Dit volg uit die lineariteit van die integraal. Assosiatiwiteit met skalêre vermenigvuldiging a (f ∗ g) = (a f) ∗ g vir enige regte (of komplekse) getal a < displaystyle a>. Geen algebra van funksies besit 'n identiteit vir die konvolusie nie. Die gebrek aan identiteit is gewoonlik geen groot ongemak nie, aangesien die meeste versamelings funksies waarop die konvolusie uitgevoer word, saamgevoeg kan word met 'n delta-verdeling ('n eenheidsimpuls, sentraal op nul) of, ten minste (soos in die geval van L 1) erken benaderings tot die identiteit. Die lineêre ruimte van kompak ondersteunende verspreidings erken egter 'n identiteit onder die konvolusie. Spesifiek, waar δ is die delta-verdeling. Sommige verspreidings S het 'n omgekeerde element S −1 vir die konvolusie wat dan moet voldoen waaruit 'n eksplisiete formule vir S −1 kan verkry word. Die stel onkeerbare verspreidings vorm 'n abelse groep onder die konvolusie. As f en g integreerbare funksies is, dan word die integraal van hul konvolusie in die hele ruimte eenvoudig verkry as die produk van hul integrale: Dit volg uit die stelling van Fubini. Dieselfde resultaat geld as f en g word slegs aanvaar as nie-negatiewe meetbare funksies, volgens Tonelli se stelling. waar d/dx is die afgeleide. Meer algemeen, in die geval van funksies van verskillende veranderlikes, geld 'n analoogformule met die gedeeltelike afgeleide: 'N Besondere gevolg hiervan is dat die konvolusie as 'n "gladde" bewerking beskou kan word: die konvolusie van f en g is soveel keer anders as f en g is in totaal. Hierdie identiteite is onder die presiese voorwaarde dat f en g is absoluut integreerbaar en ten minste een daarvan het 'n absoluut integreerbare (L 1) swak afgeleide, as gevolg van Young se konvolusie-ongelykheid. Byvoorbeeld, wanneer f is deurentyd onderskeibaar met kompakte ondersteuning, en g is 'n willekeurige plaaslik integreerbare funksie, Hierdie identiteite geld ook baie wyer in die sin van getemperde verspreidings as een van f of g is 'n vinnig dalende getemperde verdeling, 'n kompakte ondersteunde getemperde verdeling of 'n Schwartz-funksie en die ander is 'n getemperde verdeling. Aan die ander kant kan twee positiewe integreerbare en oneindig onderskeibare funksies nêrens voortdurende konvolusie hê nie. In die diskrete geval, die verskil operateur D f(n) = f(n + 1) − f(n) voldoen aan 'n analoë verhouding: D (f ∗ g) = (D f) ∗ g = f ∗ (D g). Die konvolusie pendel met vertalings, wat beteken dat waar jyxf is die vertaling van die funksie f deur x gedefinieer deur As f is dan 'n Schwartz-funksie uxf is die konvolusie met 'n vertaalde Dirac delta-funksie uxf = f ∗ ux δ. Vertaalveranderheid van die konvolusie van Schwartz-funksies is dus 'n gevolg van die assosiatiwiteit van konvolusie. Verder is konvolusie onder sekere voorwaardes die algemeenste vertaal-invariante bewerking. Informeel gesproke geld die volgende Dus kan sommige vertaal-invariante bewerkings as konvolusie voorgestel word. Omwentelings speel 'n belangrike rol in die bestudering van tyd-invariante stelsels, en veral LTI-stelselteorie. Die voorstellingsfunksie gS is die impulsreaksie van die transformasie S. 'N Meer presiese weergawe van die stelling wat hierbo aangehaal word, vereis dat u die klas funksies waarop die konvolusie gedefinieer word, moet spesifiseer, en vereis ook dat daarbenewens aanvaar word dat S moet 'n deurlopende lineêre operateur wees met betrekking tot die toepaslike topologie. Dit is byvoorbeeld bekend dat elke deurlopende vertaling onveranderlike deurlopende lineêre operateur aan is L 1 is die konvolusie met 'n eindige Borel-maatstaf. Meer algemeen is elke deurlopende vertaling onveranderlike deurlopende lineêre operateur aan L bl vir 1 ≤ bl & lt ∞ is die konvolusie met 'n getemperde verdeling waarvan die Fourier-transform begrens word. Hulle word almal gegee deur begrensde Fourier-vermenigvuldigers. As G is 'n geskikte groep met 'n maat λ, en as f en g is werklike of komplekse waardeerbare