Sterrekunde

Lagrange-punte en die radius van die Hill-bol

Lagrange-punte en die radius van die Hill-bol


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

(Disclaimer: Ek weet dat die "Hill-sfeer" net 'n benadering is van iets wat nie regtig bolvormig is nie.)

In 'n tweeliggaamsisteem is die benaderde formule vir die Hill-sfeerradius van die kleiner liggaam

$$ r _ { mathrm {H}} ongeveer a (1-e) sqrt [3] { frac {m} {3 M}} $$

waar $ a $ is die semi-hoofas van die baan van die klein liggaam om die groter, $ e $ dui die baan se eksentrisiteit aan, $ r_H $ is natuurlik die radius van die Hill-bol, $ m $ is die massa van die kleiner liggaam en $ M $ is die massa van die groter.

As en wanneer die eksentrisiteit onbeduidend is, word dit verder benader

$$ r _ { mathrm {H}} ongeveer a sqrt [3] { frac {m} {3M}} $$

Hierdie formule word dikwels gebruik om die afstand tussen die kleiner liggaam en die L1- en L2 Lagrange-punte te benader, alhoewel hierdie afstande nie eintlik identies is nie (L2 is verder as L1.)

Die afstand $ r_1 $ tussen die kleiner liggaam en L1 word verkry deur die vergelyking op te los (wat blykbaar ook 'n weglaatbare eksentrisiteit aanneem):

$$ frac {M} { left (a-r_ {1} right) ^ 2} = frac {m} {r_ {1} ^ {2}} + frac {M} {a ^ 2} - frac {r_ {1} links (M + m regs)} {a ^ 3} $$

Net so is die afstand $ r_2 $ tussen die kleiner liggaam en L2 verkry word deur:

$$ frac {M} { links (a + r_ {2} regs) ^ 2} + frac {m} {r_ {2} ^ {2}} = frac {M} {a ^ 2} + frac {r_ {2} links (M + m regs)} {a ^ 3} $$

Soos hierbo opgemerk, $ r_H $ soos verkry met behulp van die benaderde formule benader albei $ r_1 $ en $ r_2 $.

Verskeie aanlynbronne gebruik taal soos 'The Hill-sfeer lê tussen de L1- en L2 Lagrangian-punte' of 'die Hill-sfeer strek êrens tussen die L1- en L2 Lagrangian-punte'. Ek vind hierdie taal onduidelik en kan nie weet watter een van die volgende hierdie bronne sê nie:

$ r_H

$ r_H leq min (r_1, r_2) $

$ r_H

$ r_H leq maksimum (r_1, r_2) $

$ r_1

$ r_1

$ r_1 leq r_H leq r_2 $

$ r_1 leq r_H

of iets anders.

Terwyl ek dit skryf, is ek nie seker hoe triviaal dit is om die benaderings vir die L1- en L2-punte deur te werk om vas te stel of die Hill-sfeerradiusformule elkeen oorskat of onderskat nie, daarom vra ek om verskoning as dit iets is wat ander gebruikers gebruik. van Astronomy SE sou triviaal vind.


Aangesien die vraag oor ongelykhede en verhoudings gaan, het ek die teks uit hierdie antwoord geneem en dit beter gemaak deur dit nou te normaliseer $ a = 1, M1 = 1 $ en $ m equiv M2 / M1 $

Vir fisiese situasies in die gees van Hill-sfere en Lagrange-punte, dink ek die antwoord sal altyd wees:

$$ r_1

maar ek kan dit nie bewys nie, dit sal wiskunde nodig hê en dit is vanaand te laat vir my.


Sonder om te normaliseer $ a = 1 $, is die afstande en Hill-sfeerradius vir die Sun-Earth en Sun-Mars-stelsels soos volg:

a_Earth: 149598023 km Sun-Earth L1: 1491524 km Sun-Earth L2: 1501504 km Earth r_Hill: 1496531 km a_Mars: 227939200 km Sun-Mars L1: 1082311 km Sun-Mars L2: 1085748 km Mars r_Hill: 1084032 km

Ons pas nou die bogenoemde normalisasies toe:

Python 3 of 2

voer numpy as np invoer matplotlib.pyplot as plt van scipy.optimaliseer invoer brentq #unitless a = 1, M1 = 1, m = M2 / M1 # so vir die Hill-bol en L1 / L2 punte van die Aarde wat om die Son wentel # m = 5.9724E + 24 / 1.9886E + 30 = 4.88987E-07 en # L1 = 0.0054525 AU, r_Hill = 0.0054625 AU, L2 = 0.0054724 AU def solv_L1 (r, m): retour m / r ** 2 + 1. - r * (1. + m) - (1.-r) ** - 2 def los_L2 (r, m): retour 1 + r * (1 + m) - (1. + r) ** - 2 - m / r ** 2 def r_Hill (m): return (m / 3.) ** (1./3.) ms = np.logspace (-8, -1, 61) antwoorde = [] vir m in ms: r = r_Hill (m) L1 = brentq (solve_L1, 0.5 * r, 1.5 * r, args = (m,)) L2 = brentq (solve_L2, 0.5 * r, 1.5 * r, args = (m,)) antwoorde. voeg ([L2, r, L1]) L2's, rillings, L1s = np.array (lys (zip (* antwoorde))) m_Jup = 1.8982E + 27 / 1.9886E + 30 rhill_Jup = r_Hill (m_Jup) L1_Jup = brentq ( solve_L1, 0.5 * rhill_Jup, 1.5 * rhill_Jup, args = (m_Jup,)) L2_Jup = brentq (solve_L2, 0.5 * rhill_Jup, 1.5 * rhill_Jup, args = (m_Jup,)) if True: plt.figure () fs = 14 plt .subplot (2, 1, 1) plt.plot (ms, rillings) plt.plot ([m_Jup], [r hill_Jup], 'ok') plt.text (0.001, 0.03, 'Jupiter', fontsize = fs) plt.ylabel ('r_Hill / a', fontsize = fs) plt.xscale ('log') plt.yscale (' log ') plt.subplot (2, 1, 2) plt.plot (ms, L1s / rillings,' - ') plt.plot (ms, L2s / rillings,' - ') plt.plot ([m_Jup], [L1_Jup / rhill_Jup], 'ok') plt.plot ([m_Jup], [L2_Jup / rhill_Jup], 'ok') plt.xlabel ('m = M2 / M1', lettertipe = fs) plt.ylabel ('L1 of L2 / r_Hill ', lettertype = fs) plt.xscale (' log ') plt.show ()

Hill Sphere-vraag

Ek merk op dat dit nie die massa van die satelliet in ag neem nie. Is dit omdat die massa van die satelliet geen effek het nie, of is dit 'n vereenvoudiging gebaseer op die aanname dat die massa van die satelliet baie klein is ten opsigte van die massas van die ander twee liggame? Hoe sou dit van toepassing wees op tweelingplanete?

Ek het https://www.physicsforums.com/showpost.php?p=1225193&postcount=10" gevind wat blyk dat satellietmassa saak maak. Indien wel, hoe moet die formule verander word om die effek van 'n groot satelliet in te sluit?

En wat van die relatiewe massas van die ander twee liggame? Is m word aanvaar dat dit 'n baie klein fraksie van is M? As u byvoorbeeld na 'n planeet kyk wat om een ​​ster van 'n binêre stelsel wentel, sou die formule op enige manier moes verander?

