Verkry raaklyn (oorsprong) van die standaardkoördinaatstelsel

We are searching data for your request:

Forums and discussions:

Manuals and reference books:

Data from registers:

Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

HI HY OM AI oY Cd HR uJ HU xl Ot kU xt GE wr

In 'n vorige vraag (Transformeer pixelkoördinate (in FITS-lêer) na ekwatoriaal), het Rob 'n uitstekende bron verskaf wat die proses beskryf om hemelse koördinate vir objekte in 'n waargenome veld te verkry.

Die bron noem die raakpunt in die beskrywing van die standaardkoördinaatstelsel:

Dit is die projeksie van die RA en DEC van 'n voorwerp op die raakvlak van die hemel, dit wil sê die vlak wat raak aan die sfeer van die lug wat die lug sny op die raakpunt (wat gewoonlik effens verreken vanaf die beeldsentrum). Die X-koördinaat is in lyn met RA en die Y-koördinaat is in lyn met DEC. Die oorsprong van die standaardstelsel is op die raakpunt in die beeld.

Ek sou aanvaar dat die raakpunt (dws die oorsprong van die standaard koördinaatstelsel) in die middel van die waargenome veld sou wees. Dit is blykbaar nie korrek nie, dus die vrae:

~~Waarom word die raakpunt gewoonlik verskuif vanaf die beeldsentrum?~~ (Sien Wysig hieronder)
Hoe word die raakpunt $ ( alpha_0, delta_0) $ verkry?

Wysig

Die antwoord op die eerste vraag het ek gevind in The Handbook of Astronomical Image Processing, Berry, R. & Burnell, J. (Willmann-Bell, Tweede uitgawe 2005).

In hoofstuk 9 van hierdie boek word astrometrie bespreek. Standaardkoördinate word op bladsy 253 bekendgestel en die effekte wat die raakpunt $ ( alpha_0, delta_0) $ versteur, word op bladsy 254 bespreek:

In die werklike lewe is $ ( alpha_0, delta_0) $ egter onvermydelik van die middel van die beeld af, en die x- en y-as van die detektor sal in 'n mate gedraai word. (...) Benewens verplasing en rotasie, kan die detektor effens skuins wees in verhouding tot die inkomende lig; die vervaardiger se syfers vir die pixelafmetings kan effens onakkuraat wees by die werkingstemperatuur van die CCD; en in die geval van geskandeerde foto's, is die as moontlik nie perfek ortogonaal en ewe skaal nie.

(Figuur 9.2, outeursreg van die outeurs)

Op bladsy 258 (nadat hulle verduidelik het hoe om X, Y uit bekende posisies van verwysingssterre in die raamwerk te verkry), skakel die outeurs egter die X-, Y-koördinate om na ekwatoriale koördinate. met die veronderstelling dat $ ( alpha_0, delta_0) $ "nou bekend is".

Ek het miskien iets voor die hand liggend gemis, maar ek sien nie waar die koördinate op die voorafgaande bladsye verkry word nie. Vraag 2 staan dus steeds.

Verkry raaklyn (oorsprong) van die standaardkoördinaatstelsel - Sterrekunde

Aan die einde van hierdie afdeling is u in staat om:

Beskryf vektore in twee en drie dimensies in terme van hul komponente en gebruik eenheidsvektore langs die asse.
Onderskei tussen die vektorkomponente van 'n vektor en die skalêre komponente van 'n vektor.
Verduidelik hoe die grootte van 'n vektor gedefinieer word in terme van die komponente van 'n vektor.
Identifiseer die rigtinghoek van 'n vektor in 'n vlak.
Verduidelik die verband tussen poolkoördinate en Cartesiese koördinate in 'n vlak.

Vektore word gewoonlik beskryf in terme van hul komponente in a koördinaatstelsel . Selfs in die alledaagse lewe roep ons natuurlik die konsep van ortogonale projeksies op in 'n reghoekige koördinaatstelsel. As u byvoorbeeld iemand vra vir aanwysings na 'n spesifieke plek, sal u waarskynlik aangesê word om 40 km oos en 30 km noord as 50 km in die rigting [latex] 37 text <°> [/ latex] noord van oos.

Dit is gebruiklik om die positiewe rigting op die x-as deur die eenheidsvektor [latex] hoed [/ latex] en die positiewe rigting op die y-as deur die eenheidsvektor [latex] hoed [/ latex]. Eenheidsvektore van die asse, [latex] hoed [/ latex] en [latex] hoed [/ latex], definieer twee ortogonale rigtings in die vlak. Soos getoon in (Figuur), is die x& # 8211 en y& # 8211 komponente van 'n vektor kan nou geskryf word in terme van die eenheidsvektore van die asse:

As ons die koördinate [latex] b ken (_,_) [/ latex] van die oorsprongspunt van 'n vektor (waar b staan vir “begin”) en die koördinate [latex] e (_,_) [/ latex] van die eindpunt van 'n vektor (waar e staan vir "einde"), kan ons die skalaarkomponente van 'n vektor verkry deur die oorsprongspuntkoördinate van die eindpuntkoördinate af te trek:

Voorbeeld

Verplasing van 'n muisaanwyser

'N Muiswyser op die skerm van 'n rekenaar op sy oorspronklike posisie is op 'n punt (6,0 cm, 1,6 cm) ten opsigte van die onderste linkerhoek. Wat is die verplasingsvektor van die wyser as u die wyser na 'n ikoon op die punt (2,0 cm, 4,5 cm) skuif?

Strategie

Die oorsprong van die xy-koördinaatstelsel is die onderste linkerhoek van die rekenaarmonitor. Daarom is die eenheidsvektor [latex] [/ latex] op die x-as wys horisontaal na regs en die eenheidsvektor [latex] [/ latex] op die y-as wys vertikaal opwaarts. Die oorsprong van die verplasingsvektor is op die punt geleë b(6.0, 1.6) en die einde van die verplasingsvektor is op die punt geleë e(2.0, 4.5). Vervang die koördinate van hierdie punte in (Figuur) om die skalêre komponente [latex] te vind _ [/ latex] en [latex] _ [/ latex] van die verplasingsvektor [latex] overset < na> [/ latex]. Plaas laastens die koördinate in (Figuur) om die verplasingsvektor in die vektorkomponentvorm te skryf.

Oplossing

Die vektorkomponentvorm van die verplasingsvektor is

[latex] oorskakel < na>=_ hoed+_ hoed= (- 4.0 , teks) hoed+ (2.9 , teks) hoed= (- 4.0 hoed+2.9 hoed) teks. [/ latex] Hierdie oplossing word getoon in (Figuur 2.17).

Figuur 2.17 Die grafiek van die verplasingsvektor. Die vektor wys vanaf die oorsprongspunt by b na die eindpunt op e.

Betekenis

Let op dat die fisiese eenheid - hier, 1 cm - met elke komponent onmiddellik voor die eenheidsvektor of wêreldwyd vir beide komponente geplaas kan word, soos in (Figuur). Laasgenoemde manier is dikwels gemakliker omdat dit eenvoudiger is.

Die vektor x-komponent [latex] < ooreet < tot>>_= -4.0 hoed= 4.0 ( teks <−> hoed) [/ latex] van die verplasingsvektor het die grootte [latex] | < ooreet < tot>>_| = | -4.0 || hoed| = 4.0 [/ latex] omdat die grootte van die eenheidsvektor [latex] | hat is| = 1 [/ latex]. Let ook op dat die rigting van die x-komponent is [latex] text <−> hat [/ latex], wat antiparallel is in die rigting van die +x-as vandaar, die x-komponentvektor [latex] < ooreet < tot>>_ [/ latex] wys na links, soos getoon in (Figuur). Die skalaar x-komponent van vektor [latex] ooreet < tot> [/ latex] is [latex] _= -4,0 [/ latex].

Net so is die vektor y-komponent [latex] < ooreet < tot>>_= + 2,9 hoed [/ latex] van die verplasingsvektor het die grootte [latex] | < overset < tot>>_| = | 2.9 || hoed| = , 2.9 [/ latex] omdat die grootte van die eenheidsvektor [latex] | hat is| = 1 [/ latex]. Die rigting van die y-komponent is [latex] + hat [/ latex], wat parallel is met die rigting van die +y-as. Daarom is die y-komponentvektor [latex] < ooreet < tot>>_ [/ latex] wys op, soos gesien in (Figuur). Die skalaar y-komponent van vektor [latex] ooreet < tot> [/ latex] is [latex] _= + 2,9 [/ latex]. Die verplasingsvektor [latex] ooreet < na> [/ latex] is die resultaat van die twee vektor komponente.

Die vektorkomponentvorm van die verplasingsvektor (Figuur) vertel dat die muisaanwyser op die monitor 4,0 cm na links en 2,9 cm opwaarts beweeg is vanaf die beginposisie.

Kyk na u begrip

'N Blou vlieg land op 'n vel grafiekpapier op 'n punt wat 10,0 cm regs van sy linkerrand en 8,0 cm bo die onderrand is en loop stadig na 'n punt wat 5,0 cm van die linkerrand en 5,0 cm van die onderrand af is . Kies die reghoekige koördinaatstelsel met die oorsprong in die onderste linkerhoek van die papier en vind die verplasingsvektor van die vlieg. Illustreer u oplossing deur te teken.

[latex] oorskakel < na>= (- 5.0 hoed-3.0 hoed) teks [/ latex] het die vlieg 5,0 cm na links en 3,0 cm van sy landingsterrein af beweeg.

Figuur 2.19 Skaalkomponente van 'n vektor kan positief of negatief wees. Vektore in die eerste kwadrant (I) het beide skalêre komponente positief en vektore in die derde kwadrant het beide skalêre komponente negatief. Vir vektore in kwadrante II en III is die rigtingshoek van 'n vektor [latex] < theta> _ = theta +180 text <°> [/ latex].

Voorbeeld

Grootte en rigting van die verplasingsvektor U skuif 'n muisaanwyser op die beeldskerm vanaf die beginposisie op die punt (6,0 cm, 1,6 cm) na 'n ikoon op die punt (2,0 cm, 4,5 cm). Wat is die grootte en rigting van die verplasingsvektor van die wyser?

Strategie

In (Figuur) het ons die verplasingsvektor [latex] oorkoepel < tot> gevind [/ latex] van die muisaanwyser (sien (Figuur)). Ons identifiseer die skalêre komponente daarvan [latex] _= -4.0 , teks [/ latex] en [latex] _= + 2,9 , teks [/ latex] en vervang in (Figuur) en (Figuur) om die grootte te vind D en rigting [latex] < theta> _ [/ latex] onderskeidelik.

Oplossing

Kyk na u begrip

As die verplasingsvektor van 'n blou vlieg wat op 'n vel grafiekpapier loop, [latex] oorverhaal < na> is= (- 5,00 hoed-3.00 hoed) teks [/ latex], vind die grootte en rigting daarvan.

5,83 cm, [latex] 211 teks <°> [/ latex]

In baie toepassings is die groottes en rigtings van vektorhoeveelhede bekend en moet ons die resultant van baie vektore vind. Stel jou voor dat 400 motors in 'n sterk wind op die Golden Gate-brug in San Francisco beweeg. Elke motor gee die brug 'n ander druk in verskillende rigtings en ons wil graag weet hoe groot die gevolglike druk kan wees. Ons het al 'n bietjie ervaring opgedoen met die geometriese konstruksie van vektorsomme, dus ons weet dat die taak om die resultant te vind deur die vektore te teken en hul lengtes en hoeke te meet, redelik vinnig onuitvoerbaar kan word, wat tot groot foute kan lei. Bekommernisse soos hierdie kom nie voor wanneer ons analitiese metodes gebruik nie. Die heel eerste stap in 'n analitiese benadering is om vektorkomponente te vind wanneer die rigting en grootte van 'n vektor bekend is.