integreerbare funksies op G, dan kan ons hul konvolusie definieer deur Dit is nie kommutatief in die algemeen nie. In tipiese gevalle van belangstelling G is 'n plaaslik kompakte Hausdorff topologiese groep en λ is 'n (links-) Haar-maatstaf. In daardie geval, tensy G unimodulêr is, is die op hierdie manier gedefinieerde konvolusie nie dieselfde as ∫ f (xy - 1) g (y) d λ (y) < displaystyle textstyle < int f (xy ^ <-1>) g (y ) , d lambda (y) >>. Die voorkeur van die een bo die ander word so gemaak dat konvolusie met 'n vaste funksie g pendel met linkse vertaling in die groep: L h (f ∗ g) = (L h f) ∗ g. < displaystyle L_ Verder word die konvensie ook vereis vir ooreenstemming met die definisie van die samevoeging van die maatreëls wat hieronder gegee word. Met 'n regter in plaas van 'n linker Haar-maat word die laaste integraal bo die eerste verkies. Op plaaslik kompakte abeliese groepe geld 'n weergawe van die konvolusiestelling: die Fourier-transform van 'n konvolusie is die puntige produk van die Fourier-transformasies. Die sirkelgroep T met die Lebesgue-maatreël is 'n onmiddellike voorbeeld. Vir 'n vaste g in L 1 (T), het ons die volgende bekende operateur wat op die Hilbert-ruimte optree L 2 (T): Die operateur T is kompak. 'N Regstreekse berekening toon dat die aangeslote T * is konvolusie met Volgens die bogenoemde kommutatiwiteitseiendom, T is normaal: T* T = TT*. Ook, T pendel met die vertaaloperateurs. Neem die gesin in ag S van operateurs wat bestaan uit al sulke verwikkelinge en die vertaaloperateurs. Dan S is 'n pendelfamilie van normale operateurs. Volgens die spektrale teorie bestaan daar 'n ortonormale basis <hk> wat gelyktydig diagonaliseer S. Dit kenmerk kronkels in die sirkel. Spesifiek, ons het wat presies die karakters van T. Elke konvolusie is 'n kompakte vermenigvuldigingsoperator op hierdie basis. Dit kan gesien word as 'n weergawe van die konvolusiestelling hierbo bespreek. 'N Diskrete voorbeeld is 'n eindige sikliese groep orde n. Konvolusie-operateurs word hier voorgestel deur sirkulantmatrikse en kan gediagonaliseer word deur die diskrete Fourier-transform. 'N Soortgelyke resultaat geld vir kompakte groepe (nie noodwendig abelies nie): die matriks-koëffisiënte van eindige-dimensionele eenheidsvoorstellings vorm 'n ortonormale basis in L 2 deur die Peter – Weyl-stelling, en 'n analoog van die konvolusiestelling bly geld, tesame met baie ander aspekte van harmoniese analise wat afhang van die Fourier-transform. Laat G 'n (vermenigvuldig geskrewe) topologiese groep wees. As μ en ν eindig, meet Borel G, dan hul konvolusie μ∗ν word gedefinieer as die voorwaartse maatstaf van die groepaksie en kan geskryf word as vir elke meetbare deelversameling E van G. Die konvolusie is ook 'n eindige maatstaf, waarvan die totale variasie bevredig In die geval wanneer G is plaaslik kompak met (linker-) Haar-maat λ, en μ en ν is absoluut kontinu ten opsigte van a, sodat elkeen 'n digtheidsfunksie het, dan is die konvolusie μ ∗ ν ook absoluut deurlopend, en die digtheidsfunksie daarvan is net die konvolusie van die twee afsonderlike digtheidsfunksies. As μ en ν waarskynlikheidsmaatreëls in die topologiese groep is (R, +), dan die konvolusie μ∗ν is die waarskynlikheidsverdeling van die som X + Y van twee onafhanklike ewekansige veranderlikes X en Y waarvan die onderskeie verspreidings μ en ν is. Laat (X, Δ, ∇, ε, η) 'n bialgebra wees met comultiplikasie Δ, vermenigvuldiging ∇, eenheid η en counit ε. Die konvolusie is 'n produk wat gedefinieer word op die endomorfisme-algebra-einde (X) soos volg. Laat φ, ψ ∈ Einde (X), dit wil sê φ,ψ : X → X is funksies wat alle algebraïese strukture van respekteer X, dan die konvolusie φ∗ψ word gedefinieer as die samestelling Die konvolusie kom veral voor in die definisie van Hopf algebras (Kassel 1995, §III.3). 