(Ek is op soek na 'n manier om te bereken redelik buite perke vir stabiele wentelbane in 'n verskeidenheid hipotetiese situasies. Ek het nie 'n hoë mate van akkuraatheid nodig nie. Alhoewel dit aangenaam sou wees om eksentrisiteit in te sluit, is die gevalle waarin ek belangstel, voldoende naby aan sirkulêre om dit redelik te benader.)

Dankie vir jou hulp.


Inhoud

Die drie kollinêre Lagrange-punte (L1, L2, L3) is deur Leonhard Euler ontdek enkele jare voordat Joseph-Louis Lagrange die oorblywende twee ontdek het. [3] [4]

In 1772 publiseer Lagrange 'n "Essay on the three-body problem". In die eerste hoofstuk het hy die algemene drie-liggaamsprobleem bespreek. Daaruit het hy in die tweede hoofstuk twee spesiale oplossings vir konstante patrone getoon, die kollinêre en die gelyksydige, vir enige drie massas, met sirkelbane. [5]

Die vyf Lagrange-punte word as volg benoem en omskryf:

L1 punt Wysig

Die L1 punt lê op die lyn wat deur die twee groot massas gedefinieer word M1 en M2, en tussen hulle. Dit is die punt waar die aantrekkingskrag van M2 kanselleer dié van gedeeltelik M1. 'N Voorwerp wat nouer as die aarde wentel, het normaalweg 'n korter wentelperiode as die aarde, maar dit ignoreer die effek van die aarde se eie swaartekrag. As die voorwerp direk tussen die aarde en die son is, dan werk die swaartekrag van die aarde teen die trek van die voorwerp teen die voorwerp en vergroot dit dus die wentelperiode van die voorwerp. Hoe nader aan die aarde die voorwerp is, hoe groter is hierdie effek. By die L1 punt, word die wentelperiode van die voorwerp presies gelyk aan die aarde se wentelperiode. L1 ongeveer 1,5 miljoen kilometer van die aarde af, of 0,01 au, 1/100 van die afstand tot die son. [6]

L2 punt Wysig

Die L2 punt lê op die lyn deur die twee groot massas, buite die kleinste van die twee. Hier balanseer die gravitasiekragte van die twee groot massas die sentrifugale effek op 'n liggaam by L2. Aan die ander kant van die aarde as die son sou die wentelperiode van 'n voorwerp normaalweg groter wees as die aarde. Die ekstra trek van die Aarde se swaartekrag verminder die wentelperiode van die voorwerp en by die L2 wys dat die wentelperiode gelyk word aan die aarde. Soos L1, L2 ongeveer 1,5 miljoen kilometer of 0,01 au van die aarde af is.

L3 punt Wysig

Die L3 punt lê op die lyn wat deur die twee groot massas gedefinieer word, buite die grootste van die twee. Binne die Sun – Earth-stelsel is die L3 punt bestaan ​​aan die teenoorgestelde kant van die son, 'n bietjie buite die baan van die aarde en effens nader aan die middelpunt van die son as wat die aarde is. Hierdie plasing vind plaas omdat die son ook beïnvloed word deur die swaartekrag van die aarde en daarom wentel om die twee liggame se barycenter, wat goed binne-in die liggaam van die son is. 'N Voorwerp op die afstand van die aarde vanaf die son sal 'n wentelperiode van een jaar hê as slegs die swaartekrag van die son in ag geneem word. Maar 'n voorwerp aan die teenoorgestelde kant van die son vanaf die aarde en direk in lyn met albei "voel" die swaartekrag van die aarde effens by die son voeg en moet dus 'n bietjie verder van die barycenter van die aarde en son af wentel om dieselfde 1- jaar periode. Dit is aan die L3 wys daarop dat die gekombineerde trek van Aarde en Son die voorwerp laat wentel met dieselfde periode as die Aarde, wat in werklikheid om 'n Aarde + Sonmassa wentel met die Aarde-Son-barycenter op een fokuspunt van sy baan.

L4 en L5 punte Wysig

Die L4 en L5 punte lê aan die derde hoeke van die twee gelyksydige driehoeke in die baanvlak waarvan die gemeenskaplike basis die lyn tussen die middelpunte van die twee massas is, sodat die punt agter lê (L5) of vooruit (L4) van die kleiner massa ten opsigte van sy wentelbaan om die groter massa.

Puntstabiliteit Wysig

Die driehoekige punte (L4 en L5) stabiele ewewigte is, mits die verhouding van M1 / M2 is groter as 24,96. [noot 1] [7] Dit is die geval vir die Son-Aarde-stelsel, die Son-Jupiter-stelsel, en, met 'n kleiner marge, die Aarde-Maan-stelsel. As 'n liggaam op hierdie punte versteur word, beweeg dit weg van die punt af, maar die teenoorgestelde faktor wat verhoog word of verlaag word deur die versteuring (swaartekrag of hoek geïnduseerde spoed) sal ook toeneem of afneem en die voorwerp se pad buig. in 'n stabiele baan van 'n nierboontjie om die punt (soos gesien in die verwysende verwysingsraamwerk).

Die punte L1, L2, en L3 is posisies van onstabiele ewewig. Enige voorwerp wat om L draai1, L2, of L3 neig om buite die baan te val, is dit dus selde om natuurlike voorwerpe daar te vind. Ruimtetuie wat in hierdie gebiede woon, moet stasiebewaring gebruik om hul posisie te behou.

As gevolg van die natuurlike stabiliteit van L4 en L5, kom dit algemeen voor dat natuurlike voorwerpe in daardie Lagrange-punte van planetêre stelsels wentel. Voorwerpe wat in daardie punte woon, word in die algemeen 'trojans' of 'trojaanse asteroïdes' genoem. Die naam is afgelei van die name wat gegee is aan asteroïdes wat by die Son – Jupiter L wentel4 en L5 punte, wat geneem is uit mitologiese karakters wat in Homer's verskyn Ilias, 'n epiese gedig wat tydens die Trojaanse oorlog afspeel. Asteroïdes by die L4 punt, voor Jupiter, is vernoem na Griekse karakters in die Ilias en die "Griekse kamp" genoem. Diegene by die L5 punt is vernoem na Trojaanse karakters en word die "Trojaanse kamp" genoem. Albei kampe word as soorte trojaanse liggame beskou.