Voorbeeld

Komponente van verplasingsvektore

'N Reddingsparty vir 'n vermiste kind volg 'n soekhond met die naam Trooper. Trooper dwaal baie en maak baie proefsnuffels langs baie verskillende paaie. Trooper vind uiteindelik die kind en die verhaal het 'n gelukkige einde, maar sy verskuiwings op verskillende bene lyk regtig ingewikkeld. Op een van die pote loop hy 200,0 m suidoos, dan hardloop hy ongeveer 300,0 m noordwaarts. Op die derde been ondersoek hy die geure 50,0 m noukeurig in die rigting [latex] 30 teks <°> [/ latex] wes van noord. Op die vierde been gaan Trooper direk suid vir 80,0 m, tel 'n vars geur op en draai [latex] 23 text <°> [/ latex] wes van suid vir 150,0 m. Soek die skalêre komponente van Trooper se verplasingsvektore en sy verplasingsvektore in vektorkomponentvorm vir elke been.

Strategie

Kom ons neem 'n reghoekige koördinaatstelsel aan met die positiewe x-as in die rigting van geografiese ooste, met die positiewe y-rigting gewys op geografiese noorde. Eksplisiet is die eenheidsvektor [latex] [/ latex] van die x-as wys oos en die eenheidsvektor [latex] hoed [/ latex] van die y-as wys noord. Trooper maak vyf pote, so daar is vyf verplasingsvektore. Ons begin deur hul groottes en rigtinghoeke te identifiseer, dan gebruik ons (Figuur) om die skalêre komponente van die verplasings te vind en (Figuur) vir die verplasingsvektore.

Oplossing

Op die eerste been is die verplasingsgrootte [latex] _ <1> = 200.0 , teks [/ latex] en die rigting is suidoos. Vir rigtinghoek [latex] < theta> _ <1> [/ latex] kan ons [latex] 45 teks <°> [/ latex] kloksgewys vanuit die oostelike rigting neem, of [latex] 45 teks <° > +270 teks <°> [/ latex] links van die oostelike rigting gemeet. Met die eerste keuse, [latex] < theta> _ <1> = -45 text <°> [/ latex]. Met die tweede keuse, [latex] < theta> _ <1> = + 315 teks <°> [/ latex]. Ons kan een van hierdie twee hoeke gebruik. Die komponente is

Die verplasingsvektor van die eerste been is

Op die tweede been van Trooper se swerftogte is die omvang van die verplasing [latex] _ <2> = 300.0 , teks [/ latex] en die rigting is noord. Die rigtingshoek is [latex] < theta> _ <2> = + 90 teks <°> [/ latex]. Ons behaal die volgende resultate:

Op die derde been is die verplasingsgrootte [latex] _ <3> = 50.0 , teks [/ latex] en die rigting is [latex] 30 text <°> [/ latex] wes van noord. Die rigtinghoek links van die oostelike rigting gemeet is [latex] < theta> _ <3> = 30 teks <°> +90 teks <°> = + 120 teks <°> [/ latex]. Dit gee die volgende antwoorde:

Op die vierde been van die ekskursie is die verplasingsgrootte [latex] _ <4> = 80.0 , teks [/ latex] en die rigting is suid. Die rigting kan as [latex] < theta> _ <4> = -90 text <°> [/ latex] of [latex] < theta> _ <4> = + 270 text <° geneem word > [/ latex]. Ons verkry

Kyk na u begrip

As Trooper 20 m wes hardloop voordat hy gaan rus, wat is sy verplasingsvektor?

Polêre koördinate

Om liggings van punte of vektore in 'n vlak te beskryf, het ons twee ortogonale rigtings nodig. In die Cartesiese koördinaatstelsel word hierdie aanwysings gegee deur eenheidsvektore [latex] [/ latex] en [latex] hoed [/ latex] langs die x-as en die y-as onderskeidelik. Die Cartesiese koördinaatstelsel is baie handig om te gebruik om die verplasing en snelheid van voorwerpe en die kragte wat daarop inwerk, te beskryf. Dit word egter omslagtig as ons die rotasie van voorwerpe moet beskryf. As ons rotasie beskryf, werk ons gewoonlik in die polêre koördinaatstelsel.

In die poolkoördinaatstelsel, die ligging van punt P in 'n vliegtuig word deur twee gegee polêr koördinate ((Figuur)). Die eerste poolkoördinaat is die radiale koördinaat r, wat die afstand van die punt is P van die oorsprong af. Die tweede poolkoördinaat is 'n hoek [latex] phi [/ latex] wat die radiale vektor met 'n gekose rigting maak, gewoonlik die positiewe x-rigting. In poolkoördinate word hoeke gemeet in radiale, of radiale. Die radiale vektor word aan die oorsprong geheg en wys van die oorsprong na die punt P. Hierdie radiale rigting word beskryf deur 'n eenheidsradiale vektor [latex] [/ latex]. Die tweede eenheidsvektor [latex] [/ latex] is 'n vektor wat ortogonaal is teenoor die radiale rigting [latex] [/ latex]. Die positiewe [latex] + hoed [/ latex] -rigting dui aan hoe die hoek [latex] phi [/ latex] in die antikloksgewys rigting verander. Op hierdie manier, 'n punt P wat koördinate het (x, y) in die reghoekige stelsel kan ekwivalent beskryf word in die poolkoördinaatstelsel deur die twee poolkoördinate [latex] (r, phi) [/ latex]. (Figuur) is geldig vir enige vektor, dus kan ons dit gebruik om die x& # 8211 en y-koördinate van vektor [latex] ooreet < tot> [/ latex]. Op hierdie manier kry ons die verband tussen die poolkoördinate en reghoekige koördinate van die punt P:

Figuur 2.20 Met behulp van poolkoördinate word die eenheidsvektor [latex] hoed [/ latex] definieer die positiewe rigting langs die radius r (radiale rigting) en, ortogonaal daarop, die eenheidsvektor [latex] [/ latex] definieer die positiewe draairigting deur die hoek [latex] phi [/ latex].

Voorbeeld

Polêre koördinate

'N Skattejagter vind een silwer muntstuk op 'n plek 20,0 m weg van 'n droë put in die rigting [latex] 20 teks <°> [/ latex] noord van oos en vind een goue muntstuk op 'n plek 10,0 m weg van die put in die rigting [latex] 20 teks <°> [/ latex] noord van wes. Wat is die polêre en reghoekige koördinate van hierdie bevindings met betrekking tot die put?

Strategie

Die put dui die oorsprong van die koördinaatstelsel aan en oos is die +x-rigting. Ons identifiseer radiale afstande vanaf die liggings na die oorsprong, dit is [latex] _= 20.0 , teks [/ latex] (vir die silwer muntstuk) en [latex] _= 10.0 , teks [/ latex] (vir die goue muntstuk). Om die hoekkoördinate te vind, skakel ons [latex] 20 text <°> [/ latex] om na radiale: [latex] 20 text <°> = pi 20 text180 = pi teks9 [/ latex]. Ons gebruik (Figuur) om die x& # 8211 en y-koördinate van die munte.

~~Oplossing~~

Die koördinate is vir die silwer muntstuk

Vektore in drie dimensies

Om die ligging van 'n punt in die ruimte te spesifiseer, het ons drie koördinate nodig (x, y, Z), waar koördinate x en y liggings in 'n vlak spesifiseer en koördineer Z gee 'n vertikale posisie bo of onder die vlak. Driedimensionele ruimte het drie ortogonale rigtings, daarom hoef ons nie twee nie drie eenheidsvektore om 'n driedimensionele koördinaatstelsel te definieer. In die Cartesiese koördinaatstelsel is die eerste twee eenheidsvektore die eenheidsvektor van die x-as [latex] hoed [/ latex] en die eenheidsvektor van die y-as [latex] hoed [/ latex]. Die derde eenheidsvektor [latex] [/ latex] is die rigting van die Z-as ((figuur)).Die volgorde waarin die ase geëtiketteer word, dit is die volgorde waarin die drie eenheidsvektore verskyn, is belangrik omdat dit die oriëntasie van die koördinaatstelsel definieer. Die bestelling x–y–Z, wat gelykstaande is aan die orde [latex] hat [/ latex] & # 8211 [latex] hoed [/ latex] & # 8211 [latex] hoed [/ latex], definieer die standaard regshandige koördinaatstelsel (positiewe oriëntasie).

Figuur 2.21 Drie eenheidsvektore definieer 'n Cartesiese stelsel in 'n driedimensionele ruimte. Die volgorde waarin hierdie eenheidsvektore verskyn, definieer die oriëntasie van die koördinaatstelsel. Die volgorde wat hier getoon word, definieer die regterhandse oriëntasie.

As ons die koördinate van die oorsprong daarvan ken [latex] b (_,_,_) [/ latex] en van die einde daarvan [latex] e (_,_,_) [/ latex], die skalêre komponente daarvan word verkry deur die verskille daarvan te neem: [latex] _ [/ latex] en [latex] _ [/ latex] word gegee deur (Figuur) en die Z-komponent word gegee deur

Omvang A word verkry deur veralgemeen (Figuur) tot drie dimensies:

Figuur 2.22 'N Vektor in 'n driedimensionele ruimte is die vektorsom van sy drie vektorkomponente.

Voorbeeld

Begin van 'n hommeltuig

Tydens die opstyg van IAI Heron ((Figuur)) is die posisie ten opsigte van 'n beheertoring 100 m bo die grond, 300 m na die ooste en 200 m na die noorde. Een minuut later is dit 250 m bo die grond, 1200 m in die ooste en 2100 m in die noorde. Wat is die hommeltuig se verplasingsvektor ten opsigte van die beheertoring? Wat is die grootte van sy verplasingsvektor?

Figuur 2.23 Die drone IAI Heron in vlug. (krediet: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)

Strategie

Ons neem die oorsprong van die Cartesiese koördinaatstelsel as die beheertoring. Die rigting van die +x-as word gegee deur eenheidsvektor [latex] hat [/ latex] na die ooste, die rigting van die +y-as word gegee deur eenheidsvektor [latex] hat [/ latex] na die noorde, en die rigting van die +Z-as word gegee deur eenheidsvektor [latex] hat [/ latex], wat van die grond af wys. Die hommeltuig se eerste posisie is die oorsprong (of, gelykstaande aan die begin) van die verplasingsvektor en sy tweede posisie is die einde van die verplasingsvektor.

Oplossing

Ons vervang hierdie komponente in (Figuur) om die verplasingsvektor te vind:

Kyk na u begrip

As die gemiddelde snelheidsvektor van die hommeltuig in die verplasing in (Figuur) [latex] te veel is < na>= (15,0 hoed+31.7 hoed+2,5 hoed) teks teks teks ~~[/ latex], wat is die grootte van die dreun se snelheidsvektor?~~

~~Opsomming~~

Vektore word in terme van hul komponente in 'n koördinaatstelsel beskryf. In twee dimensies (in 'n vlak) het vektore twee komponente. In drie dimensies (in die ruimte) het vektore drie komponente.

'N Vektorkomponent van 'n vektor is sy deel in 'n asrigting. Die vektorkomponent is die produk van die eenheidsvektor van 'n as met sy skalaarkomponent langs hierdie as. 'N Vektor is die resultaat van sy vektorkomponente.

Skalakomponente van 'n vektor is verskille in koördinate, waar koördinate van die oorsprong van die eindpuntkoördinate van 'n vektor afgetrek word. In 'n reghoekige stelsel is die grootte van 'n vektor die vierkantswortel van die som van die vierkante van sy komponente.

In 'n vlak word die rigting van 'n vektor gegee deur 'n hoek wat die vektor met die positiewe het x-as. Hierdie rigtinghoek word linksom gemeet. Die skalaar x-komponent van 'n vektor kan uitgedruk word as die produk van sy grootte met die cosinus van sy rigtingshoek, en die skalaar y-komponent kan uitgedruk word as die produk van sy grootte met die sinus van sy rigtingshoek.