'N Bialgebra is 'n Hopf-algebra as en slegs as dit 'n antipode het: 'n endomorfisme S sodat Konvolusie en verwante bewerkings word in baie toepassings in wetenskap, ingenieurswese en wiskunde aangetref. Ook by Laboratoire de Physique et Modélisation des Milieux Condensés, Université Joseph Fourier en CNRS, Grenoble, Frankryk. Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France Laboratoire Ondes et Acoustique, Université Paris 7 and CNRS, Paris, France Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France Also at Laboratoire de Physique et Modélisation des Milieux Condensés, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France. Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France Laboratoire Ondes et Acoustique, Université Paris 7 and CNRS, Paris, France [1] We demonstrate the existence of long-range field correlations in the seismic coda of regional records in Alaska. The cross correlations between the different components of coda records at two points are measured for a set of distant earthquakes. Remarkably, while individual correlations have a random character, the correlations averaged over source and time exhibit deterministic arrivals that obey the same symmetry rules as the Green tensor between the two points. In addition, the arrival times of these waves coincide with propagating surface waves between the two stations. Thus we propose to identify the averaged correlation signals with the surface wave part of the Green tensor. We observe the causal and anticausal parts of the Green function. However, we find experimentally that amplitudes at positive and negative times are not equal. We explain this observation by the long-lasting anisotropy of the diffuse field. We show that the flux of energy coming from the source can still dominate the late coda and result in nonsymmetric cross correlations when the distribution of earthquakes is not isotropic around the stations. The extraction of Green functions from coda waves allows new types of measurements with seismic waves along paths between stations that could not be obtained with the waves produced by earthquakes. [25] As can be see from a cursory examination of Figure 1, Wivenhoe Dam water temperatures vary in a complex manner across both time and depth. We can simplify the task of describing these data through our proposed DSA decomposition, which is a variation on wavelet-based MRA. The motivation for this variation is to combine components from the usual MRA into components that capture daily, subannual, and annual fluctuations. The partitioning afforded by the DSA transform leads to a simple way of quantifying the key sources of variability in the data, yielding a component-based description of how water temperatures vary across time and how they are related at different depths. This approach is largely descriptive, but addresses some of the questions that could be answered more formally through a statistical modeling approach. Our exploratory analysis suggests what components would be needed in a formal time/depth model to address questions of interest to scientists (e.g., how exactly the thermocline manifests itself across time/depth in terms of correlations). An item for future work is to study the other water quality indicators collected by the profiling system (particularly chlorophyll a, turbidity, dissolved oxygen, and specific conductivity) and their relationship to temperature. [26] In addition to our analysis of water temperatures, our paper makes four technical contributions. We propose a frequency domain method for constructing a filter that collectively combines the wavelet coefficients across different levels into a single set of coefficients that can be used to track inhomogeneity of variance across time (Appendix B). We devise a scheme for filling in gaps in the water temperature databased upon the DSA decomposition (Appendix C). The idea of doing gap filling on a component-by-component basis is presumably of interest in other applications. We propose a method for handling wavelet-transform boundary conditions that is appropriate for our data (Appendix D). This