Aangesien die Son en Jupiter die twee mees massiewe voorwerpe in die Sonnestelsel is, is daar meer Sun-Jupiter-trojane as vir enige ander paar liggame. Kleiner getalle voorwerpe is egter bekend by die Langrage-punte van ander wentelstelsels:

  • Die Son – Aarde L4 en L5 punte bevat interplanetêre stof en ten minste een asteroïde, 2010 TK 7. [8] [9]
  • Die Aarde – Maan L4 en L5 punte bevat konsentrasies van interplanetêre stof, bekend as Kordylewski wolke. [10] [11] Die stabiliteit op hierdie spesifieke punte word baie ingewikkeld deur die invloed van die swaartekrag op die son. [12]
  • The Sun – Neptunus L4 en L5 punte bevat 'n paar dosyn bekende voorwerpe, die Neptunus-trojane. [13] het vier aanvaarde Mars-trojane: 5261 Eureka, 1999 UJ 7, 1998 VF 31, en 2007 NS 2.
  • Saturnus se maan Tethys het twee kleiner mane in sy L4 en L5 punte, Telesto en Calypso. Nog 'n Saturn-maan, Dione, het ook twee Lagrangiaanse mede-orbitale, Helene op sy L4 punt en Polydeuces by L5. Die mane dwaal azimuties oor die Lagrangiaanse punte, met Polydeuces wat die grootste afwykings beskryf, en beweeg tot 32 ° weg van die Saturnus-Dione L5 punt.
  • Een weergawe van die reuse-impakhipotese stel dat 'n voorwerp met die naam Theia by die Son – Aarde L gevorm het4 of L5 wys en op die aarde neergestort het nadat sy baan gedestabiliseer het en die Maan gevorm het. [14]
  • In binêre sterre het die Roche-lob sy toppunt geleë op L1 as een van die sterre verby sy Roche-lob uitbrei, dan verloor dit saak aan sy metgesel-ster, bekend as Roche lob-oorloop. [aanhaling nodig]

Voorwerpe op perdebaanbane word soms verkeerdelik as trojane beskryf, maar beslaan nie Lagrange-punte nie. Bekende voorwerpe op perdebaanbane sluit in 3753 Cruithne met die aarde en Saturnus se mane Epimetheus en Janus.

Lagrangian-punte is die konstante oplossings van die beperkte drieliggaamprobleem. Byvoorbeeld, gegewe twee massiewe liggame in wentelbane rondom hul gemeenskaplike barysentrum, is daar vyf posisies in die ruimte waar 'n derde liggaam, met 'n relatief weglaatbare massa, geplaas kan word om sy posisie in stand te hou in verhouding tot die twee massiewe liggame. Soos gesien in 'n draaiende verwysingsraamwerk wat ooreenstem met die hoeksnelheid van die twee liggame wat om mekaar wentel, het die swaartekragvelde van twee massiewe liggame gesamentlik die sentripetale krag by die Lagrangiaanse punte gelewer, wat die kleiner derde liggaam relatief stil kon maak ten opsigte van die eerste twee.

L1 Wysig

Die ligging van L1 is die oplossing vir die volgende vergelyking, met gravitasie wat die sentripetale krag bied:

waar r is die afstand van die L1 punt vanaf die kleiner voorwerp, R is die afstand tussen die twee hoofvoorwerpe, en M1 en M2 is die massas van onderskeidelik die groot en klein voorwerp. (Die hoeveelheid tussen hakies aan die regterkant is die afstand van L1 vanaf die middelpunt van die massa.) Los dit op vir r behels die oplossing van 'n kwintiese funksie, maar as die massa van die kleiner voorwerp (M2) is baie kleiner as die massa van die groter voorwerp (M1) dan L1 en L2 op ongeveer gelyke afstande is r vanaf die kleiner voorwerp, gelyk aan die radius van die Hill-bol, gegee deur:

Ons kan dit ook skryf as:

Aangesien die gety-effek van 'n liggaam eweredig is aan sy massa gedeel deur die afstand in blokkie, beteken dit dat die gety-effek van die kleiner liggaam by die L1 of by die L2 punt is ongeveer drie keer die van die groter liggaam. Ons kan ook skryf:

Hierdie afstand kan beskryf word as sodanig dat die wentelperiode ooreenstem met 'n sirkelbaan met hierdie afstand as 'n straal om M2 in die afwesigheid van M1, is die van M2 rondom M1, gedeel deur √ 3 ≈ 1.73:

L2 Wysig

Die ligging van L2 is die oplossing vir die volgende vergelyking, met gravitasie wat die sentripetale krag bied:

met parameters gedefinieer soos vir die L1 saak. Weereens, as die massa van die kleiner voorwerp (M2) is baie kleiner as die massa van die groter voorwerp (M1) dan L2 is ongeveer op die radius van die Hill-bol, gegee deur:

Dieselfde opmerkings oor getyinvloed en skynbare grootte geld as vir die L1 punt. Byvoorbeeld, die hoekstraal van die son gesien vanaf L2 is boogsin (695,5 × 10 3 / 151,1 × 10 6) ≈ 0,264 °, terwyl die van die aarde boogsien is (6371 / 1,5 × 10 6 ≈ 0,242 °. Kyk na die son vanaf L2 mens sien 'n ringverduistering. Dit is nodig dat 'n ruimtetuig, soos Gaia, 'n Lissajous-baan of 'n halo-baan om L volg.2 sodat sy sonpanele volle son kan kry.

L3 Wysig

Die ligging van L3 is die oplossing vir die volgende vergelyking, met gravitasie wat die sentripetale krag bied:

met parameters M1,2 en R gedefinieer soos vir die L1 en L2 gevalle, en r dui nou die afstand van L aan3 vanaf die posisie van die kleiner voorwerp, as dit 180 grade om die groter voorwerp gedraai word, terwyl positiewe r wat beteken dat L3 nader aan die groter voorwerp is as die kleiner voorwerp. As die massa van die kleiner voorwerp (M2) is baie kleiner as die massa van die groter voorwerp (M1) dan: [16]

L4 en L5 Wysig

Die rede waarom hierdie punte in balans is, is dat by L4 en L5, is die afstande na die twee massas gelyk. Gevolglik is die gravitasiekragte van die twee massiewe liggame in dieselfde verhouding as die massas van die twee liggame, en dus werk die resulterende krag deur die barycenter van die stelsel, en die geometrie van die driehoek verseker dat die resulterende versnelling tot by die afstand vanaf die barycenter in dieselfde verhouding as vir die twee massiewe liggame. Aangesien die barycenter sowel die massamiddelpunt as die draaipunt van die drieliggaamstelsel is, is hierdie resulterende krag presies die vereiste om die kleiner liggaam op die Lagrange-punt in 'n wentelewewig met die ander twee groter liggame van die stelsel te hou. (Die derde liggaam hoef inderdaad nie 'n onbeduidende massa te hê nie.) Die algemene driehoekkonfigurasie is deur Lagrange ontdek in die werk aan die drieliggaamprobleem.

Radiale versnelling Wysig

Die radiale versnelling a van 'n voorwerp in 'n baan op 'n punt langs die lyn wat deur albei liggame beweeg, word gegee deur:

waar r is die afstand vanaf die groot liggaam M1 en sgn (x) is die tekenfunksie van x. Die terme in hierdie funksie verteenwoordig onderskeidelik: krag vanaf M1 krag van M2 en sentrifugale krag. Die punte L3, L1, L2 kom voor waar die versnelling nul is - sien die grafiek regs.

Alhoewel die L1, L2, en L3 punte is nominaal onstabiel, daar word byna stabiele periodieke wentelbane genoem stralebane rondom hierdie punte in 'n drieliggaamstelsel. 'N Vol nliggaamsdinamiese stelsel soos die sonnestelsel bevat nie hierdie periodieke wentelbane nie, maar wel kwasi-periodieke (d.w.z. begrensde maar nie presies herhalende) wentelbane wat volg op Lissajous-kurwe. Hierdie kwasi-periodieke Lissajous-wentelbane is wat die meeste Lagrangiaanse-ruimtemissies tot nou toe gebruik het. Alhoewel hulle nie heeltemal stabiel is nie, hou 'n beskeie poging om stasie te hou 'n ruimtetuig lank in 'n gewenste Lissajous-baan.