In 'n vlak is daar twee ekwivalente koördinaatstelsels. Die Cartesiese koördinaatstelsel word gedefinieer deur eenheidsvektore [latex] [/ latex] en [latex] hoed [/ latex] langs die x-as en die y-as onderskeidelik. Die poolkoördinaatstelsel word gedefinieer deur die radiale eenheidsvektor [latex] [/ latex], wat die rigting vanaf die oorsprong gee, en 'n eenheidsvektor [latex] [/ latex], wat loodreg (ortogonaal) op die radiale rigting is.

Konseptuele vrae

Gee 'n voorbeeld van 'n nie-nul-vektor met 'n komponent van nul.

'n eenheidsvektor van die x-as

Verduidelik waarom 'n vektor nie 'n komponent groter as sy eie grootte kan hê nie.

Verkry raaklyn (oorsprong) van die standaardkoördinaatstelsel - Sterrekunde

Projeksies en koördinaatstelsels

Projeksies en koördinaatstelsels is 'n ingewikkelde onderwerp in GIS, maar dit vorm die basis vir hoe 'n GIS ruimtelike data kan stoor, analiseer en vertoon. Begrip van projeksies en koördinering van stelsels wat belangrike kennis moet wees, veral as u baie verskillende stelle gegewens hanteer wat uit verskillende bronne kom.

Die beste model van die aarde sou 'n driedimensionele vaste stof in dieselfde vorm as die aarde wees. Sferiese bolle word dikwels vir hierdie doel gebruik. Aardbole het egter verskeie nadele.

Globe is groot en omslagtig.

Hulle is gewoonlik van 'n skaal wat nie geskik is vir die doel waarvoor die meeste kaarte gebruik word nie. Gewoonlik wil ons meer besonderhede sien as wat op 'n aardbol getoon kan word.

Standaard meetapparatuur (liniale, gradeboë, planimeters, puntroosters, ens.) Kan nie gebruik word om afstand, hoek, oppervlakte of vorm op 'n sfeer te meet nie, aangesien hierdie gereedskap ontwerp is vir gebruik in vlakke modelle.

Die sferiese koördinaatstelsel van breedtegraad-lengtegraad kan slegs gebruik word om hoeke te meet, nie afstande of gebiede nie.

Hier is 'n beeld van 'n aardbol met verwysingslyne. Hierdie lyne kan slegs gebruik word vir die meting van hoeke op 'n bol. Dit kan nie gebruik word om lineêre of oppervlakkige metings te maak nie.

Posisies op 'n aardbol word gemeet deur hoeke eerder as X, Y (kartesiese vlak) koördinate. In die onderstaande afbeelding word die spesifieke punt op die oppervlak van die aarde gespesifiseer deur die koördinaat (60 & deg. E lengte, 55 den. N breedtegraad). Die lengte word gemeet as die aantal grade vanaf die hoofmeridiaan, en die breedtegraad word gemeet as die aantal grade vanaf die ewenaar.

Om hierdie rede is projeksiestelsels ontwikkel. Kaartprojeksies is stelle wiskundige modelle wat sferiese koördinate (soos breedtegraad en lengtegraad) transformeer na planêre koördinate (x en y). In die proses word data wat eintlik op 'n bol lê, op 'n plat vlak of 'n oppervlak geprojekteer. Die oppervlak kan in 'n plat gedeelte omgeskakel word sonder om te rek.

Hier is 'n eenvoudige skema wat ontwerp is om aan te toon hoe 'n projeksie werk. Stel u voor 'n glasfeer gemerk met roosterlyne of geografiese kenmerke. 'N Lig in die middel van die sfeer skyn (& quotprojekte & quot) na buite en gooi skaduwees van die lyne af. 'N Vlak, kegel of silinder (bekend as 'n ontwikkelbare oppervlak) word buite die sfeer geplaas. Skaduwees word op die oppervlak gewerp. Die oppervlak word plat oopgemaak en die geografiese kenmerke word op 'n plat vlak vertoon. Sodra 'n projeksie toegepas word, word 'n Cartesiese koördinaatstelsel (gereelde meting in X- en Y-afmetings) geïmpliseer. Die gebruiker kan die besonderhede van die koördinaatstelsel kies (bv. Eenhede, oorsprong en verrekenings).

Die projeksie-oppervlaktes (dws silinders, keëls en vlakke) vorm die basiese soorte projeksies:

Standaard parallelle is waar die kegel deur die aardbol raak of sny.
Die sentrale meridiaan is oorkant die rand waar die kegel oopgesny word.

Verskillende silindriese projeksie-oriëntasies:

Die mees algemene silindriese projeksie is die Mercator-projeksie, wat die basis vorm van die UTM (Universal Transverse Mercator) -stelsel.

Verskillende ortografiese projeksieparameters:

[Beelde geplaas met toestemming van Peter Dana]

Let op in hierdie beelde hoe distorsie in afstand geminimaliseer word op die plek op die oppervlak wat die naaste aan die sfeer is. Vervorming neem toe as u langs die oppervlak verder van die ligbron af beweeg. Hierdie vervorming is 'n onvermydelike eienskap van kaartprojeksie. Alhoewel daar baie verskillende kaartprojeksies bestaan, bring hulle almal vervorming in een of meer van die volgende metingseienskappe in:

Vervorming sal in ten minste een van die bogenoemde eienskappe wissel, afhangende van die projeksie wat gebruik word, sowel as die skaal van die kaart of die ruimtelike omvang wat gekarteer word. Wanneer een tipe vervorming geminimaliseer word, sal die vervorming van een of meer van die ander eienskappe ooreenstem.

Daar is name vir die verskillende klasse projeksies wat vervorming tot 'n minimum beperk.

Diegene wat die vormvervorming tot 'n minimum beperk, word genoem konformeer.

Diegene wat distorsie in afstand tot 'n minimum beperk, staan bekend as ewe ver.

Diegene wat die vervorming in die area verminder, staan bekend as gelyke area.

Diegene wat die vervorming in die rigting verminder, word genoem ware rigting projeksies.

Dit is gepas om 'n projeksie te kies op grond van die meeteienskappe wat die belangrikste is vir u werk. As dit byvoorbeeld baie belangrik is om akkurate oppervlaktemetings te verkry (byvoorbeeld om die tuisgebied van 'n diersoort te bepaal), sal u 'n projeksie met gelyke oppervlakte kies.

Koördinaatstelsels

Sodra kaartdata op 'n plat oppervlak geprojekteer word, moet funksies deur 'n planêre koördinaatstelsel verwys word. Die geografiese stelsel (breedtegraad-lengtegraad), wat gebaseer is op hoeke wat op 'n sfeer gemeet word, is nie geldig vir metings op 'n vlak nie. Daarom word 'n Cartesiese koördinaatstelsel gebruik, waar die oorsprong (0, 0) links onder in die plat gedeelte is. Die ware oorsprongspunt (0, 0) kan al dan nie in die nabyheid van die kaartdata wees wat u gebruik nie.

Koördinate in die GIS word vanaf die oorsprongspunt gemeet. Maar, valse oostelike en vals noordes word gereeld gebruik, wat die oorsprong op 'n ander plek op die koördinaatvlak effektief verreken. Dit word gedoen om verskeie doeleindes te bereik:

Verminder die moontlikheid om negatiewe koördinaatwaardes te gebruik (om die berekening van afstand en oppervlakte makliker te maak).

Verlaag die absolute waarde van die koördinate (om die waardes makliker te lees, te transkribeer, te bereken, ens.).

In hierdie beeld word die staat Washington geprojekteer na State Plane North (NAD83). Daar word nou verwys na al die plekke op die kaart in Cartesiese koördinate, waar die oorsprong 'n paar honderd kilometer van die Stille Oseaan geleë is.

Sommige metingsraamwerkstelsels definieer projeksies en koördinaatstelsels. Die Universal Transverse Mercator (UTM) -stelsel, wat gewoonlik deur wetenskaplikes en federale organisasies gebruik word, is byvoorbeeld gebaseer op 'n reeks van 60 transversale Mercator-projeksies, waarin verskillende dele van die aarde in verskillende sessies van 6 grade val. Binne elke sone word 'n plaaslike koördinaatstelsel gedefinieer, waarin die X-oorsprong 500.000 m wes van die sentrale meridiaan geleë is, en die Y-oorsprong die suidpool of die ewenaar, afhangend van die halfrond. Die Staatsvliegtuigstelsel definieer ook projeksie- en koördinaatstelsel.

Die twee mees algemene koördinaat- / projeksiestelsels wat u in die VSA teëkom, is:

Die staatsvliegtuigstelsel bevat verskillende projeksies vir elke staat, en gereeld verskillende projeksies vir verskillende gebiede binne elke staat. Die Staatsvliegtuigstelsel is in die dertigerjare ontwikkel om die verskillende koördinaat- en projeksiestelsels vir verskillende state in die VSA te vereenvoudig en te kodifiseer.

Drie ooreenstemmende projeksies is gekies: die Lambert Conformal Conic vir state wat langer in die oos-wes-rigting is, soos Washington, Tennessee en Kentucky, die Transverse Mercator-projeksie vir state wat langer in die noord-suid-rigting is, soos Illinois en Vermont, en die skuins Mercator-projeksie vir die panhandvatsel van Alaska, omdat dit nie oorwegend noord of suid is nie, maar skuins.

Om 'n akkuraatheid van 1 deel in 10.000 te handhaaf, was dit nodig om baie state in verskeie sones te verdeel. Elke sone het sy eie sentrale meridiaan en standaardparallelle om die gewenste akkuraatheid te handhaaf. Die oorsprong is suid van die sone se grens, en valse oosings word toegepas sodat alle koördinate binne die sone positiewe X- en Y-waardes het. Die grense van hierdie sones volg die landsgrense. Kleiner state soos Connecticut benodig slegs een sone, terwyl Alaska uit tien sones bestaan en al drie projeksies gebruik.

Verkry raaklyn (oorsprong) van die standaardkoördinaatstelsel - Sterrekunde

RUIMTEKROMME, TANGENTVEKTOR, HOOFNORMALE, BINORMALE, KRUIK, TORSIE, FRENET-SERRET-FORMULE, Sferiese aanduidings

Def. Ruimtekurwe. Ons kan aan 'n ruimtekurwe dink as 'n pad van 'n bewegende punt. Die definisie van 'n ruimtekurwe is in wese 'n analitiese implementering van hierdie siening. 'N Ruimtekurwe word parametries gedefinieer as die grafiek van parametriese vergelykings

waar die funksies f, g en h deurlopend is en die omvang van die parameter t 'n interval (eindig of oneindig) van die werklike as is. In vektortaal word 'n ruimtekurwe gedefinieer as die grafiek van punte wat deur 'n posisievektor opgespoor word

waar die funksies f, g en h deurlopend is en die omvang van die parameter t 'n interval (eindig of oneindig) van die werklike as is. Die positiewe rigting van 'n ruimtekurwe is die rigting van toename in t. dit wil sê & # 916s / & # 916t & gt 0.

As ons t as tyd interpreteer, kan 1) beskou word as die definisie van die pad van 'n bewegende punt. Die punt kan verskeie kere deur dieselfde punt in die ruimte beweeg, wat beteken dat die kurwe homself kan sny. Hierdie definisie wat ons gegee het, gee 'n kurwe wat baie algemeen is en miskien nie baie glad is nie. Dit kan byvoorbeeld dinge insluit soos die spoor van 'n klein deeltjie in die Brown-beweging gedurende 'n lang tydperk ('n baie lukrake pad wat eers in een rigting gaan en dan skielik na 'n ander rigting verander & # 8212 lukraak en skielik van een rigting verander. na 'n ander).

Def. Boog van 'n kurwe. 'N Kromme wat nie homself sny nie, wat twee duidelike eindes het en wat in die vorm 1 voorgestel kan word) met 'n eindige omvang van die parameter t, sê a t b, waar a & lt b. 'N Halfsirkel is 'n boog, maar 'n hele sirkel nie.

Def. Geslote kurwe. 'N Kromme wat gedefinieër word deur 1) met 'n eindige omvang van die parameter t, sê a t b, waarin die punte wat ooreenstem met t = a en t = b saamval is.