method is appropriate for use with any other time series whose behavior at the boundaries is roughly characterized by a linear increase or decrease. Finally, we adapt the statistical theory for the standard boxcar windowed wavelet variance estimator to work with a Gaussian windowed variance estimator based upon the daily and subannual coefficients from the DSA transform (Appendix E). Our derivation so far is based on the hypothesis that the geographic distribution of noise sources be close to uniform with respect to source-receiver azimuth. The stationary-phase formulae of Appendix A only hold if f is 'n smooth function of x in equation A1 and of both x en y in equation A3 the source distributions nC, nM, en nS must accordingly be smooth with respect to φ en / of θ for the treatment of section 5 to be valid. The integral in equation 103 likewise extends to the whole boundary of the volume V containing the receivers: if ∂V is not covered densely and uniformly by sources, noise cross correlation does not coincide with the right-hand side of equation 103, and G is not properly reconstructed. Noise sources are generally not uniformly distributed in practical applications, and we know, e.g., from Mulargia [ 2012 ], that seismic ambient noise on Earth is not strictly diffuse. We illustrate the consequences of significant inhomogeneities in source distribution with a simple model. As in sections 4.3 and 5.3, receivers R1 and R2, lying 20 km from one another on a membrane of infinite extension, are surrounded by a circle of sources whose center is R1 and whose radius is 100 km (Figure 11). We numerically convolve a Ricker wavelet (central frequency of 1 Hz) with the Green's function G2D for each of the sources in question. Using a wavelet rather than an impulse allows to better visualize the effects we are interested in. For each location of the source, we cross correlate the corresponding signals at R1 and R2 and plot the cross correlations in Figure 12a. The result of stacking the cross correlations, shown in Figure 12b, is consistent with the results of section 5.3, after modulating the Green's function with the Ricker wavelet (we shall speak of “Ricker response” instead of Green's function). We next average only the cross correlations associated with sources denoted in green in Figure 11 and, finally, only those associated with the “yellow” sources of Figure 11. Two inferences can be made from Figure 12c, where both averages are shown: (i) if only the yellow sources are “on,” and energy only travels in the direction R2→R1, only the anticausal Ricker's response between R1 and R2 emerges from averaging likewise, only the causal part shows up if only sources to the left of R1 are active. (ii) While both causal and anticausal arrivals in Figure 12b approximately coincide with those of Figure 12c, the curves in Figure 12c contain two additional arrivals, corresponding to the two azimuths where both source distributions in Figure 11 abruptly end. These arrivals, usually referred to as spurious, have no relation to the Ricker response they are artifacts caused by strong inhomogeneities in the source distribution. Spurious arrivals are likely to affect field data and can be identified in laboratory (physical acoustics) data.Aanhangsels
Inleiding
2. Geraas kruiskorrelasie matriks
2. Opkoms van die groen funksie en meervoudige verspreiding
Inhoud
Notasie wysig
Afleidings wysig
Sirkelvormige diskrete konvolusie
Vinnige konvolusie-algoritmes Wysig
Kompakte ondersteun funksies
Integrerbare funksies Wysig
Funksies van vinnige verval Edit
Verspreidings Wysig
Maatreëls wysig
Algebraïese eienskappe
Integrasie Redigeer
Differensiasie Redigeer
Konvolusiestelling Redigeer
Translasie-ekwariansie Redigeer
Empiriese sintese van tyd-asimmetriese Groen funksioneer vanuit die korrelasie van kodagolwe
Abstrak
6. Summary
7 Uneven Source Distributions and “Spurious Arrivals”
Kyk die video: Faktorska analiza SPSS primjer (Desember 2024).