Vir Sun – Earth-L1 missies, is dit verkieslik dat die ruimtetuig in 'n groot amplitude (100.000-200.000 km of 62.000-124.000 mi) Lissajous wentel om L1 as om by L te bly1, omdat die lyn tussen Son en Aarde die soninterferensie by kommunikasie tussen die aarde en die ruimtetuig verhoog het. Net so beweeg 'n Lissajous met 'n groot amplitude om L2 hou 'n sonde uit die Aarde se skaduwee en sorg dus vir voortdurende verligting van sy sonpanele.

Die L4 en L5 punte is stabiel mits die massa van die primêre liggaam (bv. die aarde) minstens 25 [noot 1] maal die massa van die sekondêre liggaam (bv. die maan) is. [17] [18] Die aarde is meer as 81 keer die massa van die maan (die maan is 1,23% van die massa van die aarde [19]). Alhoewel die L4 en L5 punte word bo-aan 'n "heuwel" aangetref, want in die effektiewe potensiële kontoerperseel hierbo is dit tog stabiel. Die rede vir die stabiliteit is 'n tweede-orde-effek: as 'n liggaam wegbeweeg van die presiese Lagrange-posisie, Coriolis-versnelling (wat afhang van die snelheid van 'n wentelende voorwerp en nie as 'n kontoerkaart gemodelleer kan word nie) [18] buig die baan in 'n pad om (eerder as weg van) die punt af. [18] [20] Omdat die bron van stabiliteit die Coriolis-krag is, kan die resulterende wentelbane stabiel wees, maar oor die algemeen nie vlak nie, maar "driedimensioneel": hulle lê op 'n skewe oppervlak wat die ekliptiese vlak sny. Die niervormige bane word gewoonlik getoon rondom L4 en L5 is die projeksies van die wentelbane op 'n vlak (bv. die ekliptika) en nie die volle 3D-wentelbane nie.

Hierdie tabel gee 'n lys van voorbeeldwaardes van L1, L2, en L3 binne die sonnestelsel. Berekeninge neem aan dat die twee liggame in 'n perfekte sirkel wentel met 'n skeiding gelyk aan die halfas en geen ander liggame is naby nie. Afstande word gemeet vanaf die massamiddelpunt van die groter liggaam met L3 vertoon 'n negatiewe ligging. Die persentasie kolomme wys hoe die afstande vergelyk word met die half as. Bv. vir die maan, L1 is 326 400 km vanaf die Aarde se middelpunt, wat 84,9% van die Aarde – Maan-afstand of 15,1% voor die Maan L is2 is 448 900 km van die Aarde se middelpunt, wat 116,8% van die Aarde – Maan-afstand of 16,8% buite die Maan en L is3 is −381 700 km vanaf die Aarde se middelpunt, wat 99,3% van die Aarde – Maan-afstand of 0,7084% voor die 'negatiewe' posisie van die Maan is.

Lagrangian-punte in sonnestelsel
Liggaamspaar Halfas, SMA (× 10 9 m) L1 (× 10 9 m) 1 - L1/ SMA (%) L2 (× 10 9 m) L2/ SMA - 1 (%) L3 (× 10 9 m) 1 + L.3/ SMA (%)
Aarde – Maan 0.3844 0.326 39 15.09 0.4489 16.78 −0.381 68 0.7084
Son – Mercurius 57.909 57.689 0.3806 58.13 0.3815 −57.909 0.000 009 683
Son – Venus 108.21 107.2 0.9315 109.22 0.9373 −108.21 0.000 1428
Son – Aarde 149.6 148.11 0.997 151.1 1.004 −149.6 0.000 1752
Son – Mars 227.94 226.86 0.4748 229.03 0.4763 −227.94 0.000 018 82
Son – Jupiter 778.34 726.45 6.667 832.65 6.978 −777.91 0.055 63
Son – Saturnus 1 426 .7 1 362 .5 4.496 1 492 .8 4.635 −1 426 .4 0.016 67
Son – Uranus 2 870 .7 2 801 .1 2.421 2 941 .3 2.461 −2 870 .6 0.002 546
Son – Neptunus 4 498 .4 4 383 .4 2.557 4 615 .4 2.602 −4 498 .3 0.003 004

Sun – Earth Edit

Son – Aarde L1 is geskik vir waarnemings van die Sun – Earth-stelsel. Voorwerpe hier word nooit deur die aarde of die maan in die skadu gestel nie, en as u die aarde aanskou, kyk hulle altyd na die sonlig. Die eerste missie van hierdie soort was die 1978 International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) missie wat gebruik word as 'n interplanetêre stormwaarskuwing vir sonsteurings. [21] Sedert Junie 2015 wentel DSCOVR die L1 punt. Omgekeerd is dit ook nuttig vir ruimtegebaseerde sonteleskope, want dit bied 'n ononderbroke uitsig op die son en enige ruimtelike weer (insluitend die sonwind en koronale massa-uitwerpings) bereik L1 tot 'n uur voor die aarde. Son- en helioferiese missies wat tans rondom L1 sluit die son- en heliosfeerwaarneming, wind en die gevorderde samestellingsverkenner in. Beplande missies sluit in die Interstellar Mapping and Acceleration Probe (IMAP).

Son – Aarde L2 is 'n goeie plek vir ruimtelike observatoriums. Omdat 'n voorwerp rondom L2 dieselfde relatiewe posisie ten opsigte van die son en die aarde sal handhaaf, is afskerming en kalibrasie baie eenvoudiger. Dit is egter effens buite die bereik van die aarde se umbra, [22], sodat sonstraling nie heeltemal by L geblokkeer word nie2. Ruimtetuie wentel gewoonlik om L2, om gedeeltelike verduisterings van die son te vermy om 'n konstante temperatuur te handhaaf. Vanaf plekke naby L2, die son, aarde en maan relatief naby mekaar in die lug is, beteken dit dat 'n groot sonskerm met die teleskoop aan die donker kant die teleskoop passief kan afkoel tot ongeveer 50 K - dit is veral nuttig vir infrarooi sterrekunde en waarnemings van die kosmiese mikrogolfagtergrond. Die James Webb-ruimteteleskoop moet by L geposisioneer word2.

Son – Aarde L3 was 'n gewilde plek om 'n "Counter-Earth" in pulp wetenskapfiksie en strokiesboeke te plaas. Nadat ruimte-gebaseerde waarneming via satelliete [23] en sondes moontlik geword het, is daar getoon dat dit nie so 'n voorwerp het nie. Die Son – Aarde L3 is onstabiel en kan baie lank nie 'n natuurlike voorwerp, groot of klein, bevat nie. Dit is omdat die gravitasiekragte van die ander planete sterker is as dié van die Aarde (Venus kom byvoorbeeld binne 0,3 AE van hierdie L3 elke 20 maande).