Def. Eenvoudige geslote kurwe (of Jordaankurwe). 'N Geslote kurwe sonder selfkruisings.

Die prototipe van 'n boog is die eenheidsinterval 0 x 1, terwyl die prototipe van 'n eenvoudige geslote kromme die eenheidsirkel x 2 + y 2 = 1. Deurlopende vervorming (buiging, draai, rek, krimp) van 'n boog laat dit stil 'n boog en dieselfde kan gesê word oor eenvoudige geslote kurwes.

Def. Gladde kurwe. Daar word gesê dat 'n kurwe glad is as daar aan twee voorwaardes voldoen word

a) die kurwe sny nie van mekaar nie

b) die kurwe het 'n raaklyn by elke punt waarvan die rigting voortdurend wissel soos die punt langs die kurwe beweeg.

Die tweede voorwaarde is bevredig as die funksies f, g en h van 1) hierbo deurlopende afgeleides het wat nie saam verdwyn vir enige waarde van t nie.

Belangrike fundamentele verhoudings. Die differensiaal van booglengte ds is verwant aan dx, dy en dz by

Laat C 'n gladde boog wees wat voorgestel word deur 'n vektorfunksie f (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, a t b. Laat s die booglengte wees, gemeet langs C vanaf punt t = a tot 'n veranderlike punt t. Dan geld die volgende:

(wat direk verkry word uit die formule ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 deur te deel deur dt 2).

Lengte van 'n gladde boog. Laat C 'n gladde boog wees wat voorgestel word deur 'n vektorfunksie f (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, a t b. Dan word die lengte, van punt t = a tot t = b, gegee deur

Die afstand langs die kromme, gemeet van punt t = a tot een of ander veranderlike punt t, word gegee deur

(wat verkry word deur die vaste boonste limiet b in 4 te vervang) deur t)

Eenheidstangensvektor. Laat 'n ruimtekurwe C gegee word deur

waar die parameter s die booglengte voorstel, gemeet vanaf 'n vaste punt op die kromme. Dan word die eenheids-raaklynvektor aan die kromme by 'n bepaalde punt P gegee deur

Dat dit so is, kan gesien word uit Fig. 1 wat R en R + & # 916 R by punte P en P 'toon. Die kwosiënt & # 916 R / & # 916s is 'n vektor langs die lyn van die akkoord PP '. Aangesien die lengte van & # 916 R die lengte van die akkoord PP 'is, sien ons dat wanneer P' P benader, die limiet van die lengte van & # 916 R / & # 916s eenheid is. Verder is die beperkende rigting van PP 'die raaklyn by P. Daarom

Rigting-cosinus van die eenheids-raaklynvektor. Die rigtingkosinusse van die eenheidstangensvektor by 'n punt P word gegee deur die x-, y- en z-komponente van die vektor.

Skoolhoof normaal. Die hoofnormaal, aangedui deur N, by 'n punt P op 'n kurwe C, is 'n eenheidsvektor in die rigting van d T / ds (mits dT / ds nie nul is nie, in welke geval die hoofnormaal nie gedefinieer word nie). Die hoofnormaal is noodwendig loodreg op die eenheids-raaklynvektor T. Vanaf 7) hierbo verkry ons

Kromming van 'n kromme by punt P. Die kromming & # 954 van 'n kromme by 'n punt P word gegee deur die grootte van d T / ds:

Radius van kromming. Die krommingsradius & # 961 is die wederkerige van die kromming:

Krommingsentrum. & # 160 Die punt van die vektor & # 961 N, getrek vanaf punt P as beginpunt, word die krommingsentrum van die kromme by punt P genoem.

Binormaal. Die vektor B = T N.

Bewegende driehoek. Die drie onderling loodregte eenheidsvektore T, N en B vorm 'n regshandige driehoek wat verband hou met elke punt P van 'n ruimtekurwe. Hierdie driehoek verteenwoordig 'n gelokaliseerde regterhandse koördinaatstelsel wat beweeg as 'n mens langs 'n kurwe beweeg. Dit word die bewegende driehoek genoem. Sien Fig. 2. In hierdie bewegende driehoek word die vlak wat die raaklyn T en hoofnormaal N bevat, die osculerende vlak genoem, die vlak loodreg op die raaklyn by P, dws die vlak wat die hoofnormale N en binormale B bevat, word die normale genoem. vlak, en die vlak wat die raaklyn T en binormale B bevat, word die regstellende vlak genoem. Die osculerende vlak stel die vlak van die kromme in die onmiddellike omgewing van die punt voor.

Normale vlak. Hierdie vlak is loodreg op die raakvector T by P. Die lyne in die normale vlak wat deur P gaan, staan bekend as die normaals tot die kromme by P. Dus die naam normale vlak. Dit bevat twee belangrike normale, die hoofnormale en die binormale.

Oscillerende vliegtuig. Die osculerende vlak van 'n kurwe C op 'n punt P is die vlak wat die eenheids-raakvector T by P bevat en die hoofnormale vektor d T / ds waar s die afstand langs die kromme is (die osculerende vlak bestaan nie T / ds = 0 bv. As die kromme 'n reguit lyn is). Die osculerende vlak is die vlak in die beperkte posisie, indien dit bestaan, van die vlak deur die raaklyn aan C by die punt P, en deur 'n veranderlike punt P 'op C, as P' P langs C.

Def. Gedraaide kurwe. 'N Kromme wat nie in 'n enkele vlak lê nie.

Torsie. Die torsie & # 964 by 'n punt P op 'n kurwe word, binne die teken, gegee deur die grootte van die vektor d B / ds.Die vektor d B / ds is loodreg op vektore T en B en is dus 'n veelvoud van vektor N. Die teken van & # 964 word gekies sodat d B / ds = - & # 964 N. Die torsie meet tot 'n sekere mate die hoeveelheid waarmee die kromme gedraai word.

Let wel. Sommige outeurs definieer torsie aan die hand van die formule d B / ds = & # 964 N in plaas van d B / ds = - & # 964 N, en sommige gebruik 1 / & # 964 eerder as & # 964 om torsie aan te dui.

As P 'n vaste punt is, en P 'n veranderlike punt, op 'n gerigte ruimtekurwe C, is die lengte van die boog C van P na P ', en & # 916 & # 968 die hoek tussen die positiewe rigtings van die binormale van C by P en P ', dan word die torsie & # 964 van C by P gedefinieer, tot binne teken, deur

Torsie-radius. Die torsieradius word gedefinieer as die hoeveelheid & # 963 = 1 / & # 964.

Intrinsieke vergelykings van 'n ruimtekurwe. Vir 'n bepaalde kurwe C is die kromming & # 954 en torsie & # 964 funksies & # 954 (s) en & # 964 (s) van die booglengte s, gemeet vanaf een of ander vaste punt op C. As ons langs kurwe C beweeg die raaklyn draai in die rigting van die normale teen 'n snelheid bepaal deur die kromming & # 954 (s) terwyl die ossillerende vlak om die raaklyn draai met 'n snelheid bepaal deur die torsie & # 964 (s). Daar kan aangetoon word dat twee kurwes met dieselfde kromming en torsie as funksies van die booglengte identies is, behalwe vir posisie en oriëntasie in die ruimte (dit wil sê die een daarvan kan styf beweeg word om saam te val met die ander). Dus beskryf die kromming & # 954 (s) en torsie & # 964 (s) al die wesenlike, onveranderlike eienskappe van die kromme. Die vergelykings

word die intrinsieke of natuurlike vergelykings van die kromme genoem.

Frenet-Serret formules. Die Frenet-Serret-formules is

waar T, N en B die drie eenheidsvektore van die bewegende driehoek is, die eenheidstangens, hoofnormaal en die binormale vektore.

Formules. Laat R (t) 'n vektorfunksie van t wees en laat prima die differensiasie met betrekking tot t aandui.

Vlak krommes. As die kromme r = r (t) 'n vlakkurwe is (nie 'n reguit lyn nie), is die vlak van die kromme die ossillerende vlak op elke punt.

Stelling 1. 'N Noodsaaklike en voldoende voorwaarde dat 'n kromme (nie 'n reguit lyn nie) 'n vlak kromme is, is dat die torsie identies nul is.

Stelling 2. 'N Noodsaaklike en voldoende voorwaarde dat 'n kromme r = r (t) (nie 'n reguit lyn nie) 'n vlak kromme is, is dat r' r '& # 8729 r' '= 0.

Sferiese aanduidings van 'n ruimtekurwe.

Sferiese indikatrix (of raaklynindatriks) van 'n ruimtekurwe. Terwyl 'n punt langs 'n ruimtekurwe C beweeg, stel u voor dat 'n eenheidsvektor t geleë is aan die oorsprong van die koördinaatstelsel wat saam met die eenheidstangens T beweeg, altyd parallel daarmee. As 'n mens langs C beweeg, sal die eenheidsvektor 'n kurwe & # 915 op 'n eenheidsfeer op die oorsprong naspeur. Hierdie kurwe & # 915 word die sferiese indikatrix (of raaklynindatriks) van kurwe C genoem. Sien Fig. 3. As kurwe C 'n vlakkurwe is, lê die sferiese indikatrix op 'n groot sirkel van die sfeer. Dus, vir 'n ruimtekurwe, gee die hoeveelheid afwyking van die sferiese aanduiding van 'n groot sirkel 'n idee van die hoeveelheid afwyking van die kromme as 'n vlakkromme, dit wil sê van die hoeveelheid torsie van die kromme.

Laat 'n kurwe C gegee word deur

waar s booglengte voorstel, gemeet vanaf 'n punt op die kromme. Dan word die sferiese aanduiding & # 915 van kurwe C gegee deur

Belangrikste normale aanduiding op 'n ruimtekurwe. Die kromme & # 915 opgespoor op 'n eenheidsfeer wat aan die oorsprong geleë is deur 'n eenheidsvektor t wat beweeg in samehang met (parallel met) die hoofnormaal as 'n punt langs 'n kromme C beweeg, dws dit is dieselfde as die raaklyn die eenheidsvektor t beweeg saam met die hoofnormaal in plaas van die eenheids raaklyn.

Binormale aanduiding op 'n ruimtekurwe. Dieselfde as die raaklynindatriks, behalwe dat die eenheidsvektor t saam met (parallel met) die binormale beweeg in plaas van die eenheidstangens.

Silindriese koördinate

Die silindriese koördinaatstelsel brei polêre koördinate uit na 3D deur die standaard vertikale koördinaat $ z $ te gebruik. Dit gee koördinate $ (r, theta, z) $ wat bestaan uit:

koördineer naam reeks definisie

$ r $ radius le r lt infty $ afstand vanaf die $ z $ -as

$ theta $ azimut $ - pi lt theta le pi $ hoek vanaf die $ x $ -as in die $ x $ - $ y $ vlak

$ z $ hoogte $ - infty lt z lt infty $ vertikale hoogte

Die diagram hieronder toon die silindriese koördinate van 'n punt $ P $. Deur die vertoningsopsies te verander, kan ons sien dat die basisvektore raaklyn is aan die ooreenstemmende koördinaatlyne. Deur $ theta $ te verander, beweeg $ P $ langs die $ theta $ koördinaatlyn in die rigting $ hat_ theta $, en ook vir die ander koördinate.

Silindriese koördinate word gedefinieër ten opsigte van 'n stel Cartesiese koördinate en kan na en van hierdie koördinate omgeskakel word deur die atan2-funksie soos volg te gebruik.

Omskakeling tussen silindriese en Cartesiese koördinate

Om die omskakeling na Cartesiese koördinate te vind, gebruik ons die regte driehoek in die $ x $ - $ y $ vlak met skuinssy $ r $ en hoek $ theta $, wat onmiddellik die uitdrukkings gee vir $ x $ en $ y $. Die $ z $ koördinaat bly onveranderd.

Om van Cartesiese koördinate om te skakel, gebruik ons die atan2-funksie met dieselfde driehoek.

Die basisvektore raak die koördinaatlyne raak en vorm 'n regterhandse ortonormale basis $ hat_r, hoed_ theta, hoed_z $ wat afhang van die huidige posisie $ vec
$ soos volg. Ons kan $ hat skryf_z $ of $ hat$ vir die vertikale basisvektor.

Silindriese basisvektore

[ begin hoed_r & amp = cos theta , hat < imath> + sin theta , hat < jmath> hat_ < theta> & amp = - sin theta , hat < imath> + cos theta , hat < jmath> hat_z & amp = hoed [1em] hat < imath> & amp = cos theta , hat_r - sin theta , hat_ theta hat < jmath> & amp = sin theta , hat_r + cos theta , hat_ theta hoed & amp = hoed_z einde]

Ons skryf die posisievector $ vec < rho> = r cos theta , hat < imath> + r sin theta , hat < jmath> + z , hat$ en gebruik dan die definisie van koördinaatbasisvektore om die nie-genormaliseerde silindriese basisvektore te vind:

Albei $ vec_r $ en $ vec_z $ is reeds genormaliseer, en die lengte van $ vec_ theta $ is $ r $, dus kan ons hierdeur deel om die finale genormaliseerde basisvektor te verkry.

Om die basisverandering om te keer, kan ons oplos vir $ hat < imath> $ en $ hat < jmath> $.

As die silindriese koördinate mettertyd verander, dan laat dit die silindriese basisvektore draai met die volgende hoeksnelheid.

Hoeksnelheid van die silindriese basis

Die verandering van $ r $ of $ z $ veroorsaak nie dat die basis gedraai word terwyl $ theta $ om die vertikale as $ $ hat draai nie._z $.

Die rotasie van die basisvektore veroorsaak deur veranderende koördinate gee die onderstaande tydsafgeleides.

Tydsafgeleides van silindriese basisvektore

Ons kan die basisvektoruitdrukkings direk onderskei, of ons kan onthou dat $ dot < hat> = vec < omega> times hat$ vir enige basisvektor $ hat$. Dit gee:

[ begin punt < hoed> _r & amp = vec < omega> times hat_r = dot theta , hat_z keer hoed_r = dot < theta> , hat_ theta dot < hoed> _ < theta> & amp = vec < omega> times hat_ < theta> = dot theta , hat_z keer hoed_ theta = - dot theta , hat_r dot < hat> _z & amp = vec < omega> times hat_ < phi> = dot theta , hat_z keer hoed_z = 0 einde]

waar ons die feit gebruik het dat $ hat_r, hoed_ theta, hoed_z $ vorm 'n regterhandse ortonormale basis om die kruisprodukte te evalueer.

'N Punt $ P $ op 'n tydvariërende posisie $ (r, theta, z) $ het posisievektor $ vec < rho> $, snelheid $ vec = dot < vec < rho >> $, en versnelling $ vec = ddot < vec < rho >> $ gegee deur die volgende uitdrukkings in silindriese komponente.

Posisie, snelheid en versnelling in silindriese komponente

Uit die koördinaatuitdrukkings sien ons dat die posisievector $ vec < rho> = r , hat is_r + z , hoed_z $. Die onderskeid hiervan gee dan:

en ons vervang in die uitdrukking $ dot < hat> _r $ en $ dot < hat> _z $ van bo af. Neem 'n ander afgeleide gee:

en weer kan ons die basisvektor-afgeleides vervang.

Ons skryf gewoonlik $ vec$ vir die posisievektor van 'n punt, maar as ons silindriese koördinate $ r, theta, z $ gebruik, dan is dit gevaarlik. Dit is omdat $ r $ die grootte van $ vec kan beteken$ of die radiale koördinaat, wat verskil. Om hierdie verwarring te voorkom, gebruik ons $ vec < rho> $ vir die posisievektor en $ r $ vir die radiale koördinaat.

Gewoonlik gebruikte koördinaatstelsels

Die koördinaatstelsel vir die regte hemelvaart in Figuur 2 is a heliosentries (son) gesentreerde stelsel, met die son as oorsprong, die Z as wys na die hemelse efemerispool CEP wat ook die genoem word noordelike hemelpaal (NCP). Die x as wys na die randpunt ^, en die y as wat 'n regterhandstelsel skep. Onthou dat die punt van die punt die plek is waar die son blykbaar die hemelse ewenaar kruis wanneer hy op die eerste lentedag van die suidelike halfrond na die noordelike halfrond gaan. Die deklinasie d tot die ster is die hoek van die hemelse ekwatoriale vlak tot die lyn van die son na die ster in die astronomiese meridiaan van die ster. Die regte hemelvaart a tot die ster is die hoek linksom (gesien vanaf die NCP) in die hemelse ekwatoriale vlak vanaf die astronomiese meridiaan van ^ (genoem die equinoctial kleur) na die hemelse meridiaan van die ster. Aangesien die afstand tot die ster nie relevant is in hierdie stelsel nie, beskryf ons die posisies van hemelse voorwerpe onder die hoek van deklinasie δ en regs hemelvaart α. Met behulp van 'n afstand van 1 tot die ster is die eenheidsvektor wat die rigting na die ster in hierdie stelsel beskryf

Die verhouding tussen die hoeke en die Cartesiese koördinate is

Die eerste deel van die vergelyking vereis 'n bepaling van die regte kwadrant van die hoek.

Die tweede deel van die vergelyking is positief van 0 & # 176 tot 180 & # 176, en negatief van 180 & # 176 tot 360 & # 176.

Aangesien die NCP natuurlik ten opsigte van die sterre beweeg as 'n funksie van tyd, verander die waardes van a en d ook mettertyd. Daar moet dus betyds na waarnemings op hemelse voorwerpe verwys word. Sterrekatalogusse gebruik gewoonlik 'n regter-hemelvaartstelsel wat nodig is, maar wat nie voed nie. Dit staan bekend as die gemiddelde regstygingsstelsel [MRA (t₀)].

Trigonometrie

Die Cartesiese koördinaatstelsel word ook die genoem, omdat dit 'n plek in die vlak as die hoekpunt van 'n reghoek beskryf. Om 'n reghoekige koördinaatstelsel te konstrueer, begin ons met twee loodregte asse wat mekaar kruis. Die (x ) - en (y ) - koördinate van 'n punt dui die lengte en breedte van 'n reghoek aan met een hoekpunt aan die oorsprong. Die punt (P (x, y) ) sit op die teenoorgestelde hoekpunt van die reghoek, soos getoon in die onderstaande figuur.

In hoofstuk 9 het ons vektore gebruik om 'n plek te spesifiseer deur 'n afstand en 'n rigting te gee. Ons kan byvoorbeeld sê dat die lughawe 8 km suidwes van die middestad geleë is. Hierdie metode om plekke aan te dui, is so handig dat ons 'n nuwe koördinaatstelsel sal opstel met dieselfde gereedskap: afstand en rigting.

In die begin begin ons met die oorsprong of, en 'n enkele straal van die paal, genaamd die. Ons beskryf die ligging van 'n punt (P ) in die vlak deur die afstand te meet, ( abs teks <,> ) van (P ) na die pool, en die hoek, ( theta teks <,> ) wat ( vec) maak met die pool-as (linksom gemeet). Die komponente van die geordende paar ((r, theta) ) word die punt genoem (P teks <.> )

Polêre koördinate.

Die punt van 'n punt (P ) in die vlak is ((r, theta) teks <,> ) waar

( abs) is van (P ) na die paal,

( theta ) word teen die kloksgewys gemeet vanaf die poolas tot die straal deur (P ) vanaf die pool.

In ons werk met poolkoördinate sal ons altyd radiale gebruik vir die hoek ( theta text <.> ) Byvoorbeeld, die punt (P links (2, dfrac < pi> <2> regs) ) ) is 2 eenhede vanaf die paal geleë onder 'n hoek van ( dfrac < pi> <2> ) radiale, en (Q (3,4) ) is 3 eenhede van die paal skuins geleë van 4 radiale. Die grafieke van (P ) en (Q ) word regs getoon.

'N Stukkie grafiekpapier in reghoekige koördinate bestaan uit 'n rooster van horisontale en vertikale lyne. Dit is die lyne (x = k ) en (y = k teks <,> ) vir eweredig verdeelde waardes van (k teks <.> ) Elke vertikale ruitlyn bestaan uit punte wat dieselfde het (x ) - koördinaat, en elke horisontale ruitlyn bestaan uit punte met dieselfde (y ) - koördinaat. Die roosterlyne is maatmerke om ons te help om punte met spesifieke reghoekige koördinate op te spoor.

'N Stukkie grafiekpapier in poolkoördinate bestaan uit 'n rooster van konsentriese sirkels en radiale lyne, soos hieronder getoon. Elke sirkel bestaan uit punte met dieselfde (r ) - koördinaat, hulle is almal dieselfde afstand vanaf die pool. Alle punte met dieselfde ( theta ) - koördinaat lê op een van die radiale lyne. Hierdie rooster help ons om punte met spesifieke poolkoördinate op te spoor.

Onderafdeling plotpunte

U is gewoond daaraan om in reghoekige koördinate te dink: om 'n punt op te spoor, skuif ons soveel eenhede na links of regs, en soveel eenhede op of af. As ons in poolkoördinate werk, wil ons 'radiaal dink:' hoe ver ons van die pool moet beweeg, en in watter rigting.

Voorbeeld 10.1.

Trek die punte waarvan die polêre koördinate gegee word: (A links (1, dfrac < pi> <2> regs) ) en (B links (2, dfrac <7 pi> <4> regs teks <.> )

Om punt (A teks <,> ) te teken, skuif ons 1 eenheid van die paal af in die rigting ( dfrac < pi> <2> teks <,> ) soos regs getoon. Om punt (B teks <,> ) te teken, skuif ons 2 eenhede van die pool af in die rigting ( dfrac <7 pi> <4> teks <.> )

Let op 10.2.

Let daarop dat, alhoewel die onafhanklike of invoerveranderlike in poolkoördinate byna altyd ( theta text <,> ) is, is dit gebruiklik om eers die afhanklike of uitvoerveranderlike te lys: ((r, theta) text <. > )

Kontrolepunt 10.3.

Gee die poolkoördinate van die punte (S ) en (T ) regs getoon, met (0 le theta le 2 pi teks <.> )

Elke punt het oneindig baie polêre koördinate, want ons kan veelvoude van (2 pi ) byvoeg tot die waarde van ( theta text <.> ) Byvoorbeeld, die punt met poolkoördinate ( links (1 , dfrac < pi> <2> right) ) het ook poolkoördinate ( left (1, dfrac <5 pi> <2> right) ) en ( left (1, dfrac <-3 pi> <2> regs) teks <.> )

As ons negatiewe waardes van (r text <,> ) toelaat, is daar nog meer maniere om die koördinate van 'n punt te skryf. Elke hoek dui 'n lyn deur die paal aan, en elke lyn het 'n positiewe en 'n negatiewe rigting.

Op die lyn by ( theta = dfrac < pi> <4> text <,> ) lê die positiewe rigting in die eerste kwadrant, sodat die punt ((2, dfrac < pi> <4>) ) word aangedui deur (P ) in die figuur regs. Om die punt ((- 2, dfrac < pi> <4>) teks <,> ) te teken, beweeg ons in die teenoorgestelde rigting van die pool en kom by punt (Q teks <>>) Let op dat die punt (Q ) ook aangewys kan word deur die koördinate ((2, dfrac <5 pi> <4>) teks <.> )

Nie-uniekheid van polêre koördinate.

Enige punt met polêre koördinate ((r, theta) ) het ook koördinate ((r, theta + 2k pi) teks <,> ) waar (k ) 'n heelgetal is.

Die punt ((r, theta) ) kan ook aangewys word deur ((- r, theta + pi) text <.> )

Die pool het koördinate ((0, theta) text <,> ) vir enige waarde van ( theta text <.> )

Voorbeeld 10.4.