'N Ruimtetuig wat naby Sun – Earth wentel3 in staat sou wees om die evolusie van aktiewe sonvlekstreke fyn dop te hou voordat dit in 'n geo-effektiewe posisie draai, sodat 'n 7-dae vroeë waarskuwing deur die NOAA Space Weather Prediction Centre uitgereik kan word. Daarbenewens is 'n satelliet naby Sun – Earth L3 baie waarnemings sal lewer, nie net vir die aarde se voorspellings nie, maar ook vir diepe ruimte-ondersteuning (Marsvoorspellings en vir bemande sending na asteroïede naby die aarde). In 2010 dra ruimtetuie trajekte oor na Sun – Earth L3 is bestudeer en verskeie ontwerpe is oorweeg. [24]

Opdragte na Lagrangian-punte wentel gewoonlik oor die punte eerder as om dit direk te beset.

'N Ander interessante en nuttige eienskap van die kollinêre Lagrangian-punte en hul gepaardgaande Lissajous-wentelbane, is dat dit as' poortjies 'dien om die chaotiese bane van die Interplanetêre Vervoernetwerk te beheer.

Aarde – maan wysig

Aarde – maan L1 bied betreklik maklike toegang tot die Lunar- en Aarde-bane met minimale snelheidsverandering, en dit het die voordeel om 'n halfbemande ruimtestasie te plaas wat bedoel is om vrag en personeel na die Maan en terug te vervoer.

Aarde – maan L2 is gebruik vir 'n kommunikasiesatelliet wat die verste kant van die Maan bedek, byvoorbeeld Queqiao, wat in 2018 van stapel gestuur is, [25] en sou 'n "ideale plek" wees vir 'n dryfstofdepot as deel van die voorgestelde argitektuur vir ruimtevervoer. [26]

Sun – Venus Edit

Wetenskaplikes van die B612-stigting was van plan om Venus se L te gebruik3 wys om hul beplande Sentinel-teleskoop te plaas, wat daarop gemik was om terug te kyk na die baan van die aarde en 'n katalogus saam te stel van asteroïdes naby die aarde. [28]

Sun – Mars Edit

In 2017 is die idee om 'n magnetiese dipoolskerm by die Sun – Mars L te plaas1 punt vir gebruik as kunsmatige magnetosfeer vir Mars is tydens 'n NASA-konferensie bespreek. [29] Die idee is dat dit die atmosfeer van die planeet sal beskerm teen die sonstraling en sonwinde.

Ruimtetuie by Sun – Earth L1 Wysig

International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) het sy missie by die Sun – Earth L begin1 voordat hy 'n komeet in 1982 onderskep het. The Sun – Earth L.1 is ook die punt waartoe die Reboot ISEE-3-sending probeer het om die tuig terug te gee as die eerste fase van 'n herstelmissie (vanaf 25 September 2014 het alle pogings misluk en kontak is verlore). [30]

Son- en heliosfeerwaarneming (SOHO) is in 'n halo-baan by L gestasioneer1, en die Advanced Composition Explorer (ACE) in 'n Lissajous-baan. WIND is ook by L1. Die Interstellar Mapping and Acceleration Probe, wat tans in die laat 2024 bekendgestel word, sal naby L geplaas word1.

Deep Space Climate Observatory (DSCOVR), wat op 11 Februarie 2015 van stapel gestuur is, het om L begin draai1 op 8 Junie 2015 om die sonwind en die uitwerking daarvan op die aarde te bestudeer. [31] DSCOVR staan ​​nie-amptelik bekend as GORESAT, omdat dit 'n kamera dra wat altyd op die aarde gerig is en 'n volledige raamfoto's van die planeet neem, soortgelyk aan die Blue Marble. Hierdie konsep is in 1998 deur die destydse vise-president van die Verenigde State Al Gore voorgestel [32] en was 'n middelpunt in sy film uit 2006 'N Ongemaklike waarheid. [33]

LISA Pathfinder (LPF) is op 3 Desember 2015 van stapel gestuur en by L aangekom1 op 22 Januarie 2016, waar dit onder andere die tegnologie getoets het wat (e) LISA benodig het om swaartekraggolwe op te spoor. LISA Pathfinder het 'n instrument gebruik wat uit twee klein goue allooi blokkies bestaan.

Nadat die maanmonsters na die aarde teruggevoer is, is die vervoermodule van Chang'e 5 met sy oorblywende brandstof na L1 gestuur op 16 Desember 2020, waar dit permanent gestasioneer is om beperkte Aarde-Son-waarnemings uit te voer.

Ruimtetuie by Sun – Earth L2 Wysig

Ruimtetuie by die Son – Aarde L2 punt is in 'n Lissajous-baan totdat dit in gebruik geneem word, wanneer hulle na 'n heliosentriese kerkhofbaan gestuur word.


Lagrange-punte en die radius van die Hill-sfeer - Sterrekunde

Die Hill Sphere Radius sakrekenaar bereken die radius vanaf 'n planeet waar 'n voorwerp nie meer onder die dominante invloed van die swaartekrag van die planeet is nie, maar nou onder die dominante invloed van die swaartekrag van die ster.

INSTRUKSIES: Kies eenhede en voer die volgende in:

  • (a) Halfhoofas van die wentelbaan van die planeet om die ster.
  • (e) Eksentrisiteit van die wentelbaan van die planeet om die ster.
  • (m) Massa van die planeet (of kleiner voorwerp).
  • (M) Massa van die ster (of groter voorwerp).

Hill Sphere Radius (r): Die sakrekenaar gee die radius in kilometer terug. Dit kan egter outomaties omgeskakel word na ander afstandseenhede (bv. Myl) via die aftreklys.

Die wiskunde / wetenskap

  • r = Heuwelsfeerradius
  • a = semi-hoofas van die baan
  • e = eksentrisiteit of die baan
  • m = kleiner massa (bv. planeet)
  • M = groter massa (bv. Son)

Sterrekunde Sakrekenaars

  • Sterrekunde Sakrekenaar: Dit bevat meer as 30 funksies wat nuttig is vir sterrekundiges en en sterrekundestudente.
  • Kelper & aposs Third Law Calculator: Dit bevat die Kepler & aposs Third Law wat vir elke parameter opgelos is.
  • Swaartekrag: Dit bereken die swaartekrag tussen twee liggame.
  • Schwarzschild Radius
  • Ontsnap snelheid
  • Massa van 'n swart gat

Spesiale dankie

Dankie aan Robert Frost, instrukteur en vlugbeheerder by NASA vir die plasing van hierdie formule op Quora.


Daar is 5 Lagrange-posisies.


Lagrange punte is die vyf posisies in die interplanetêre ruimte waar 'n klein voorwerp wat slegs deur swaartekrag beïnvloed word, teoreties stil kan wees in verhouding tot twee groter voorwerpe (soos 'n satelliet ten opsigte van die aarde en die maan). Die Lagrange-punte dui posisies aan waar die gesamentlike swaartekrag van die twee groot massas presies die sentripetale krag verskaf wat benodig word om daarmee te draai. Hulle is analoog aan geosinchrone wentelbane deurdat dit toelaat dat 'n voorwerp in 'n "vaste" posisie in die ruimte is, eerder as 'n baan waarin die relatiewe posisie voortdurend verander. Lagrange-punte word ook genoem L-punte, of librasiepunte.