Gee poolkoördinate met negatiewe (r ) - waardes vir die punte in die vorige oefening.

Die punt (S (2, pi) ) is ook ((- 2, pi) ) of ((- 2,0) teks <.> ) Die punt (T links ( 3, dfrac <2 pi> <3> right) ) kan ook aangewys word deur ( left (-3, dfrac <2 pi> <3> + pi right) text <, > ) of ( links (-3, dfrac <5 pi> <3> regs) teks <.> )

Kontrolepunt 10.5.

Gee poolkoördinate met positiewe (r ) - waardes en (0 le theta le 2 pi ) vir elke punt wat in poolkoördinate gegee word.

Onderafdelingsstreke in die vliegtuig

In Cartesiese koördinate gebruik ons vergelykings en ongelykhede om streke in die vlak te beskryf. Die gekleurde gebied in figuur (a) is byvoorbeeld die grafiek van (y le x + 2 teks <.> ) Die paar ongelykhede (x ge -2,

1 lt y lt 3 ) beskryf die streek in figuur (b). Hierdie streek is besonder eenvoudig, omdat die grense gedeeltes van die koördinaatroosterlyne is (x = k ) en (y = k teks <,> ) waar (k ) 'n konstante is.

In die poolvlak is die koordinaatlyne sirkels gesentreer op die pool, met vergelykings (r = k teks <,> ) en lyne deur die pool, met vergelykings ( theta = k teks <.> )

Voorbeeld 10.6.

Skets die streek wat deur elke stel ongelykhede aangedui word.

( displaystyle 1 le r lt 3 )

( displaystyle 0 le r le 2,

Die streek bestaan uit alle punte tussen 1 (inklusief) en 3 eenhede vanaf die paal.Geen beperking word gegee op ( theta text <,> ) nie, dus die streek is die ringvormige figuur (a).

2.2 Koördinaatstelsels en komponente van 'n vektor

Vektore word gewoonlik beskryf in terme van hul komponente in a koördinaatstelsel . Selfs in die alledaagse lewe roep ons natuurlik die konsep van ortogonale projeksies op in 'n reghoekige koördinaatstelsel. As u byvoorbeeld iemand vra vir aanwysings na 'n spesifieke plek, sal u meer geneig wees om 40 km oos en 30 km noord as 50 km in die rigting [latex] 37 ^ circ [/ latex] noord van oos te gaan.

Figuur 2.16 Vektor [latex] mathbf < overset < tot >> [/ latex] in 'n vlak in die Cartesiese koördinaatstelsel is die vektorsom van die vektor x- en y-komponente. Die x-vektorkomponent [latex] < mathbf < overset < tot >>> _[/ latex] is die ortogonale projeksie van vektor [latex] mathbf < overset < tot >> [/ latex] op die x-as. Die y-vektorkomponent [latex] < mathbf < overset < tot >>> _[/ latex] is die ortogonale projeksie van vektor [latex] mathbf < overset < tot >> [/ latex] op die y-as. Die getalle [latex] _[/ latex] en [latex] _[/ latex] wat die eenheidsvektore vermenigvuldig, is die skalêre komponente van die vektor.
Dit is gebruiklik om die positiewe rigting op die x-as deur die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] en die positiewe rigting op die y-as deur die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex]. Eenheidsvektore van die asse, [latex] mathbf < hat> [/ latex] en [latex] mathbf < hat> [/ latex], definieer twee ortogonale rigtings in die vlak. Soos getoon in Figuur, is die x& # 8211 en y& # 8211 komponente van 'n vektor kan nou geskryf word in terme van die eenheidsvektore van die asse:

As ons die koördinate [latex] b ken (_,_) [/ latex] van die oorsprongspunt van 'n vektor (waar b staan vir “begin”) en die koördinate [latex] e (_,_) [/ latex] van die eindpunt van 'n vektor (waar e staan vir "einde"), kan ons die skalaarkomponente van 'n vektor verkry deur die oorsprongspuntkoördinate van die eindpuntkoördinate af te trek:

Voorbeeld

Verplasing van 'n muisaanwyser

'N Muiswyser op die skerm van 'n rekenaar op sy oorspronklike posisie is op 'n punt (6,0 cm, 1,6 cm) ten opsigte van die onderste linkerhoek. Wat is die verplasingsvektor van die wyser as u die wyser na 'n ikoon op die punt (2,0 cm, 4,5 cm) skuif?

Strategie

Die oorsprong van die xy-koördinaatstelsel is die onderste linkerhoek van die rekenaarmonitor. Daarom is die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] op die x-as wys horisontaal na regs en die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] op die y-as wys vertikaal opwaarts. Die oorsprong van die verplasingsvektor is op die punt geleë b(6.0, 1.6) en die einde van die verplasingsvektor is op die punt geleë e(2.0, 4.5). Vervang die koördinate van hierdie punte in figuur om die skalêre komponente [latex] te vind_[/ latex] en [latex]_[/ latex] van die verplasingsvektor [latex] mathbf < overset < to>> [/ latex]. Plaas laastens die koördinate in Figuur om die verplasingsvektor in die vektorkomponentvorm te skryf.

Oplossing

Ons identifiseer [latex]_= 6.0 [/ latex], [latex]_= 2.0 [/ latex], [latex]_= 1.6 [/ latex] en [latex]_= 4.5 [/ latex], waar die fisiese eenheid 1 cm is. Die skalêre x- en y-komponente van die verplasingsvektor is [latex] begin hfill _& =_-_= (2.0-6.0) teks= -4.0 , teks, hfill hfill _& =_-_= (4.5-1.6) teks= + 2,9 , teks. hfill einde[/ latex]

Die vektorkomponentvorm van die verplasingsvektor is

Figuur 2.17 Die grafiek van die verplasingsvektor. Die vektor wys vanaf die oorsprongspunt by b na die eindpunt op e.
Betekenis

Let op dat die fisiese eenheid - hier, 1 cm - met elke komponent onmiddellik voor die eenheidsvektor of wêreldwyd vir beide komponente geplaas kan word, soos in Figuur. Laasgenoemde manier is dikwels gemakliker omdat dit eenvoudiger is.

Die vektor x-komponent [latex] < mathbf < overset < tot>>>_= -4.0 mathbf < hat> = 4.0 ( teks <−> mathbf < hoed>) [/ latex] van die verplasingsvektor het die grootte [latex] | < mathbf < overset < to>>>_| = | -4.0 || mathbf < hat> | = 4.0 [/ latex] omdat die grootte van die eenheidsvektor [latex] | mathbf < hat is> | = 1 [/ latex]. Let ook op dat die rigting van die x-komponent is [latex] text <−> mathbf < hat> [/ latex], wat antiparallel is in die rigting van die +x-as vandaar, die x-komponentvektor [latex] < mathbf < overset < to>>>_[/ latex] wys na links, soos getoon in Figuur. Die skalaar x-komponent van vektor [latex] mathbf < overset < tot>> [/ latex] is [latex]_= -4,0 [/ latex].

Net so is die vektor y-komponent [latex] < mathbf < overset < tot>>>_= + 2,9 mathbf < hat> [/ latex] van die verplasingsvektor het magnitude [latex] | < mathbf < overset < to>>>_| = | 2.9 || mathbf < hat> | = , 2.9 [/ latex] omdat die grootte van die eenheidsvektor [latex] | mathbf < hat> | = 1 [/ latex]. Die rigting van die y-komponent is [latex] + mathbf < hat> [/ latex], wat parallel is met die rigting van die +y-as. Daarom is die y-komponentvektor [latex] < mathbf < overset < to>>>_[/ latex] wys op, soos gesien in figuur. Die skalaar y-komponent van vektor [latex] mathbf < overset < tot>> [/ latex] is [latex]_= + 2,9 [/ latex]. Die verplasingsvektor [latex] mathbf < overset < to>> [/ latex] is die resultaat van die twee vektor komponente.

Die vektorkomponentvorm van die verplasingsvektor Figuur vertel ons dat die muisaanwyser op die monitor 4,0 cm na links en 2,9 cm opwaarts vanaf sy oorspronklike posisie beweeg is.

Kyk na u begrip

'N Blou vlieg land op 'n vel grafiekpapier op 'n punt wat 10,0 cm regs van sy linkerrand en 8,0 cm bo die onderrand is en loop stadig na 'n punt wat 5,0 cm van die linkerrand en 5,0 cm van die onderrand af is . Kies die reghoekige koördinaatstelsel met die oorsprong in die onderste linkerhoek van die papier en vind die verplasingsvektor van die vlieg. Illustreer u oplossing deur te teken.

[latex] mathbf < overset < to>> = (- 5.0 mathbf < hat> -3.0 mathbf < hat>) teks[/ latex] het die vlieg 5,0 cm na links en 3,0 cm van sy landingsterrein af beweeg.

Figuur 2.18 Vir vektor [latex] mathbf < overset < tot >> [/ latex] hou die grootte A en die rigtingshoek [latex] < theta> _ [/ latex] verband met die groottes van sy skalêre komponente omdat A , [latex] _[/ latex] en [latex] _[/ latex] vorm 'n regte driehoek.

Figuur 2.19 Skaalkomponente van 'n vektor kan positief of negatief wees. Vektore in die eerste kwadrant (I) het beide skalêre komponente positief en vektore in die derde kwadrant het beide skalêre komponente negatief. Vir vektore in kwadrante II en III is die rigtingshoek van 'n vektor [latex] < theta> _ = theta + 180 ^ circ [/ latex].
Voorbeeld

Omvang en rigting van die verplasingsvektor

U skuif 'n muisaanwyser op die beeldskerm vanaf die oorspronklike posisie op die punt (6,0 cm, 1,6 cm) na 'n ikoon op die punt (2,0 cm, 4,5 cm). Wat is die grootte en rigting van die verplasingsvektor van die wyser?

Strategie

In Figuur het ons die verplasingsvektor [latex] mathbf < overset < to> gevind> [/ latex] van die muisaanwyser (sien figuur). Ons identifiseer die skalêre komponente daarvan [latex]_= -4.0 , teks[/ latex] en [latex]_= + 2,9 , teks[/ latex] en vervang in Figuur en Figuur om die grootte te bepaal D en rigting [latex] < theta> _[/ latex] onderskeidelik.

Oplossing

Die grootte van vektor [latex] mathbf < overset < to>> [/ latex] is [latex] D = sqrt <_^<2>+_^ <2>> = sqrt << (- 4.0 , teks)> ^ <2> + <(2.9 , teks)> ^ <2>> = sqrt << (4.0)> ^ <2> + <(2.9)> ^ <2>> , text= 4,9 , teks. [/ latex] Die rigtinghoek is [latex] teks, theta = frac <_><_> = frac <+2.9 , teks> <- 4.0 , teks> = - 0.725 enspace Rightarrow enspace theta = < teks> ^ <-1> (-0.725) = - 35.9 ^ circ. [/ Latex] Vector [latex] mathbf < overset < to>> [/ latex] lê in die tweede kwadrant, dus is die rigting daarvan [latex] < theta> _= theta + 180 ^ circ = -35.9 ^ circ + 180 ^ circ = 144.1 ^ circ. [/ latex]

Kyk na u begrip

As die verplasingsvektor van 'n blou vlieg wat op 'n vel grafiekpapier loop, [latex] mathbf < overset < to> is> = (- 5,00 mathbf < hat> -3.00 mathbf < hat>) teks[/ latex], vind die grootte en rigting daarvan.

In baie toepassings is die groottes en rigtings van vektorhoeveelhede bekend en moet ons die resultant van baie vektore vind. Stel jou voor dat 400 motors in 'n sterk wind op die Golden Gate-brug in San Francisco beweeg. Elke motor gee die brug 'n ander druk in verskillende rigtings en ons wil graag weet hoe groot die gevolglike druk kan wees. Ons het al 'n bietjie ervaring opgedoen met die geometriese konstruksie van vektorsomme, dus ons weet dat die taak om die resultant te vind deur die vektore te teken en hul lengtes en hoeke te meet, redelik vinnig onuitvoerbaar kan word, wat tot groot foute kan lei. Bekommernisse soos hierdie kom nie voor wanneer ons analitiese metodes gebruik nie. Die heel eerste stap in 'n analitiese benadering is om vektorkomponente te vind wanneer die rigting en grootte van 'n vektor bekend is.

Voorbeeld

Komponente van verplasingsvektore

'N Reddingsparty vir 'n vermiste kind volg 'n soekhond met die naam Trooper. Trooper dwaal baie en maak baie proefsnuffels langs baie verskillende paaie. Trooper vind uiteindelik die kind en die verhaal het 'n gelukkige einde, maar sy verskuiwings op verskillende bene lyk regtig ingewikkeld. Op een van die pote loop hy 200,0 m suidoos, dan hardloop hy ongeveer 300,0 m noordwaarts. Op die derde been ondersoek hy die geure noukeurig vir 50.0 m in die rigting [latex] 30 ^ circ [/ latex] wes van noord. Op die vierde been gaan Trooper direk suid vir 80,0 m, tel 'n vars geur op en draai [latex] 23 ^ circ [/ latex] wes van suid vir 150,0 m. Soek die skalêre komponente van Trooper se verplasingsvektore en sy verplasingsvektore in vektorkomponentvorm vir elke been.

Strategie

Kom ons neem 'n reghoekige koördinaatstelsel aan met die positiewe x-as in die rigting van geografiese ooste, met die positiewe y-rigting gewys op geografiese noorde. Eksplisiet is die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] van die x-as wys oos en die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] van die y-as wys noord. Trooper maak vyf pote, so daar is vyf verplasingsvektore. Ons begin deur hul groottes en rigtingshoeke te identifiseer, dan gebruik ons Figuur om die skalêre komponente van die verplasings te vind en Figuur vir die verplasingsvektore.

Oplossing

Op die eerste been is die verplasingsgrootte [latex]_ <1> = 200.0 , teks[/ latex] en die rigting is suidoos. Vir rigtinghoek [latex] < theta> _ <1> [/ latex] kan ons of [latex] 45 ^ circ [/ latex] kloksgewys vanaf die oostelike rigting neem, of [latex] 45 ^ circ + 270 ^ circ [/ latex] links van die oostelike rigting gemeet. Met die eerste keuse, [latex] < theta> _ <1> = -45 ^ circ [/ latex]. Met die tweede keuse, [latex] < theta> _ <1> = + 315 ^ circ [/ latex]. Ons kan een van hierdie twee hoeke gebruik. Die komponente is

Die verplasingsvektor van die eerste been is

Op die tweede been van Trooper se swerftogte is die omvang van die verplasing [latex]_ <2> = 300.0 , teks[/ latex] en die rigting is noord. Die rigtinghoek is [latex] < theta> _ <2> = + 90 ^ circ [/ latex]. Ons behaal die volgende resultate:

Op die derde been is die verplasingsgrootte [latex]_ <3> = 50.0 , teks[/ latex] en die rigting is [latex] 30 ^ circ [/ latex] wes van noord. Die rigtinghoek wat links van die oostelike rigting gemeet word, is [latex] < theta> _ <3> = 30 ^ circ + 90 ^ circ = + 120 ^ circ [/ latex]. Dit gee die volgende antwoorde:

Op die vierde been van die ekskursie is die verplasingsgrootte [latex]_ <4> = 80.0 , teks[/ latex] en die rigting is suid. Die rigtingshoek kan geneem word as [latex] < theta> _ <4> = -90 ^ circ [/ latex] of [latex] < theta> _ <4> = + 270 ^ circ [/ latex ]. Ons verkry

Op die laaste been is die grootte [latex]_ <5> = 150.0 , teks[/ latex] en die hoek is [latex] < theta> _ <5> = -23 ^ circ + 270 ^ circ = + 247 ^ circ [/ latex] [latex] (23 ^ circ [/ latex] wes van suid), wat [latex] begin gee hfill _ <5x> & = hfill & _ <5> , teks, < theta> _ <5> = (150.0 , teks) , teks, 247 ^ circ = -58.6 , teks hfill hfill _ <5y> & = hfill & _ <5> , teks, < theta> _ <5> = (150.0 , teks) , teks, 247 ^ circ = -138.1 , teks hfill hfill < mathbf < overset < to>>> _ <5> & = hfill & _ <5x> mathbf < hat>+_ <5y> mathbf < hat> = (- 58.6 mathbf < hat> -138.1 mathbf < hat>) teks. hfill einde[/ latex]

Kyk na u begrip

As Trooper 20 m wes hardloop voordat hy gaan rus, wat is sy verplasingsvektor?

Polêre koördinate

Om liggings van punte of vektore in 'n vlak te beskryf, het ons twee ortogonale rigtings nodig. In die Cartesiese koördinaatstelsel word hierdie aanwysings gegee deur eenheidsvektore [latex] mathbf < hat> [/ latex] en [latex] mathbf < hat> [/ latex] langs die x-as en die y-as onderskeidelik. Die Cartesiese koördinaatstelsel is baie handig om te gebruik om die verplasing en snelheid van voorwerpe en die kragte wat daarop inwerk, te beskryf. Dit word egter omslagtig as ons die rotasie van voorwerpe moet beskryf. As ons rotasie beskryf, werk ons gewoonlik in die polêre koördinaatstelsel.

In die poolkoördinaatstelsel, die ligging van punt P in 'n vliegtuig word deur twee gegee polêr koördinate (Figuur). Die eerste poolkoördinaat is die radiale koördinaat r, wat die afstand van die punt is P van die oorsprong af. Die tweede poolkoördinaat is 'n hoek [latex] phi [/ latex] wat die radiale vektor met 'n gekose rigting maak, gewoonlik die positiewe x-rigting. In poolkoördinate word hoeke gemeet in radiale, of radiale. Die radiale vektor word aan die oorsprong geheg en wys van die oorsprong na die punt P. Hierdie radiale rigting word beskryf deur 'n eenheidsradiale vektor [latex] mathbf < hat> [/ latex]. Die tweede eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] is 'n vektor wat ortogonaal is teenoor die radiale rigting [latex] mathbf < hat> [/ latex]. Die positiewe [latex] + mathbf < hat> [/ latex] -rigting dui aan hoe die hoek [latex] phi [/ latex] in die antikloksgewys rigting verander. Op hierdie manier, 'n punt P wat koördinate het (x, y) in die reghoekige stelsel kan ekwivalent beskryf word in die poolkoördinaatstelsel deur die twee poolkoördinate [latex] (r, phi) [/ latex]. Figuur is geldig vir enige vektor, sodat ons dit kan gebruik om die uit te druk x& # 8211 en y-koördinate van vektor [latex] mathbf < overset < tot>> [/ latex]. Op hierdie manier kry ons die verband tussen die poolkoördinate en reghoekige koördinate van die punt P:

Figuur 2.20 Met behulp van poolkoördinate word die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] definieer die positiewe rigting langs die radius r (radiale rigting) en, ortogonaal daarop, die eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] definieer die positiewe draairigting deur die hoek [latex] phi [/ latex].
Voorbeeld

Polêre koördinate

'N Skattejagter vind een silwermuntstuk op 'n plek 20,0 m weg van 'n droë put in die rigting [latex] 20 ^ circ [/ latex] noord van oos en vind een goue muntstuk op 'n plek 10,0 m weg van die put in die rigting [latex] 20 ^ circ [/ latex] noord van wes. Wat is die polêre en reghoekige koördinate van hierdie bevindings met betrekking tot die put?

Strategie

Die put dui die oorsprong van die koördinaatstelsel aan en oos is die +x-rigting. Ons identifiseer radiale afstande vanaf die liggings na die oorsprong, dit is [latex]_= 20.0 , teks[/ latex] (vir die silwer muntstuk) en [latex]_= 10.0 , teks[/ latex] (vir die goue muntstuk). Om die hoekkoördinate te vind, skakel ons [latex] 20 ^ circ [/ latex] om in radiale: [latex] 20 ^ circ = pi 20 teks180 = pi teks9 [/ latex]. Ons gebruik Figuur om die x& # 8211 en y-koördinate van die munte.

Oplossing

Die hoekkoördinaat van die silwer muntstuk is [latex] < phi> _= pi teks9 [/ latex], terwyl die hoekkoördinaat van die goue muntstuk [latex] < phi> _ is= pi - pi teks9 = 8 pi teks9 [/ latex]. Daarom is die poolkoördinate van die silwer muntstuk [latex] (_, < phi> _) = (20.0 , teks, pi teks9) [/ latex] en die van die goue muntstuk is [latex] (_, < phi> _) = (10.0 , teks, 8 pi teks9) [/ latex]. Ons vervang hierdie koördinate in (Figuur) om reghoekige koördinate te verkry. Die koördinate is vir die goue muntstuk

~~Die koördinate is vir die silwer muntstuk~~

Vektore in drie dimensies

Om die ligging van 'n punt in die ruimte te spesifiseer, het ons drie koördinate nodig (x, y, Z), waar koördinate x en y liggings in 'n vlak spesifiseer en koördineer Z gee 'n vertikale posisie bo of onder die vlak. Driedimensionele ruimte het drie ortogonale rigtings, daarom hoef ons nie twee nie drie eenheidsvektore om 'n driedimensionele koördinaatstelsel te definieer. In die Cartesiese koördinaatstelsel is die eerste twee eenheidsvektore die eenheidsvektor van die x-as [latex] mathbf < hat> [/ latex] en die eenheidsvektor van die y-as [latex] mathbf < hat> [/ latex]. Die derde eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] is die rigting van die Z-as (figuur). Die volgorde waarin die ase geëtiketteer word, dit is die volgorde waarin die drie eenheidsvektore verskyn, is belangrik omdat dit die oriëntasie van die koördinaatstelsel definieer. Die bestelling x–y–Z, wat gelykstaande is aan die orde [latex] mathbf < hat> [/ latex] & # 8211 [latex] mathbf < hat> [/ latex] & # 8211 [latex] mathbf < hat> [/ latex], definieer die standaard regshandige koördinaatstelsel (positiewe oriëntasie).

Figuur 2.21 Drie eenheidsvektore definieer 'n Cartesiese stelsel in 'n driedimensionele ruimte. Die volgorde waarin hierdie eenheidsvektore verskyn, definieer die oriëntasie van die koördinaatstelsel. Die volgorde wat hier getoon word, definieer die regterhandse oriëntasie.
As ons die koördinate van die oorsprong daarvan ken [latex] b (_,_,_) [/ latex] en van die einde daarvan [latex] e (_,_,_) [/ latex], die skalêre komponente daarvan word verkry deur die verskille daarvan te neem: [latex] _[/ latex] en [latex] _[/ latex] word gegee deur Figuur en die Z-komponent word gegee deur

Omvang A word verkry deur die figuur tot drie dimensies te veralgemeen:

Figuur 2.22 'N Vektor in 'n driedimensionele ruimte is die vektorsom van sy drie vektorkomponente.
Voorbeeld

Begin van 'n hommeltuig

Tydens die opstyg van IAI Heron (Figuur) is die posisie ten opsigte van 'n beheertoring 100 m bo die grond, 300 m na die ooste en 200 m na die noorde. Een minuut later is dit 250 m bo die grond, 1200 m in die ooste en 2100 m in die noorde. Wat is die hommeltuig se verplasingsvektor ten opsigte van die beheertoring? Wat is die grootte van sy verplasingsvektor?

Figuur 2.23 Die drone IAI Heron in vlug. (krediet: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)
Strategie

Ons neem die oorsprong van die Cartesiese koördinaatstelsel as die beheertoring. Die rigting van die +x-as word gegee deur eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] na die ooste, die rigting van die +y-as word gegee deur eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex] noord, en die rigting van die +Z-as word gegee deur eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex], wat van die grond af wys. Die hommeltuig se eerste posisie is die oorsprong (of, gelykstaande aan die begin) van die verplasingsvektor en sy tweede posisie is die einde van die verplasingsvektor.