'N Meer presiese, maar tegniese definisie is dat die Lagrangian-punte die stilstaande oplossings is vir die sirkelvormige beperkte drie-liggaamsprobleem. Gegewe byvoorbeeld twee massiewe liggame in sirkelbane om hul gemeenskaplike massamiddelpunt, is daar vyf posisies in die ruimte waar 'n derde liggaam, met 'n relatief weglaatbare massa, geplaas kan word wat dan sy posisie sal handhaaf in verhouding tot die twee massiewe liggame. Soos aangetoon in 'n verwysingsraamwerk wat met dieselfde tydperk as die twee liggame wat saam wentel, draai, is die gravitasievelde van twee massiewe liggame gekombineer met die sentrifugale krag in balans op die Lagrangiaanse punte, wat die derde liggaam in staat stel om respekvol te wees. na die eerste twee liggame.

Geskiedenis en konsepte van Lagrange-punte.

In 1772 was die beroemde Italiaans-Franse wiskundige Joseph Louis Lagrange besig met die beroemde drieliggaamprobleem toe hy 'n interessante eienaardigheid in die uitslae ontdek. Oorspronklik was hy van plan om 'n manier te ontdek om die gravitasie-interaksie tussen willekeurige getalle liggame in 'n stelsel maklik te bereken, omdat die Newtonse meganika tot die gevolgtrekking kom dat so 'n stelsel daartoe lei dat die liggame chaoties wentel totdat daar 'n botsing is, of 'n liggaam gegooi word. buite die stelsel sodat ewewig bereik kan word. Die logika agter hierdie gevolgtrekking is dat 'n stelsel met een liggaam onbenullig is, aangesien dit bloot staties is in verhouding tot homself. 'N Stelsel met twee liggame is baie eenvoudig om op te los, aangesien die liggame om hul gemeenskaplike swaartepunt wentel. Sodra meer as twee liggame ingestel word, raak die wiskundige berekeninge egter baie ingewikkeld. 'N Situasie ontstaan ​​waar u elke gravitasie-interaksie tussen elke voorwerp op elke punt langs die baan moet bereken.

Lagrange wou dit egter eenvoudiger maak. Hy het dit gedoen met 'n eenvoudige gevolgtrekking: Die baan van 'n voorwerp word bepaal deur 'n pad te vind wat die aksie oor tyd minimaliseer. Dit word gevind deur die potensiële energie van die kinetiese energie af te trek. Met hierdie denkwyse het Lagrange die klassieke Newtonse meganika herformuleer om aanleiding te gee tot Lagrangiese meganika. Met sy nuwe stelsel van berekeninge het Lagrange & rsquos-werk daartoe gelei dat hy 'n veronderstelling het dat 'n derde liggaam met 'n onbeduidende massa om twee groter liggame sou wentel wat reeds om mekaar wentel, wat op spesifieke punte in sy baan stilstaande sou word in verhouding tot een van sy gasheerliggame. (planete). Hierdie punte is aangewys as & # 34Langraanse punte & # 34 ter ere van Lagrange.

In die meer algemene geval van elliptiese wentelbane is daar nie meer stilstaande nie punte in dieselfde sin: dit word meer 'n Lagrangian & # 34area & # 34. Die Lagrangiaanse punte wat op elke tydstip gebou word, vorm in die sirkelvormige stilstaande elliptiese bane wat soortgelyk is aan die wentelbane van die massiewe liggame. Dit is te wyte aan die tweede wet van Newton (), waar p = mv (bl die Momentum, m die massa, en v die snelheid) is onveranderlik as krag en posisie volgens dieselfde faktor geskaal word. 'N Liggaam op 'n Lagrangiaanse punt wentel met dieselfde periode as die twee massiewe liggame in die sirkelvormige geval, wat impliseer dat dit dieselfde verhouding van gravitasiekrag tot radiale afstand het as hulle. Hierdie feit is onafhanklik van die sirkelvormigheid van die bane, en dit impliseer dat die elliptiese bane wat deur die Lagrangiaanse punte opgespoor word, oplossings is vir die bewegingsvergelyking van die derde liggaam.

Die Lagrangian-punte. The five Lagrangian points are labeled and defined as follows:

Die L1 point lies on the line defined by the two large masses M1 and M2, and between them.

Voorbeeld: An object which orbits the Sun more closely than the Earth would normally have a shorter orbital period than the Earth, but that ignores the effect of the Earth's own gravitational pull. If the object is directly between the Earth and the Sun, then the effect of the Earth's gravity is to weaken the force pulling the object towards the Sun, and therefore increase the orbital period of the object. The closer to Earth the object is, the greater this effect is. At the L1 point, the orbital period of the object becomes exactly equal to the Earth's orbital period.

The Sun-Earth L1 is ideal for making observations of the Sun. Objects here are never shadowed by the Earth or the Moon. The Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) is stationed in a Halo orbit at the L1 and the Advanced Composition Explorer (ACE) is in a Lissajous orbit, also at the L1 punt. The Earth-Moon L1 allows easy access to lunar and earth orbits with minimal delta-v, and would be ideal for a half-way manned space station intended to help transport cargo and personnel to the Moon and back.

Die L2 point lies on the line defined by the two large masses, beyond the smaller of the two.

Voorbeeld: On the side of the Earth away from the Sun, the orbital period of an object would normally be greater than that of the Earth. The extra pull of the Earth's gravity decreases the orbital period of the object, and at the L2 point that orbital period becomes equal to the Earth's.

Sun-Earth L2 is a good spot for space-based observatories. Because an object around L2 will maintain the same orientation with respect to the Sun and Earth, shielding and calibration are much simpler. The Wilkinson Microwave Anisotropy Probe is already in orbit around the Sun-Earth L2. The future Herschel Space Observatory and Gaia probe as well as the proposed James Webb Space Telescope will be placed at the Sun-Earth L2. Earth-Moon L2 would be a good location for a Communications satellite covering the Moon's far side.

If M2 is much smaller than M1, then L1 en L2 are at approximately equal distances r from M2, equal to the radius of the Hill sphere, given by:

waar R is the distance between the two bodies.

This distance can be described as being such that the Orbital period, corresponding to a circular orbit with this distance as radius around M2 in the absence of M1, is that of M2 around M1, divided by .

Die L3 point lies on the line defined by the two large masses, beyond the larger of the two.

Voorbeeld: L3 in the Sun-Earth system exists on the opposite side of the Sun, a little farther away from the Sun than the Earth is, where the combined pull of the Earth and Sun again causes the object to orbit with the same period as the Earth. The Sun-Earth L3 point was a popular place to put a "Counter-Earth" in pulp science fiction and comic books - though of course, once space based observation was possible via satellites and probes, it was shown to hold no such object.

Die L4 en L5 points lie at the third point of an equilateral triangle whose base is the line between the two masses, such that the point is ahead of (L4), or behind (L5), the smaller mass in its orbit around the larger mass.

The reason these points are in balance is that at L4 en L5, the distances to the two masses are equal. Accordingly, the gravitational forces from the two massive bodies are in the same ratio as the masses of the two bodies, and so the resultant force acts through the barycentre of the system additionally, the geometry of the triangle ensures that the resultant acceleration is to the distance from the barycentre in the same ratio as for the two massive bodies. The barycentre being both the centre of mass and centre of rotation of the system, this resultant force is exactly that required to keep a body at the Lagrange point in orbital equilibrium with the rest of the system. (Indeed, the third body need not have negligible mass the general triangular configuration was discovered by Lagrange in work on the 3-body problem.)

L4 en L5 are sometimes called triangular Lagrange points of Trojan points. Die naam Trojan points comes from the Trojan asteroids at the Sun-Jupiter L4 en L5 points, which themselves are named after characters from Homer's Iliad (the legendary siege of Troy).

  • The Sun-Earth L4 en L5 points lie 60º ahead of and 60º behind the Earth in its orbit around the Sun. They contain interplanetary dust.
  • The Sun-Jupiter L4 en L5 points are occupied by the Trojan asteroids.
  • Neptune has Trojan Kuiper Belt objects at its Trojan points.
  • Saturn's moon Tethys has two much smaller satellites at its L4 en L5 points named Telesto and Calypso.
  • Saturn's moon Dione has a smaller moon Helene at its L4 punt.
  • The giant impact hypothesis suggests that an object named Theia formed at L4 or L5 and crashed into the Earth after its orbit destabilized, forming the moon.

Stability of Lagrange points.

The first three Lagrangian points are technically stable only in the plane perpendicular to the line between the two bodies. This can be seen most easily by considering the L1 punt. A test mass displaced perpendicularly from the central line would feel a force pulling it back towards the equilibrium point. This is because the lateral components of the two masses' gravity would add to produce this force, whereas the components along the axis between them would balance out. However, if an object located at the L1 point drifted closer to one of the masses, the gravitational attraction it felt from that mass would be greater, and it would be pulled closer. (The pattern is very similar to that of tidal forces.)

Although the L1, L2, and L3 points are nominally unstable, it turns out that it is possible to find stable periodic orbits around these points, at least in the restricted three-body problem. These perfectly periodic orbits, referred to as "halo" orbits, do not exist in a full n-body dynamical system such as the solar system. However, quasi-periodic (i.e. bounded but not precisely repeating) Lissajous orbits do exist in the n-body system. These quasi-periodic orbits are what all libration point missions to date have used. Although they are not perfectly stable, a relatively modest effort at station keeping can allow a spacecraft to stay in a desired Lissajous orbit for an extended period of time. It also turns out that, at least in the case of Sun-Earth L1 missions, it is actually preferable to place the spacecraft in a large amplitude (100,000-200,000 km) Lissajous orbit instead of having it sit at the libration point, because this keeps the spacecraft off the direct Sun-Earth line and thereby reduces the impacts of solar interference on the Earth-spacecraft communications links. Another interesting and useful property of the collinear libration points and their associated Lissajous orbits is that they serve as "gateways" to control the chaotic trajectories of the Interplanetary Transport Network.

In contrast to the collinear libration points, the triangular points (L4 en L5) are stable equilibria (cf. attractor), provided the ratio of the masses M1/M2 is > 24.96. This is the case for the Sun/Earth and Earth/Moon systems, though by a smaller margin in the latter. When a body at these points is perturbed, it moves away from the point, but the Coriolis effect then acts, and bends the object's path into a stable, kidney bean-shaped orbit around the point (as seen in the rotating frame of reference).

Libration point missions.

The libration point orbits have unique characteristics that have made them a good choice for performing some kinds of missions. NASA has operated a number of spacecraft at the Sun-Earth L1 en L2 points, including

The L5 Society was a precursor of the National Space Society, and promoted the possibility of establishing a colony and manufacturing facility in orbit around the L4 and/or L5 points in the Earth-Moon system (see Space colonisation).

Natural examples of Lagrange points.

In the Sun-Jupiter system several thousand asteroids, collectively referred to as Trojan asteroids, are in orbits around the Sun-Jupiter L4 en L5 points. Other bodies can be found in the Sun-Saturn, Sun-Mars, Sun-Neptune, Jupiter-Jovian satellite, and Saturn-Saturnian satellite systems. There are no known large bodies in the Sun-Earth system's Trojan points, but clouds of dust surrounding the L4 en L5 points were discovered in the 1950s. Clouds of dust, called Kordylewski clouds, even fainter than the notoriously weak gegenschein, are also present in the L4 en L5 of the Earth-Moon system.

The Saturnian moon Tethys has two smaller moons in its L4 en L5 points, Telesto and Calypso. The Saturnian moon Dione also has two Lagrangian co-orbitals, Helene at its L4 point and Polydeuces at L5. The moons wander azimuthally about the Lagrangian points, with Polydeuces describing the largest deviations, moving up to 32 degrees away from the Saturn-Dione L5 punt. Tethys and Dione are hundreds of times more massive than their "escorts" (see the moons' articles for exact diameter figures masses are not known in several cases), and Saturn is far more massive still, which makes the overall system stable.

Lagrange points other co-orbitals.

The Earth's companion object 3753 Cruithne is in a relationship with the Earth which is somewhat Trojan-like, but different from a true Trojan. This asteroid occupies one of two regular solar orbits, one of them slightly smaller and faster than the Earth's orbit, and the other slightly larger and slower. The asteroid periodically alternates between these two orbits due to close encounters with Earth. When the asteroid is in the smaller, faster orbit and approaches the Earth, it loses orbital energy to the Earth and moves into the larger, slower orbit. It then falls farther and farther behind the earth, and eventually Earth approaches it from the other direction. Then the asteroid gains orbital energy from the Earth, and the asteroid moves back into the smaller orbit, thus beginning the cycle anew. The cycle has no noticeable impact on the length of the year, because Earth's mass is over 20 billion (2 10 10 ) times more than 3753 Cruithne.

Epimetheus and Janus, satellites of Saturn, have a similar relationship, though they are of similar masses and so actually exchange orbits with each other periodically. (Janus is roughly 4 times more massive, but still light enough for its orbit to be altered.) Another similar configuration is known as orbital resonance, in which orbiting bodies tend to have periods of a simple integer ratio, due to their interaction.

Lagrange points in fiction.

Lagrange points are mentioned most famously in the science fiction film 2010: Die jaar wat ons kontak maak, and the anime saga Mobile Suit Gundam. In the latter, clusters of space colonies (called "Sides") are located at the five Lagrange points of Earth, in addition to resource satellites and space fortresses. Lagrange Points have been mentioned in several other Gundam series as well.

The Lagrange points are mentioned in science fiction from time to time (most often hard science fiction), but, due to the general lack of public familiarity with them, they are rarely used as a plot device or reference.

The L5 Lagrange point is mentioned in L5: First City in Space, an early IMAX 3D movie.

In William Gibson's novel Neuromancer, much of the action takes place in the L5 "archipelago", the location of many space stations.

Lagrange points also play a role in the Larry Niven/Jerry Pournelle classic The Mote in God's Eye.

The eponymous interplanetary relay station in George O. Smith's "Venus Equilateral" stories was located in the L4 point of the Sun-Venus system.

In Robert Forward's Rocheworld the locations for Lagrange points around a binary planet are disscussed in contrast to typical system.

The planet Troas in the stories "Sucker Bait" by Isaac Asimov and "Question and Answer" by Poul Anderson was located in the L5 point of a fictional Binary star system.

In die Star Trek: The Next Generation episode, "The Survivors", the Enterprise is surprised by an enemy ship that had been hiding in a Lagrange point.

The space station Babylon 5 is described to be located "at the L-5 point in a binary star system between a moon and a barren, lifeless planet."

In the Independence War computer games, Lagrange points are used as the only locations for jump-points.

In the Battletech game series, a star's Nadir and Zenith are the standard hyperspace jump points for most interstellar spacecraft. Lagrange points (usually the L4 and L5 points) are sometimes used to enter a system closer to planets, almost always for small-scale military or pirate operations due to the risk of catastrophic misjumps.