Oplossing

Ons identifiseer b (300,0 m, 200,0 m, 100,0 m) en e (480,0 m, 370,0 m, 250,0 m), en gebruik (Figuur) en (Figuur) om die skalêre komponente van die hommeltuig se verplasingsvektor te vind:

Ons vervang hierdie komponente in (Figuur) om die verplasingsvektor te vind:

Kyk na u begrip

As die gemiddelde snelheidsvektor van die hommeltuig in die verplasing in Figuur [latex] mathbf < te veel < na> is> = (15.0 mathbf < hat> + 31,7 mathbf < hat> +2.5 mathbf < hat>) teks teks teks~~[/ latex], wat is die grootte van die dreun se snelheidsvektor?~~

Opsomming

Vektore word in terme van hul komponente in 'n koördinaatstelsel beskryf. In twee dimensies (in 'n vlak) het vektore twee komponente. In drie dimensies (in die ruimte) het vektore drie komponente.

'N Vektorkomponent van 'n vektor is sy deel in 'n asrigting. Die vektorkomponent is die produk van die eenheidsvektor van 'n as met sy skalaarkomponent langs hierdie as. 'N Vektor is die resultaat van sy vektorkomponente.

Skalakomponente van 'n vektor is verskille in koördinate, waar koördinate van die oorsprong van die eindpuntkoördinate van 'n vektor afgetrek word. In 'n reghoekige stelsel is die grootte van 'n vektor die vierkantswortel van die som van die vierkante van sy komponente.

In 'n vlak word die rigting van 'n vektor gegee deur 'n hoek wat die vektor met die positiewe het x-as. Hierdie rigtinghoek word linksom gemeet. Die skalaar x-komponent van 'n vektor kan uitgedruk word as die produk van sy grootte met die cosinus van sy rigtingshoek, en die skalaar y-komponent kan uitgedruk word as die produk van sy grootte met die sinus van sy rigtingshoek.

In 'n vlak is daar twee ekwivalente koördinaatstelsels. Die Cartesiese koördinaatstelsel word gedefinieer deur eenheidsvektore [latex] mathbf < hat> [/ latex] en [latex] mathbf < hat> [/ latex] langs die x-as en die y-as onderskeidelik. Die poolkoördinaatstelsel word gedefinieer deur die radiale eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex], wat die rigting vanaf die oorsprong gee, en 'n eenheidsvektor [latex] mathbf < hat> [/ latex], wat loodreg (ortogonaal) op die radiale rigting is.

Konseptuele vrae

Gee 'n voorbeeld van 'n nie-nul-vektor met 'n komponent van nul.

'n eenheidsvektor van die x-as

Verduidelik waarom 'n vektor nie 'n komponent groter as sy eie grootte kan hê nie.

Differensiële meetkunde van oppervlaktes in E3

M. Farrashkhalvat, JP Miles, in Basic Structured Grid Generation, 2003

3.6 Die tweede fundamentele vorm

Die basiese meetkunde van oppervlaktes in E 3 hang af van twee kwadratiese differensiaalvorms, waarvan die eerste die metriese eienskappe wat hierbo beskou word, genereer. Die studie van die vorm van 'n oppervlak S, gesien vanuit die omhullende ruimte, gee aanleiding tot 'n ander kwadratiese differensiaalvorm b_αβ du α du β in die differensiale van oppervlakkoördinate u 1, u 2. Ons beskou 'n arbitrêre oppervlakkurwe C op S wat deur 'n punt P gaan en waarop die kromme raaklyn vektor het t = dr/ ds (in die rigting waarin die booglengte-parameter s neem toe) en skoolhoof normaal n. Dan

waar k is die kromming van C by P en k is die krommingsvektor.

As N is 'n eenheid wat normaal is op die oppervlak by P, kan ons ontbind k in

waar k n is in die rigting van N, K_N (genoem die normale kromming van C by P) is die komponent k · N, en k_g is raaklyn aan die oppervlak by P. Aangesien N · t = 0, differensiasie ten opsigte van s as parameter gee

waar dit gerieflik is om te maak b_αβ eksplisiet simmetries, met

waar λ α 'n eenheidsoppervlak kontravariant tangensvektor tot C voorstel.

Let daarop dat die teken van K_N hang nie af van die oriëntasie van C (die rigting waarin s word gemeet), maar dit hang wel af van die rigting waarin die oppervlak normaal is N geneem word.

Sedert N is normaal tot die oppervlak raaklyn vektore, onderskei N · a_α = 0 ten opsigte van u β gee

wat ons kan opmerk, is eintlik al simmetries in α en β. Dus 'n alternatiewe uitdrukking vir b_αβ is

Die tweede fundamentele vorm b_αβ du α du β mag geskryf word, sit u 1 = u, u 2 = v, soos

As ons die rigting van definieer N in die gewone regshandige sin ten opsigte van die raakvectors a₁, a₂, kan ons skryf

deur eqn (3.25). Daarom kan eqns (3.95) as skalêre driedubbele produkte geskryf word

of as determinante, byvoorbeeld, met kartesiese koördinate x, y, z,

en insgelyks vir M en N.

Oefening 9.

Vir die oppervlak van rewolusie wat deur eqn (3.32) gedefinieer word, toon aan dat

Die tweede fundamentele vorm hou direk verband met die afstand, met die tweede orde in klein hoeveelhede, tussen punte op die oppervlak in 'n omgewing van die oppervlakpunt P en die raaklynvlak by P. Die toename in posisievektor vanaf P met koördinate (u, v) na 'n naburige punt Q (u + δu, v + δv) is, deur die Taylor-reeks uit te brei,

na tweede orde in δu, δv. Die afstand tussen Q en die raakvlak deur P word gegee deur projekteer δr in die rigting van die eenheid normaal N na die raakvlak,

sedert N is loodreg op die oppervlak raaklysvektore a₁ en a₂. Die teken van die resulterende uitdrukking sal anders wees vir punte op S wat aan verskillende kante van die raakvlak lê. As die tweede fundamentele vorm dus positief is, is dit definitief of negatief, dit is die geval as dit (b_αβ) & lt 0 by P, sal alle punte in die onmiddellike omgewing van P aan dieselfde kant van die raakvlak lê. Sulke punte P kan genoem word elliptika. Maar as dit (b_αβ) & gt0, sal daar punte in 'n omgewing van P wees wat aan verskillende kante van die raakvlak lê, en P kan genoem word hiperbolies. Die derde moontlikheid is dat die tweede fundamentele vorm positief of negatief semi-definitief is, wat voorkom wanneer det (b_αβ)= 0. Dit is byvoorbeeld die geval vir 'n sirkelvormige silinder waarvan alle punte op die oppervlak genoem kan word parabolies.

Voorbeeld: 'n Oppervlak wat al drie soorte punte vertoon, is die torus, die oppervlak (Fig. 3.4) gevorm deur die sirkel te draai

in die Oxz vliegtuig, waar b & lt a, rondom die z-as (Fig. 3.5). Dit is 'n oppervlak van rewolusie van die vorm eqn (3.32), met f (u) = b + a cos u, en g (u) = a sondig u. Vervang ons in eqns (3.99), kry ons

Figuur 3.5. Sirkel van radius a om rondom Oz gedraai te word om torus te vorm.

Vandaar det (b_αβ) = LN - M 2 = a cos u (b + a cos u). Sedert (b + a cos u) & lt 0 vir alle u, dit volg dat die teken van det (b_αβ) is dieselfde as die teken van cos u. Daarom is daar

elliptiese punte waar - π/ 2 & gtu & gt n / 2, hiperboliese punte waar π/ 2 & gtu & gt 3π / 2, en 'n kurwe van paraboliese punte waar u = ± π / 2.

As 'n oppervlakkurwe C a is normale afdeling, verkry vanaf die kruising van S met 'n vlak by P wat bevat N, dan k_g = 0 en k = k_n, gegee deur eqns (3.91) en (3.16) as die verhouding van kwadratiese vorms

As C nie 'n normale afdeling is nie, met die normale normaal n maak 'n hoek φ met die oppervlak normaal N, neem dan die skalaarproduk van eqn (3.90) saam met N gee Meusnier & # x27s Stelling

wat, uitgedruk in terme van die krommingsradius ρ van C en die krommingsradius ρn van die normale gedeelte met dieselfde oppervlak raaklyn by P, is gelyk aan

As C 'n geodetika is, weet ons uit eqn (3.78) dat κ die rigting het N. Vandaar vir 'n geodetika, soos vir 'n normale gedeelte, κ_g= 0 'n geodetika deur 'n punt in 'n sekere rigting het dieselfde kromming as 'n normale snit deur daardie punt in dieselfde rigting. In die geval van 'n sferiese oppervlak is normale snitte op 'n punt op die oppervlak dieselfde as geodesika (groot sirkels), maar dit is gewoonlik nie die geval nie.

Oor die algemeen kan aangetoon word dat die grootte κ_g van κ_g is die geodetiese kromming wat in die laaste afdeling gedefinieer is. Dit gee 'n mate van hoeveel die kromming van 'n oppervlakkurwe verskil op 'n punt van die van 'n geodesiese kromme in dieselfde rigting wat deur daardie punt beweeg. Deur eqn (3.90) het ons

Die reghoekige koördinaatstelsel en puntbeplanning

Die reghoekige koördinaatstelsel staan ook bekend as die Cartesieskoördinaatstelsel na Rene Descartes.

Die reghoekige koördinaatstelsel is gebaseer op 'n rooster, en elke punt op die vlak kan deur uniek geïdentifiseer word x en y koördinate, net soos enige punt op die aarde geïdentifiseer kan word deur die breedtegraad en lengtegraad daarvan te gee.

Plekke op die rooster word gemeet relatief tot 'n vaste punt, genaamd die oorsprong, en word gemeet volgens die afstand langs 'n paar asse.

Die x en y asse is net soos die getallelyn, met positiewe afstande na regs en negatief na links in die geval van die x as en positiewe afstande gemeet opwaarts en negatief af vir die y as.

Enige verplasing weg van die oorsprong kan gekonstrueer word deur 'n bepaalde afstand in die x rigting en dan nog 'n afstand in die yrigting.

Dink daaraan asof u aanwysings aan iemand gee deur iets te sê soos "gaan drie blokke oos en dan 2 blokke noord."

Koördinate, Grafiese punte

Ons spesifiseer die ligging van 'n punt deur eers die punt daarvan te gee x koördineer (die linker- of regterverplasing vanaf die oorsprong), en dan die y koördineer (die op- of afwaartse verplasing vanaf die oorsprong). Elke punt op die vlak kan dus geïdentifiseer word deur 'n paar getalle (x,y), genoem sy koördinate.

Soms wil ons net weet oor watter algemene deel van die grafiek ons praat. Die asse verdeel die vlak natuurlik in kwarte. Ons noem dit kwadranteen tel dit van een tot vier. Let op dat die nommering in die regterkantste kwadrant begin en in die antikloksgewys rigting voortduur. Let ook op dat elke kwadrant geïdentifiseer kan word deur die unieke kombinasie van positiewe en negatiewe tekens vir die koördinate van 'n punt in daardie kwadrant.

Die reghoekige koördinaatstelsel, ook genoem die Cartesiese koördinaatstelsel of die x – y koördinaatstelsel word hierbo getoon.

Let op dat die reghoekige koördinaatstelsel uit 4 bestaan kwadrante, a horisontale as, a vertikale as, en die oorsprong. Die horisontale as word gewoonlik die genoem x–As, en die vertikale as word gewoonlik die genoem y–As. Die oorsprong is die punt waar die twee ase kruis.

Beplan elkeen van die volgende punte. A (–3, –1), B (0, 4) en C (2, 0).

A (–3, –1): Gaan vanaf die oorsprong na links 3 eenhede en dan af 1 eenheid. Teken dan die punt.

Kyk die video: Bonneli Line (Desember 2024).