In the PC video game Star Wars: X-Wing, Lagrange points are mentioned in the briefings of some missions that revolve around attacking objects placed at them.

In the Xbox video game Halo: Combat Evolved (2001) and sequel Halo 2 (2004), Halo Megastructures play key locations throughout the games. In Halo: CE en Halo 2, the Halo structures are in L1 Lagrange points between the Gas Giants (and a moon) Threshold and Substance, respectively.

In the Robert A. Heinlein novel The Number of the Beast, two of the main characters engage in a discussion of adding planets to the Solar System at Lagrange points.

In Hideo Kojima's video game Policenauts, the setting of the game, an O'Neill model space colony, is located at the L5 Lagrange point.

In the sci-fi series Stargate Atlantis there was a defensive Lagrangian satellite, which was most likely positioned at one of the Langrangian points.

In the Hugo Award-winning novel A Deepness in the Sky by Vernor Vinge, a temporary human habitat is built at the L1 point between the planet Arachna and its primary star, a highly variable Dwarf called the On/Off Star.

In Peter F Hamilton's Night's Dawn Trilogy, a ZZT jump drive cannot be used in a strong gravitational field. In the second book of the trilogy, The Neutronium Alchemist, the main characters cannot escape from a gas giant's gravity well before their pursuers catch up with them. Instead, they race to the Lagrange point between the gas giant and one of its moons in order to activate their drive.

In the TV series Quatermass II, the hostile aliens live on a small asteroid "no more than half a mile across" at a "theoretical point of equilibrium" on the dark side of the earth, although neither L2 or Lagrange are mentioned by name (the term "Bieber Variation" is used instead).


Calculations

  • Sun’s distance = 1 AU
  • Moon’s distance = 406700 km (the farthest point from Earth)
  • Sun’s gravitational acceleration = G * solar mass / (AU-406700 km)^2 = 0.00596433161 m / s²
  • Earth’s gravitational acceleration = (G * earth mass) / ((406700 km)^2) = 0.00240977603 m / s²
  • Centrifugal acceleration = ((G * solar mass) / (AU^3)) * (AU – (406700 km)) = 0.00591581945 m / s²
  • Total acceleration away from the Sun = 0.00240977603 m / s² + 0.00591581945 m / s² = 0.00832559548 m / s²

Because Sun’s gravitational acceleration is less than the total acceleration away from the Sun, then it is possible for the Moon to orbit Earth.

The case of an object at the edge of Earth’s Hill sphere:

  • Sun’s distance = 1 AU
  • Object’s distance = 1500000 km
  • Sun’s gravitational acceleration = G * solar mass / (AU-1500000 km)^2 = 0.00605271739m / s²
  • Earth’s gravitational acceleration = (G * earth mass) / ((1500000 km)^2) = 0.00017715055 m / s ²
  • Centrifugal acceleration = ((G * solar mass) / (AU^3)) * (AU – (1500000 km)) = 0.00587246725 m / s ²
  • Total acceleration away from the Sun = 0.00017715055 m / s² + 0.00587246725 m / s² = 0.0060496178 m / s²

The sun’s gravitational acceleration is about the same as the total acceleration away from the Sun. It will not be possible for an object here to have a stable orbit around Earth, nor around the Sun. But it is possible to have a stable orbit around this point at the edge of Earth’s Hill sphere, which is called the Lagrangian point L1.


Stability

Although the L1, L2, and L3 points are nominally unstable, it turns out that it is possible to find (unstable) periodic orbits around these points, at least in the restricted three-body problem. These periodic orbits, referred to as "halo" orbits, do not exist in a full n-body dynamical system such as the Solar System. However, quasi-periodic (i.e. bounded but not precisely repeating) orbits following Lissajous-curve trajectories do exist in the n-body system. These quasi-periodic Lissajous orbits are what most of Lagrangian-point missions to date have used. Although they are not perfectly stable, a relatively modest effort at station keeping can allow a spacecraft to stay in a desired Lissajous orbit for an extended period of time. It also turns out that, at least in the case of Sun–Earth-L1 missions, it is actually preferable to place the spacecraft in a large-amplitude (100,000–200,000 km or 62,000–124,000 mi) Lissajous orbit, instead of having it sit at the Lagrangian point, because this keeps the spacecraft off the direct line between Sun and Earth, thereby reducing the impact of solar interference on Earth–spacecraft communications. Similarly, a large-amplitude Lissajous orbit around L2 can keep a probe out of Earth's shadow and therefore ensures a better illumination of its solar panels.


Calculation

Mostly one assumes that the SOI is a sphere , the radius of which can be calculated using the following formula:

  • a P < displaystyle a_

    > the major semi-axis of the planet's orbit (which corresponds to the distance from the sun, i.e. the radius of the orbit around the sun, in the case of circular orbits)

  • m < displaystyle m>the respective mass .

That is, the further the planet is from the sun and the heavier it is, the larger the sphere of influence is.


Lagrange points and the radius of the Hill sphere - Astronomy

Die Hill Sphere Radius calculator computes the radius from a planet where an object is no longer under the dominant influence of the gravity of the planet but is now under the dominant influence of the gravity of the star.

INSTRUCTIONS: Choose units and enter the following:

  • (a) Semi-major axis of the orbit of the planet about the star.
  • (e) Eccentricity of the orbit of the planet about the star.
  • (m) Mass of the planet (or smaller object).
  • (M) Mass of the star (or larger object).

Hill Sphere Radius (r): The calculator returns the radius in kilometers. However, this can be automatically converted to other distance units (e.g. miles) via the pull-down menu.

The Math / Science

  • r = Hill Sphere Radius
  • a = semi-major axis of the orbit
  • e = eccentricity or the orbit
  • m = smaller mass (e.g. planet)
  • M = greater mass (e.g. Sun)

Astronomy Calculators

  • Astronomy Calculator : This contains over 30 functions useful to astronomers and and astronomy students.
  • Kelper&aposs Third Law Calculator : This contains the Kepler&aposs Third Law solved for each parameter.
  • Force of Gravity : This compute the force of gravity between two bodies.
  • Schwarzschild Radius
  • Escape Velocity
  • Mass of a Black Hole

Special Thanks

Thanks to Robert Frost, Instructor and Flight Controller at NASA for posting this formula on Quora.


Answers and Replies

Google for Hill Sphere. Wikipedia has a good site. The Hill Sphere will give you the distance to the L1 and L2 points.

L3 is in Earth's orbit, on the opposite side of the Sun, so it is exactly 2 AU away.

L4 and L5 are 60 degrees ahead of and behind the Earth. The Earth, Sun, and L4 form an equilateral triangle, as do the Earth, Sun, and L5. So the Earth L5 distance is 1 AU. The Earth L4 distance is 1 AU. The Sun is also 1 AU from both these points.

Actually, one mass doesn't need to be smaller than the other two, at least for the L4 & L5. And I suspect the other 3 L points as well. The two orbiting masses combined need to be at most

1/25 the mass of the large object. It's possible for an Earth-mass planet to be in Earth's L4 or L5 point.


Kyk die video: CNC Press Brake for Street Light Steel Poles for Sheet Bending Octagonal Pole High Mast Pole (November 2022).